2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末考试数学PDF版含答案

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二、填空题
13．52；14．2x+2y+3=0；15. (−3,1)；16．3+1.
三、解答题
17．（1）根据空间直角坐标系可得：Ea,x,0，Fa−x,a,0.…………4分
（2）∵A1a,0,a，C10,a,a，
∴A1F=−x,a,−a，C1E=a,x−a,−a.…………6分
即A1F⋅C1E=−ax+ax−a+a2=0，…………8分
∴A1F⊥C1E，故A1F⊥C1E.…………10分
18．（1）由已知AB边中点坐标为(1,32)，中线斜率为k=32+21−2=−72，…………2分
中线所在直线方程为y+2=−72(x−2)，即；…………5分
（2）①当直线过原点时，斜率为k'=34，直线方程为y=34x，即，…………7分
②直线不过原点时，设直线方程为，则4a+3a=1，a=7，…………10分
直线方程为x7+y7=1，即，
所以所求直线方程为或．…………12分
19.（1）抛物线的顶点在原点O，焦点在y轴上，且过点A2,1，则抛物线开口向上，…2分
设抛物线x2=2pyp>0，
因为抛物线过点A2,1，所以4=2p，解得p=2.
所以所求的抛物线方程为；…………5分
（2）因为OA⊥OB，所以kOA⋅kOB=−1，
由kOA=12，所以kOB=−2.…………7分
所以OB的方程y=−2x，由y=−2x，x2=4y，解得B−8,16，…………10分
所以AB=102+152=325=513，即线段AB的长为513.…………12分
20.（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2.…………1分
①当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；…………3分
②当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，
则圆心到直线的距离为d=r即2k−3−4k−11+k2=2，解得k=−34，…………5分
所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.…………6分
（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，…………8分
圆心到直线l的距离d=2+3−32=2.…………10分
故所求弦长为：2r2−d2=222−22=22.…………12分
21．（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则M1,0,0,P0,0,2,C2,2,0,N1,1,1,D0,2,0.2分
MN=0,1,1,MN=2.…………5分
（2）PD=0,2,−2，MP=−1,0,2,MC=1,2,0，
设平面PMC的法向量为n=x,y,z，…………6分
则n⋅MP=−x+2z=0，n⋅MC=x+2y=0，…………8分
令z=1，则x=2,y=−1，所以n=2,−1,1.…………10分
设直线PD与平面PMC所成角为θ，
则sinθ=n⋅PDn⋅PD=46⋅22=33.…………12分
22．（1）根据椭圆定义得，2a=PF1+PF2=22+12+12=22，即a=2 ，…2分
c=1,∴b=a2−c2=1，故椭圆的标准方程为．…………4分
（2）证明：设Mx1,y1,Nx2,y2，
①当直线MN斜率存在时，设直线MN方程：y=kx+t，…………5分
则由题意得y1−1x1+y2−1x2=1，将y1=kx1+t，y2=kx2+t代入整理得：
(2k−1)x1x2+(t−1)x1+x2=0（*），…………6分
将y=kx+t代入椭圆方程整理得1+2k2x2+4ktx+2t2−2=0，
需满足Δ=8(2k2−t2+1)>0 ，则x1+x2=−4kt1+2k2,x1x2=2t2−21+2k2，
代入（*）式得：(2k−1)⋅2t2−21+2k2+(t−1)⋅−4kt1+2k2=0，
整理得(t−1)(2k−t−1)=0，
当t−1=0时，MN过Q点，不合题意；全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》
故2k−t−1=0，直线MN的方程为y=kx+2k−1=k(x+2)−1，
故此时MN过定点(−2,−1)；…………9分
②当直线MN斜率不存在时，设MN方程为，代入可得y=±1−s22 ，
不妨设Ms,1−s22,Ns,−1−s22，
由kQM+kQN=1可得1−1−s22−s+1+1−s22−s=1 ，解得s=−2，直线x=−2与椭圆没有交点不成立，
综合上述，MN过定点(−2,−1).…………12分题号
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答案
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