2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程x2−x+2=0的根的情况是
( )
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
2.抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
3.点P(−2,3)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A. (−2,3)B. (2,−3)C. (−3,2)D. (3,−2)
4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB=20°，则∠AOD的度数是( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
5.如图，⊙O的弦AB=8，半径OC⊥AB，垂足为D，且CD=2，⊙O的半径等于( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P=80°，则∠ABO的度数是( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
7.如图，已知AB/​/CD/​/EF，AC：AE=3：5，那么下列结论正确的是( )
A. BD：DF=2：3
B. AB：CD=2：3
C. CD：EF=3：5
D. DF：BF=2：5
8.如图，在△ABC中，DE/​/BC，ADAB=25，则S△ADES△ABC等于( )
A. 25
B. 23
C. 49
D. 425
9.一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形的圆心角度数为( )
A. 30°B. 60°C. 150°D. 210°
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是( )
A. b<0
B. a−b+c>0
C. b2−4ac>0
D. 3a+c>0
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.方程(x−2)(x−3)=0的解是______ ．
12.将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是______ ．
13.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转100°，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为______ ．
14.已知一个正六边形的边心距为 3，则它的半径为______．
15.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，点D在边AC上，BD=BC，则AD的长为______ ．
16.如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，点D为腰BC中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD，则BE的长为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x2−2x−8=0．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，延长DE，CB交于点F，且∠FEB=∠C.求证：AE⋅AB=AD⋅AC．
19.(本小题6分)
有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
20.(本小题7分)
如图，⊙O中，OC⊥AB，垂足为D，∠E=15°．
(1)求∠AOC的度数；
(2)若OD=2 3，求⊙O的半径．
21.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有两个正实数根x1，x2，且x12+x22=10，求m．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O在BC边上，⊙O经过点A和点B且与BC边相交于点E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若CE=2 3，求阴影部分的面积．
23.(本小题10分)
某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元/袋)之间满足一次函数y=−80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元，设每天的利润为w元．
(1)求w与x的函数关系式；
(2)若每天获得160元的利润，销售单价多少？
(3)每天的最大利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，点A的对应点D落在AB上，DE交BC于点F，连接BE．
(1)求证：△BFD～△EFC；
(2)求∠ABE的度数；
(3)若EF⋅BD=BF⋅BE，DF=2，求线段BE的长．
25.(本小题12分)
抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当t≤x≤t+2时，−1≤y≤3，求t的值；
(3)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，△PCB的面积为S，点P的横坐标为m.求S与m的函数关系式并求出S的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵a=1，b=−1，c=2，
∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×2=−7<0，
所以方程没有实数根．
故选D．
把a=1，b=−1，c=2代入Δ=b2−4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】
解：∵顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，
∴抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2)．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,−3)，
故选：B．
根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解．
本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意及旋转变换的性质得：∠BOD=50°，
∵∠AOB=20°，
∴∠AOD=50°−20°=30°，
故选：B．
首先根据旋转变换的性质求出∠BOD=50°，结合∠AOB=20°，即可解决问题．
本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接OB，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，BD=12AB=4，
设OB=R，则OD=R−2，
在直角三角形ODB中，OB2=DB2+OD2，
∴R2=42+(R−2)2，
解得R=5，
故选：B．
根据垂径定理知道BD=4，而CD=2，可以连接OB构造直角三角形，然后利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程．
本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程．
6.【答案】A
