2023~2024学年四川省资阳市安岳县九年级上学期期末学业质量检测数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年四川省资阳市安岳县九年级上学期期末学业质量检测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1. 二次根式中的x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣2B. x≤﹣2C. x＞﹣2D. x≥﹣2
【答案】D
【解析】由题意，得2x+4≥0，
解得x≥-2，
故选：D．
2. 如果，，则的值是（ ）
A. 4B. 0C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
故选：C．
3. 在一个不透明的布袋里装有3个白球和若干个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是白球的概率为，则黄球的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】设黄球的个数为个，
则，
解得x=6，
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：B．
5. 如图，在四边形中，点是对角线BD的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵点是对角线BD的中点，点分别是边的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠1．
故选D．
7. 如图，在中，，，AB的垂直平分线交于点D，连接BD，若，则的长为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】A
【解析】∵，，
∴设，则，
又∵AB的垂直平分线交于点D，
∴，
∴，
解得x=2，
∴，，
∴．
故选：A．
8. 如图，的顶点A在函数的图象上，，过边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q．若四边形的面积为9，则k的值为（ ）
A. 54B. 45C. 36D. 27
【答案】A
【解析】，
，
又M、N是的三等分点，
，，
，
又四边形的面积为9，
，
解得，
又，
，
．
由函数图象可知：，
，
故选：A．
9. 一元二次方程：M：ax2+bx+c=0； N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：
①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】①两个方程根的判别式都是=b2﹣4ac，所以如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根正确；
②如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确；
③如果m是方程M的一个根，那么m2a+mb+c=0，两边同时除以m2，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误．
正确的是①②③，共3个，
故选：C．
10. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论：①；②；③若四边形的面积为4，则正方形的面积为36；④．其中结论正确的序号有（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ③④D. ①②④
【答案】D
【解析】如图，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵E是边的中点，，，
∴，，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，即，故②正确，
根据对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③错误，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上，正确的是：①②④；
故选D．
二、填空题．（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______．
【答案】3
【解析】∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴．
故答案为：3．
12. 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．若向正方形网格中投针，则针落在内部的概率是______．
【答案】
【解析】，，
所以针落在内部的概率是．
13. 若x=2是关于x一元二次方程的解，则代数式的值是______．
【答案】2024
【解析】把x=2代入得，即，
∴．
14. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2021年年底有5G用户3万户，计划到2023年年底全市5G用户达到9.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为，则可列方程为______．
【答案】
【解析】依题意得：，故答案为：．
15. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为______海里．
【答案】100
【解析】如图，作于E．
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵海里，
∴（海里），
在中，∵，
∴（海里），
故答案为：100．
16. 如图，正方形中，，AB与直线所夹的锐角为30°，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段______．
【答案】
【解析】∵是正方形，
∴，
∵AB与直线所夹的锐角为30°，
∴，；
∵是正方形，
∴，
∴，；
，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）
；
（2），
，
a=2，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，．
18. 先化简，再求代数式：的值，其中a=2sin60°+tan45°．
解：原式＝
==
==，
当时，原式．
19. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点A的坐标为．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到，请在网格中画出，并直接写出点的坐标．
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，点的坐标为，
20. 某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据统计结果，绘制成了如图9所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整（要求在条形图上方注明人数），并求出扇形统计图中的圆心角的度数；
（3）该学校从E组中挑选了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
解：（1）由题意可得：共调查总人数为：（人）；
（2）D组人数为：（人），
补全图形如下：
由题意可得：；
（3）记A，B表示男生，C，D表示女生，画树状图如图：
共有12种等可能结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果，
．
21. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为400台；每台售价为45万元时，年销售量为350台．该设备的年销售量y（单位：台）与销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数表达式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于55万元．如果该公司想获得6000万元的年利润，该设备的销售单价应是多少万元？
解：（1）设一次函数关系式为，根据题意，得，
解得，所以函数表达式为；
（2）根据题意，得：，
解得，
因为销售单价不得高于55万元，所以．
所以设备的销售单价是50万元．
22. 为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度．（参考数据：，，）
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树的高AB．（结果保留一位小数）
解：（1）过点作与点， 延长交于，
∵斜坡CD的坡度米，
∴设米， 则米，
在中，
，即，
解得x=6，
米， 米，
答：斜坡CD的高为米；
（2），
∴四边形矩形，
米，米，
米，米，
在中，
，
米，
米，
答： 古树的高AB约为米．
23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”．
根据所获信息解决下列问题：
（1）以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号）
①，②；
（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
（3）若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”．
解：（1）①，
，
，，
∴方程不是倍根方程；
②，
，，
∴方程是倍根方程；
（2）由得：，，
∵方程是倍根方程，
∴或，
∴或，
∴或，
∴；
（3）∵关于的一元二次方程是“倍根方程”，
∴根据题意得：，
∴，
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此倍根方程为．
24. 如图1，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，垂足为．
（1）求证：四边形正方形；
（2）探究与证明：如图2，将正方形绕点顺时针方向旋转，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展与运用：如图3，正方形绕点C沿顺时针方向旋转角，当三点在同一条直线上时，延长交于点，若，求的长．
（1）证明∵四边形是正方形，
，，
，，
，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
，
∴四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：如图，连接，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，则，，
，，，
则，
，，
，
，
；
（3）∵四边形是正方形，
∴，
，点B、E、F三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
则由，得，
，则，
，
∴由得，
解得：，即．