河南省郑州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，
其方程为.
故选：B
2. 已知点，，，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，则，
因为，故，
即，
解得，故点的坐标为.
故选：C
3. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. 20B. 28C. 32D. 48
【答案】A
【解析】易知.
故选：A
4. 已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】由抛物线定义得，解得.
故选：B
5. 若关于，的方程组无解，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】C
【解析】由于无解，则表示两直线无交点，
故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意，
故选：C
6. 已知，，且，则和可分别作为（ ）
A. 双曲线和抛物线的离心率B. 双曲线和椭圆的离心率
C. 椭圆和抛物线的离心率D. 两双曲线的离心率
【答案】A
【解析】由题意，，且，
所以，解得，
所以和可分别作为双曲线和抛物线的离心率.故选：A.
7. 人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为,2,，
直线的方向向量为，
设直线与平面所成角为，
则,．
故选：B．
8. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆：的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，则的值不可能为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】CD
【解析】设，，则①，
由题意知，，，
因为点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，
所以，即②，
由①②可得，，
所以，
由椭圆的面积为，知，
即，
所以，，
因为点在椭圆上，且，，
所以,,，即,，
所以,,,，
对比选项可知，的值不可能为0和2．故选：CD．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）

A. B. 与所成角的余弦值为
C. ，，，四点共面D. 的面积为
【答案】ACD
【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，，，
，所以，故A正确；
对于B，，，
所以，
所以与所成角的余弦值为，故B错误；

对于C，取的中点，连接，
由正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，
所以，，同理可知：，，
所以，，四边形平行四边形，
则，，，四点共面，故C正确；

对于D，，
取的中点为，连接，所以，
故的面积为，故D正确.

故选：ACD.
10. 已知两圆：，：，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆内
B. 圆关于直线对称
C. 圆与圆外切
D. 点在圆上，点在圆上，则的最大值为6
【答案】BD
【解析】圆：，整理得，圆心为，半径为
对于A选项，由于点到圆圆心的距离为，故点在圆外，故A错误；
对于B选项，由于满足，故圆关于直线对称，故B正确；
对于C选项，由于圆：，圆心，半径为3，两圆圆心距为，
所以圆与圆内切，故C错误；
对于D选项，点在圆上，点在圆上，因为圆与圆内切，
所以的最大值为圆的直径6，故D正确，
故选：BD.
11. 已知数列中，，，，记的前项和为，则（ ）
A. 中任意三项都不能构成等差数列B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，可得，
则，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
即，故B错误；
假设中任意三项都构成等差数列，可设，
则成等差数列，可得，即，
即有，由，可得，
由，可得，则不成立，故A正确；
，故C正确；
，
所以，
，
因为为递增数列，所以，可得，故D错误.故选：AC.
12. 抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形
B. 两条直线，的斜率之和为定值
C. 已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4
D. 若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为
【答案】ABD
【解析】对于A，由抛物线的定义知，，
因为以为圆心，为半径的圆与相交于和两点，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
对于B，设直线的方程是，代入并消去得，
设，，则，.
，，所以

，
所以两条直线，的斜率之和为定值，故B正确；
对于C，设，则，即，
则线段的中点的纵坐标为，故C错误；
对于D，因为的外接圆与抛物线的准线相切，
所以圆心在抛物线上，且圆心在线段OF的垂直平分线，
可知外接圆圆心纵坐标为，
所以外接圆半径为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】点关于平面对称的点的坐标是.
故答案为：.
14. 写出圆：与圆：的一条公切线方程________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为，
故，故圆与圆外切，
将与相减得，
即两圆内公切线方程为，
两圆圆心所在直线方程为，即，
由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行，
设为，圆心到的距离为，解得，
故两圆外公切线所在直线方程为和.
故答案为：（或之一也可以）
15. 松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和,且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点．已知,，则的离心率为________．
【答案】
【解析】如图，分别延长交双曲线的左焦点为，
因为，两边平方得，，所以，
因为，所以，
设，则，，
设，则，
又，
所以，所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以离心率为，
故答案为：.
16. 已知数列中，，，，设数列，则的通项公式为________．
【答案】
【解析】由题意，，，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，
所以，所以，
即，所以数列是以为首项，6为公差的等差数列，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．其中17题10分，18~22题各12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，．
（1）求边上的高所在直线方程；
（2）求点到直线的距离．
解：（1）由题意可知，为的中点，
，，．
又，
．
所在直线方程为，即．
（2）由，解得，所以．
又直线方程为，即．
点到直线的距离．
18. 已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2．
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长．
解：（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为，
由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值．
圆心到直线的距离．即．
．
圆的方程为．
（2）由圆：和圆：，
由于两圆的圆心距为，
故两圆相交，
两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为．
圆心到直线的距离为．
弦长．
19. 设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，则由题意得
解得
数列的通项公式为．
（2）由题意得，数列为等比数列，公比为，
所以的通项公式为．
．
当为偶数时，；
当为奇数时，．
综上所述，．
20. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补．
解：（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1，
动点到直线的距离与它到点的距离相等．
故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且，
．
点的轨迹的方程为．
（2）由题知直线的斜率存在且不为零，
设的方程为，
联立得，
，所以.
设，，

，．
，
，．
即直线与直线的倾斜角互补．
21. 在三棱台中，平面，，，，为中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）取的中点，连接，，得为的中位线，
，且．
由于∽，，
故，而，，
则，，
四边形为平行四边形，．
又平面，平面，
平面．
（2）如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则可取．
平面平面的法向量可取为．
设平面与平面的夹角为，,
则，
平面与平面的夹角余弦值为.
22. 已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当垂直于长轴时，设直线的方程为，
联立直线与椭圆可得，
故由题意得解得
椭圆的标准方程为：．
（2）假设椭圆上是存在点，设为，使得四边形为平行四边形．
,显然当直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为：，
联立与消去得，
判别式，
设，，
则，
则
则中点坐标为，中点坐标为，
则,解得
代入椭圆方程化简得，解得．
此时，
所以椭圆上是存在点，使得四边形为平行四边形．