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠BOA=360°−∠PBO−∠PAO−∠P=100°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=12(180°−∠BOA)=12(180°−100°)=40°，
故选：A．
根据切线的性质得到∠PBO=∠PAO=90°，根据四边形的内角和等于360°得到∠BOA=360°−∠PBO−∠PAO−∠P=100°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由PA、PB是⊙O的切线，可得∠PBO=∠PAO=90°．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB/​/CD/​/EF，AC：AE=3：5，
∴BD：DF=AC：CE=3：2，A选项错误，不符合题意；
AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；
CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；
DF：BF=CE：AE=2：5，D选项正确，符合题意．
故选：D．
本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
8.【答案】D
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=425，
故选：D．
根据AD：AB=2：5，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出答案即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得到5π=nπ×6180，
解得n=150，
即扇形的圆心角度数为150°．
故选：C．
根据弧长公式l=nπr180，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解．
此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，
∴a<0,−b2a=1，
∴b=−2a>0，故A不符合题意；
∵当x=−1，y<0，
∴a−b+c<0，故B不符合题意；
∴3a+c<0，故D不符合题意；
由函数图象可知抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴b2−4ac>0，故C符合题意；
∴故选：C．
根据抛物线的开口方向和对称轴可得b=−2a>0即可判断A；根据当x=−1，y<0，得到a−b+c<0，进而推出3a+c<0即可判断B、D；再根据函数图象可知抛物线与x轴有两个不相同的交点即可判断C．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
11.【答案】x1=2，x2=3
【解析】解：∵(x−2)(x−3)=0，
∴x1=2，x2=3．
故答案为2或3．
根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．此题比较简单，易于掌握．
12.【答案】y=(x+1)2
【解析】解：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=(x+1)2，
故答案为：y=(x+1)2．
直接根据“左加右减”的原则进行解答．
此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
13.【答案】80°
【解析】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转100°，得到△EBD，
∴∠DBC=100°，∠ACB=∠BDE，
∵∠BDE+∠ADB=180°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ADB+∠ACB+∠CAD+∠DBC=360°，
∴∠CAD+∠DBC=180°
∴∠CAD=80°，
故答案为：80°．
根据旋转的性质可得到∠ACB+∠ADB=180°，根据四边形的内角和即可得到∠CAD的度数．
本题考查了旋转的性质，四边形的内角和，邻角互补，掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：如图，在Rt△AOG中，OG= 3，∠AOG=30°，
∴OA=OG÷cs 30°= 3÷ 32=2；
故答案为：2．
设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．
本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．
15.【答案】6
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC，
∴∠ABC=∠BDC，
∵∠ACB=∠BCD，
∴△ABC∽△BDC，
∴ABBC=BCDC，即84=4DC，
∴DC=2，
∴AD=AC−AD=8−2=6．
故答案为：6．
利用等腰三角形的性质可证∠ABC=∠C，∠C=∠BDC，则∠ABC=∠BDC，证明△ABC∽△BDC，然后利用相似三角形的性质求出CD的长，最后计算AC−AD即可．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
16.【答案】2 23
【解析】解：如图所示，过C作CG⊥AB于点G，交AD于点F，连接GD，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠ACF=45°=∠B，∠CAD+∠CDA=90°，AG=GB
∵点D为腰BC中点，DE⊥AD，
∴DB=12BC=2，∠EDB+∠CDA=∠ADE=90°，
∴∠EDB=∠FAC，
∴△EDB∽△FAC，
∴EBCF=DBAC=12，
∴BE=12CF，
∵G，D分别是AB，BC的中点，
∴DG/​/AC，
∴△DFG∽△AFC，
∴CFFG=ACDG=2，
∵CG=12AB=2 2，
∴FC=23×2 2=43 2，
∴BE=12CF=23 2，
故答案为：23 2．
过C作CG⊥AB于点G，交AD于点F，连接GD，证明△EDB∽△FAC得出BE=12CF，由DG/​/AC，得出△DFG∽△AFC，进而得出FC=23×2 2=43 2，即可求解．
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17.【答案】解：(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
∴x1=4，x2=−2．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
18.【答案】解：∵∠AED=∠FEB，∠FEB=∠C，
∴∠AED=∠C．
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
∴ADAB=AEAC．
∴AE⋅AB=AD⋅AC．
【解析】首先根据题意得到∠AED=∠C，然后证明出△ADE∽△ABC，最后利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x(1+x)=81，
∴x=8或x=−10(不合题意，舍去)．
所以，每轮传染中平均一个人传染了8个人．
【解析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有(x+1)人患了流感，第二轮有x(x+1)人被传染，然后根据共有81人患了流感即可列出方程解题．
此题考查了一元二次方程的应用，与实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
20.【答案】解：(1)连接OB，

∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠BOD=2∠E=30°，
