广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期1月期末数学试卷(含答案)

这是一份广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期1月期末数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为( ).
A.B.C.D.
3．在梯形中，满足，，，，则( )
A.4B.6C.10D.12
4．已知，，则( )
A.B.C.D.
5．圆台的高为2，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为( )
A.B.C.D.
6．已知球O的半径为3，P是球O表面上的定点，S是球O表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为( )
A.B.C.D.
7．在平面直角坐标系中，，点B在直线上，则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
8．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与x轴、y轴相切，则圆与圆的半径之积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法不正确的是( )
A.至少有一个实数x，使
B.若的定义域为，则的定义域是
C.命题p：，，则，
D.“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件
10．投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量，记A表示事件“”，B表示事件“”，C表示事件“”，则( )
A.B和C互为对立事件B.事件A和C不互斥
C.事件A和B相互独立D.事件B和C相互独立
11．已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是( )
A.取值范围是
B.当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6
C.当直线l斜率时，AB平分
D.最大值为
三、填空题
12．设，若，则的值为_________.
13．已知三棱台的上、下底面均为正三角形，且平面平面，，M为的中点，则直线与夹角的余弦值为_________.
14．点为圆上一点，过M作圆的切线l，且直线l与直线平行，则l与之间的距离是_________.
四、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求.
16．已知圆C过，两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点且被圆C截得的线段长为，求l的方程.
17．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用.某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率.
18．如图，三棱锥中，平面，，E为中点，M为中点，N为中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知P为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点Q，记点Q的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)过点N作直线l（与x轴不重合）与C相交于点D，E，直线l与y轴交于点B，，求l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选：D.
2．答案：A
解析：复数，
其对应的点在第二象限，
则，
解得.
故选：A
3．答案：C
解析：∵，
∴，
，
故选：C.
4．答案：C
解析：因为，
所以，则，
即，
即，
即，
所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：设圆台上底半径为r，则下底半径为，
由题意：.
所以圆台母线和轴的夹角的正切值为：.
故选：B
6．答案：C
解析：如图，以球O的球心为坐标原点，
所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
因为球O的半径为3，则，设，
则，，
所以，
又，，
则，得到，
如图，在线段取点H，使，
所以线段轨迹为圆锥的侧面，
又，则，
所以圆锥的侧面积为，
所以线段轨迹的面积为，
故选：C.
7．答案：C
解析：根据题意，设点，则，
则在上的投影向量为
.
故选：C
8．答案：C
解析：当点A在第一象限时，圆，的方程为的形式，
代入点的坐标，
可得关于r的方程，
圆，的半径，是该方程的两个不同实根，
所以，同理，当点A在第二、三、四象限时也可得.
当点A在y轴上时，，
此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），
两圆在A点处相切，
且，满足.
同理，当点A在x轴上时，，
同样满足.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A，在实数范围内，，则，故A不正确；
对于B，因为的定义域为，
所以，即，
所以对于，，解得，
所以的定义域是，故B不正确；
对于C，命题p：，，
则，，故C不正确；
对于D，若集合中只有一个元素，
当时，，符合题意；
当时，由题意可得，
即，综上或，
所以必要性成立，故D正确；
故选：ABC
10．答案：BC
解析：根据题意，A表示事件“”，
即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则，
B表示事件“”，
即第二次抛掷中，正面向上，则，
C表示事件“”，
即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，，
依次分析选项：
对于A，事件B、C可能同时发生，则事件B、C不是对立事件，A错误；
对于B，事件A、C可能同时发生，则事件A和C不互斥，B正确；
对于C，事件，即前两次抛掷中，
第一次反面，第二次正面，，
由于，则事件A和B相互独立，C正确；
对于D，事件，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，
第二次正面，，
，事件B、C不是相互独立事件，D错误.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：设，
因为，即，
整理可得，
可知曲线C是以为圆心，半径的圆.
对于选项A：因为，
可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交，
且，则的最大值为，
最小值为，
所以取值范围是，故A正确；
设，，
联立方程，
消去x可得，
则，
对于选项B：可得，
令，则，
可得，
因为在内单调递增，
则的最小值为，
即，则，
可得的面积，
所以面积的最大值为，故B错误；
对于选项C：因为，
又因为，
则，
即，可知，
所以AB平分，故C正确；
对于选项D：因为AB平分，则，
可知当与曲线C相切时，取到最大值，
此时，
且为锐角，则，
即的最大值为，则的最大值为，
所以最大值为，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：，若，
，
，
，
，
.
故答案为：.
13．答案：
解析：如图所示，
因为，所以直线与的夹角
即为直线与的夹角，
取的中点为N，由题知和为等边三角形，
则，
又，
则也是等边三角形，故，
设为M在平面上的投影，则平面，
因为平面平面，交线为，
因为N为的中点，所以
又平面，所以平面，
则，且，
故四边形为矩形，
故，且，则，
又，所以，
则，
又，
所以，
又，
则，
所以在中，由余弦定理得，
所以直线与夹角的余弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可得圆的圆心，半径为5，
则，
所以过M的切线斜率为，
所以直线l的方程为，即，
又直线l与直线平行，所以，
则l与之间的距离是.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
(2)，由余弦定理可得，
，
又，，，
，即，
.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)设圆的一般方程为，
圆心，
根据题意有，
解得，
故所求圆的一般方程为，
(2)如图所示，，设D是线段的中点，
则，，
又，∴在中，得，
当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为.
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，
则直线l的方程为，即，
由点C到直线的距离公式，
得，此时直线l的方程为.
综上，所求直线l的方程为或.
17．答案：(1)49
(2).
解析：(1)依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
，
所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49.
(2)抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人，
记内的2人为A，B，记内的4人为a，b，c，d，
从这6人中随机选2人的基本事件有：，，，，
，，，，，，，，，共15种，
其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，，，，，，，，共9种，
设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，
则.
18．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)连，由M为中点，N为中点，得，
又平面，平面，
所以平面.
(2)设，
由平面，，平面，
得，
则，取中点F，则，
又，，平面，
则平面，
又平面，于是平面平面，
又平面面，
过点D在平面内作于H，
于是平面，连，
则为直线与平面所成的角，
在中，，
，，
，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知：的圆心为，
半径为4，且，
则，
可知点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
则，，
所以C的方程为.
(2)因为点在椭圆内部，可知直线l与椭圆必相交，
设直线，，，则，
联立方程，
消去x可得，
则，
又因为，
若，则，即，
可得，
解得，
所以l的方程为，
即.
时长t
学生人数
50
100
200
125
25