2023~2024学年山西省吕梁市高一上学期期末调研测试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年山西省吕梁市高一上学期期末调研测试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
则，，，B对，ACD错.
故选：B．
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】命题“，”的否定为：命题“，”．
故选：A．
3. 下面四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】对于A，因为的定义域为，的定义域为R，定义域不相同，
故A错误；
对于B，因为和的对应关系不一致，故B错误；
对于C，因为和的定义域都为R，且，，
对应关系一致，故C正确；
对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故D错误.
故选：C．
4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，由三角函数的单位圆定义得：，
.
故选：D．
5. 木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】扇形OAB的圆心角为，又因为，，
所以该扇环形木雕的面积为.
故选：B.
6. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为a，c都是正数，，，所以，
因为，所以.
故选：A．
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC，
又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D.
故选：A.
8. 已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】因为函数是R上的偶函数，则，
所以不等式可变形为，
因为对于任意两个不等实数、，
不等式恒成立，
所以不等式恒成立，
不妨设，则，可得，
则函数在上单调递增，
所以，，可得，即，解得或，
则原不等式的解集为．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则下列包含函数零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】根据零点存在性定理，结合表中的数据，，，.
函数在三个区间、和上存在零点，可得BCD正确．
故选：BCD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B
C. “”是“”的充要条件
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】BD
【解析】对于A：，当，有，所以A错误；
对于B：正弦函数在上单调递增，，可得，所以B正确；
对于C：时满足，时不能得到，
“”是“”的充分不必要条件，所以C错误；
对于D：函数的定义域为，由，得，
则函数的定义域为，所以D正确．
故选：BD．
11. 已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由，得，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以，故选项D错误.
故选：AB.
12. 已知函数，（，，），将其图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 在上方程有3个根
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】设，
由图知最大值、最小值分别为，则；
，即，
代入点，得，即，
，，不妨取，
则，
函数的图象向右平移个单位长度，得：，
所以函数的最小周期，所以A正确；
显然，由方程，得，
解得在只有两个根和，所以B不正确；
因为，，
即，当时，即得区间，
所以函数在区间上单调递减，所以C正确；
因为，
所以，
函数，且，
可知函数关于直线对称，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 计算：__________．
【答案】5
【解析】．
14. 已知，，则______.
【答案】
【解析】.
15. 设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则__________．
【答案】
【解析】是定义在R上的函数满足，所以，
又因为，所以，所以，
则函数的周期为2，所以
16. 已知函数．若关于x的不等式恰有两个整数解，则实数a的最大值是__________．
【答案】15
【解析】函数如图所示，
当时，，由于关于x的不等式恰有两个整数解，
因此其整数解为3和4，又，，则，
所以a的最大值为15．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围.
解：（1）因为，
所以.
（2）由题意可得：①当时，，得；
②当时，，得.
综上所述：实数m的取值范围为：.
18. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）请在下面两个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分）
条件：①“”是“”的充分条件；②．
解：（1）由题意得，解得，
所以，当时，，
所以.
（2）若选①：
由“”是“”的充分条件，可得，
由（1）知，
当，即，时，显然有，满足题意，
当，即时，由可得，，解得．
综上所述，或．
若选②：
由，可得，．由（1）知，
当，即，时，显然有，满足题意，
当，即时，
由可得，，解得．
综上所述，或．
19. 已知函数．
（1）判断的单调性并用定义证明；
（2）求函数在区间上的值域．
解：（1）函数的定义域为R，为增函数．
证明如下：
设，且，
则有，
，，，
，即，为增函数.
（2）方法一：当时，则有，
由（1）知道为增函数，所以，．
所以函数在区间上的值域为．
方法二：．
时，可知函数为增函数，
所以在上的值域为．
可知函数为减函数，所以在上的值域为．
所以函数在区间上的值域为．
20. 已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，求在区间上的值域．
解：（1）由已知，
得：，
即，，
由正弦函数的单调性，令，
解之；
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）知，
函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
只需将函数中的换为，得到：，
由，得，
当时，取得最小值；当时，取得最大值；
所以的值域为．
21. 2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完．
（1）求年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本-固定成本）；
（2）当年产量多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
解：（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，
当时，取得最大值，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以当时，取得最大值，
综上，当年产量为6000台时，年利润最大，且最大年利润为4880万元．
22. 已知幂函数的图象关于原点对称．
（1）求实数m的值；
（2）设，（且），若不等式对任意恒成立，求t的取值范围．
解：（1）由幂函数定义可知，所以或2，
当时，为偶函数，不关于原点对称，舍去，
当时，关于原点对称，所以.
（2）方法一：由（1）得，，
令，，，记，
若函数在上恒成立，
①若时，则函数，即恒成立，
令，，
由对勾函数性质得在上单调递增，故，
则，所以，故．
②若时，则需在恒成立，
所以，，由对勾函数性质可得，故．
综上所述：函数在上恒成立时．
方法二：由（1）得，，
令，，，记，
若函数在上恒成立，
①若时，则函数，
由于对称轴，函数在区间上为增函数，
恒成立，所以，故符合题意．
②若时，则需在恒成立，
则：或，
或，解得，
综上所述：函数在上恒成立．则．x
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