∴∠AOC=30°；
(2)∵OC⊥AB，∠AOC=30°，
∴∠ADO=90°，OA=2AD，
∴AD2+OD2=OA2，
设AD=x，则OA=2x，
∴x2+(2 3)2=(2x)2，
解得，x=2(负值舍去)，
∴OA=2x=4，即⊙O的半径为4．
【解析】(1)连接OB，根据垂径定理可得AC=BC，∠AOC=∠BOC，再根据∠BOD=2∠E=30°，即可得出答案；
(2)设AD=x，则OA=2x，根据AD2+OD2=OA2，解得即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查垂径定理、圆心角与圆周角的关系、勾股定理、含30°的直角三角形边角关系，熟练掌握其性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：由题意可得：Δ=(−4m)2−4×1×3m2=16m2−12m2=4m2≥0；
∴该方程总有两个实数根；
(2)解：由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=4m，x1x2=3m2．
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=10，
∴(4m)2−2×3m2=10．
解得m=±1．
∵x1>0，x2>0，
∴x1+x2=4m>0，即m>0，
∴m=1．
【解析】(1)根据一元二次方程根的判别式可进行求证；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)连接OA，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°−120°)÷2=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAC=180°−∠AOC−∠C=90°，
∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线，
(2)∵∠C=30°，∠OAC=90°，
∴OC=2OA，
∵OC=OE+CE，OA=OE，CE=2 3，
∴OA=OE=2 3，OC=4 3，
在Rt△OAC中，AC= OC2−OA2=6，
∴S阴影=S△AOC−S扇形AOE=12×2 3×6−60⋅π⋅(2 3)2360=6 3−2π．
【解析】(1)连接OA，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=(180°−120°)÷2=30°，即有∠AOC=2∠B=60°，进而可得∠OAC=180°−∠AOC−∠C=90°，问题随之得证；
(2)根据角度可得OC=2OA，进而可得OA=OE=2 3，OC=4 3，在Rt△OAC中，AC= OC2−OA2=6，再根据S阴影=S△AOC−S扇形AOE计算即可．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)w=(x−3)(−80x+560)−80=−80x2+800x−1760．
(2)w=−80x2+800x−1760=160，
解方程得x1=4，x2=6．
∵3.5≤x≤5.5，
∴x=4．
答：若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋．
(3)w=−80x2+800x−1760=−80(x−5)2+240，
∵−80<0，3.5≤x≤5.5，
∴当x=5时，w取最大值为240．
此时y=−80x+560=160．
答：每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．
【解析】(1)根据题意列出二次函数求解即可；
(2)根据题意列出一元二次方程进行求解即可；
(3)首先将二次函数转化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了一元二次方程和二次函数方程的应用，列出正确的方程进行求解是解决本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，
∴∠ABC=∠DEC，
∴∠CFE=∠DFB，
∴△BFD～△EFC．
(2)解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，
∴∠ACD=∠BCE，∠ACD=∠BCE，AC=CD，BC=CE，
∴ACBC=CDCE，
∴△ACD～△BCE，
∴∠A=∠CBE，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠A+∠ABC=90°．
(3)解：∵EF×BD=BF×BE，
∴EFBF=BEBD，
∵△BFD～△EFC，
∴EFBF=CEBD，
∴BEBD=CEBD，
∴BE=CE，
∴BC=CE=BE，
∴∠BEC=∠CBE=60°，
∴∠DEC=∠ABC=30°，
∴∠DEC=∠DEB=30°，
∴BC⊥DE，
∴BD=2DF=4，
在Rt△BDF中，BF= BD2−DF2= 42−22=2 3，
∴BE=2BF=4 3．
【解析】(1)因为△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，所以∠ABC=∠DEC，∠CFE=∠DFB，即可证明△BFD～△EFC；
(2)根据△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE，然后证明△BFD～△EFC，接着推出∠A+∠ABC=90°，最后根据∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠A+∠ABC即可得出答案；
(3)根据已知条件证明△BFD～△EFC，接着证明BC⊥DE，最后在Rt△BDF中利用勾股定理求出BF，BE=2BF即可求出BE．
本题考查了旋转的性质、相似三角形的定理与性质和勾股定理等知识，掌握及灵活运用以上知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：
1+b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−4c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3．
(2)y=x2−4x+3=(x−2)2−1．
∵当t≤x≤t+2时，−1≤y≤3，
∴当2−t≥t+2−2，即t≤1时，x=t时，y=3．
即(t−2)2−1=3．
解得：t1=0，t2=4(舍去)．
当2−t≤t+2−2，即t≥1时，x=t+2时，y=3．
即(t+2−2)2−1=3．
解得：t1=2，t2=−2(舍去)．
综上可知，t=0或t=2．
(3)当x=0时，y=x2−4x+3．
∴C(0,3)．
设直线BC的解析式为y=kx+p.代入得：
p=33k+p=0，
解得k=−1p=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3．
作PD⊥x轴于点 D，交BC于点 E．

则PE=(−m+3)−(m2−4m+3)=−m2+3m．
∴S=12PE⋅OB=12×3(−m2+3m)=−32(m−32)2+278，
∵−32<0，0∴当m=32时，S的值最大为278．
【解析】(1)将A、B点的坐标代入函数解析是即可求解b、c，从而求出函数解析式；
(2)y=x2−4x+3的对称轴为x=2，最小值为−1，t≤x≤t+2，分别当2−t≥t+2−2和当2−t≤t+2−2情况讨论，求出符合条件的t的值；
(3)作EP//y轴交BC于E，设E(m,m−4m+3)，F(m,−m+3)，可得EF=−m2+3m，根据三角形面积公式S=12PE⋅OD+12PE⋅BD=12PE⋅OB求出二次函数解析式，然后根据二次函数性质求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式、三角形面积等知识点，掌握方程和分类讨论思想的运用是解题的关键．