广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题

这是一份广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题，共10页。试卷主要包含了已知向量，，且，则，已知，且，则的最大值为，已知圆D等内容，欢迎下载使用。
2024-2025学年度第一学期高二期中测试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面上的两个非零向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数在区间单调递减，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（ ）
A．B．C．D．
5．已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（ ）
A．B．6C．D．9
6．已知向量，，且，则（ ）
A．B．4C．D．8
7．已知，且，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．36D．48
8．已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．当时，点的轨迹长度为
C．平面内存在一条直线与直线成角
D．将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是
10．如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线与所成角的余弦值为
D．点到平面的距离为
11．点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3
B．从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为
C．A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得
D．当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角 .
13．已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 .
14．已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．的内角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若，的面积为，求．
16．如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值.
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知直线的方程为：.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.
2024-2025学年度第一学期高二期中测试
数学试题参考答案及评分标准：
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．/60° 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.【解析】（1）由题意知，即，
由于，
故，即，结合，则；（6分）
（2），，的面积为，则，则，（3分）
故，
故（4分）
16.【解析】（1）连接，交于点，
由底面是正方形，可知为的中点，
又是的中点，是的中位线，
，（4分）
又平面，平面，
平面.
（4分）
（2）设，，
底面，底面，，
即是直角三角形，，
又E是的中点，，（3分）
同理可得，且，，平面，
平面，，
在直角中，，
，，
又，二面角的平面角为，
.
二面角的平面角的余弦值为（4分）
17.【解析】（1）由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，（1分）
得，0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010×10=1
所以（2分）
（2）成绩落在内的频率为，（2分）
落在内的频率为，（2分）
则样本成绩的第75百分位数为，由，得，（4分）
所以样本成绩的第75百分位数为（4分）
18.【解析】（1）如图，取的中点，连接，（2分）
因为是边长为的正三角形，所以，（2分）
在菱形中，，则为等边三角形，所以，
又平面，所以平面，（2分）
又平面，所以（4分）
（2）由（1）得，（1分）
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，（2分）
如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.
因，则.
设平面的法向量为n=x,y,z，则有，
令，则，所以，（3分）
因为，记直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为（4分）
（7分）
19.【解析】（1）由，可得，（2分）
令，所以直线过定点（5分）
（2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，（4分）
设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得，（6分）
所以面积，（8分）
当且仅当，即时，面积最小值为（10分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
D
A
A
C
B
题号
9
10
11
答案
ABD
BD
ABD