（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——2方程和不等式（含答案详解）

这是一份（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——2方程和不等式（含答案详解），共18页。
A．10B．12C．14D．15
2．（2023•长沙四模）下列变形中正确的是（ ）
A．由﹣2x＜1，得x＜−12B．由2x+1＞3x﹣1，得x＞﹣2
C．由2x+1＞x﹣1，得x＞2D．由x+2＜2x﹣2，得x＞4
3．（2023•郧阳区模拟）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为（ ）
A．7x+4＝9x﹣8B．7x﹣4＝9x+8C．x+47=x−89D．x−47=x+89
4．（2023•长沙模拟）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤＝16两）．问玉、石各重多少？若设玉重x两，石重y两，则可列方程为（ ）
A．x+y=11，x7+y6=27B．x+y=176，x7+y6=27
C．x+y=11，7x+6y=27D．x+y=176，7x+6y=27
5．（2023•绥宁县模拟）方程x2＝2023x的解是（ ）
A．x＝2023B．x＝﹣2023
C．x＝0或2023D．x＝2023或﹣2023
6．（2023•天元区模拟）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
7．（2023•岳阳楼区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱．问：共有几个人？”设有x个人共同买鸡，依题意可列方程为（ ）
A．7x+11＝5x﹣13B．7x﹣11＝5x+13
C．5（x﹣11）＝7（x+13）D．5（x+11）＝7（x﹣13）
8．（2023•石峰区模拟）方程3x+3=1x−1的解为（ ）
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
9．（2023•长沙一模）在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为100min，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为70min．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1﹣x2）＝70B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70D．70（1+x）2＝100
10．（2023•涟源市一模）在数轴上表示不等式组x＞−1x≤3的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023•衡山县校级一模）分式方程xx+1=32x+2的解是（ ）
A．x=32B．x=−32C．x=−23D．x=23
12．（2023•岳阳县一模）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
13．（2023•衡山县校级一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．x=y+512x=y−5B．x=y−512x=y+5
C．x=y+52x=y−5D．x=y−52x=y+5
二．填空题（共10小题）
14．（2023•长沙模拟）如果关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值为 ．
15．（2023•零陵区模拟）若关于x的不等式组3x−2＜mx+1≥0有解，则实数m的取值范围是 ．
16．（2023•长沙四模）如果x＝﹣2是方程3x﹣m﹣1＝0的解，则m的值是 ．
17．（2023•绥宁县模拟）已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个根，那么该方程的另一个根是 ．
18．（2023•岳阳楼区校级模拟）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则代数式x1﹣2x1x2+x2的值为 ．
19．（2023•涟源市一模）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，则α+β+αβ＝ ．
20．（2023•岳阳楼区校级模拟）解分式方程1x+2=3x+4的解是 ．
21．（2023•零陵区模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 ．
22．（2023•天元区模拟）一元二次方程x2﹣2x+m＝0配方后得（x﹣1）2＝n，则m+n的值是 ．
23．（2023•凤凰县模拟）已知方程2x﹣4＝0，则x＝ ．
三．解答题（共8小题）
24．（2023•长沙模拟）2022年秋季，中小学开始实施《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种．已知用300元购进甲种菜苗的数量比用300元购进乙种菜苗的数量多300棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需1.5元．
（1）求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
（2）学校准备购进两种菜苗共600棵，甲种菜苗不少于200棵，不多于320棵，则购买总费用最少需要多少元？
25．（2023•涟源市一模）直播带货已经成为年轻人的购物时尚．为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取13%的补贴．粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多600元．
（1）丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？
（2）丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
26．（2023•岳阳楼区校级模拟）直播购物逐渐走近了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为70元的商品进行直播销售，如果按每件110元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销量增加2件，为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得日利润达到1200元，则每件商品应定价多少进行销售？
27．（2023•天元区模拟）定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2＝0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”是﹣2x2﹣3x﹣1＝0，请根据上述内容，解决以下问题：
（1）直接写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”；
（2）若关于x的方程3x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣3x2﹣x＝﹣1互为“对称方程”，求m、n的值及3x2+（m﹣1）x﹣n＝0的解．
28．（2023•零陵区模拟）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
29．（2023•岳阳县一模）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
30．（2023•衡山县校级一模）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足的器材．已知篮球的单价是排球的1.5倍，用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若该校计划购买篮球和排球共200个，筹备资金不多于15700元，那么该校最多购买篮球多少个？
31．（2023•凤凰县模拟）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8：3：2，且其单价和为130元．
（1）请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
（2）若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？
2023年湖南省中考数学冲刺专题练——2方程和不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2023•涟源市一模）今年，郑凯12岁，他爸39岁．x年后郑凯年龄是他爸的一半，则x是（ ）
A．10B．12C．14D．15
【解答】解：由题意得：12+x=12(39+x)，
解得：x＝15．
故选：D．
2．（2023•长沙四模）下列变形中正确的是（ ）
A．由﹣2x＜1，得x＜−12B．由2x+1＞3x﹣1，得x＞﹣2
C．由2x+1＞x﹣1，得x＞2D．由x+2＜2x﹣2，得x＞4
【解答】解：A、原不等式的解集：x＞−12，不符合题意；
B、原不等式的解集：x＜2，不符合题意；
C、原不等式的解集：x＞﹣2，不符合题意；
D、原不等式的解集：x＞4，符合题意；
故选：D．
3．（2023•郧阳区模拟）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x人，则可列方程为（ ）
A．7x+4＝9x﹣8B．7x﹣4＝9x+8C．x+47=x−89D．x−47=x+89
【解答】解：根据题意，得7x+4＝9x﹣8．
故选：A．
4．（2023•长沙模拟）《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？大意是：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两．今有石为棱长3寸的正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤＝16两）．问玉、石各重多少？若设玉重x两，石重y两，则可列方程为（ ）
A．x+y=11，x7+y6=27B．x+y=176，x7+y6=27
C．x+y=11，7x+6y=27D．x+y=176，7x+6y=27
【解答】解：∵石头总重11斤，
∴x+y＝11×16，即x+y＝176；
∵石头的体积为27立方寸，
∴x7+y6=27．
∴根据题意可列出方程组x+y=176x7+y6=27．
故选：B．
5．（2023•绥宁县模拟）方程x2＝2023x的解是（ ）
A．x＝2023B．x＝﹣2023
C．x＝0或2023D．x＝2023或﹣2023
【解答】解：∵x2＝2023x，
∴x2﹣2023x＝0，
∴x（x﹣2023）＝0，
∴x＝0或2023．
故选：C．
6．（2023•天元区模拟）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．（2023•岳阳楼区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱．问：共有几个人？”设有x个人共同买鸡，依题意可列方程为（ ）
A．7x+11＝5x﹣13B．7x﹣11＝5x+13
C．5（x﹣11）＝7（x+13）D．5（x+11）＝7（x﹣13）
【解答】解：根据题意得：7x﹣11＝5x+13．
故选：B．
8．（2023•石峰区模拟）方程3x+3=1x−1的解为（ ）
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）＝x+3，
去括号得：3x﹣3＝x+3，
移项得：3x﹣x＝3+3，
合并同类项得：2x＝6，
系数化为1得：x＝3，
经检验得，x＝3是该方程的解，
故选：A．
9．（2023•长沙一模）在“双减政策”的推动下，某初级中学校学生课后作业时长明显减少．2021年上学期每天作业平均时长为100min，经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后，2022年下学期平均每天作业时长为70min．设该校平均每天作业时长这两学期每期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．100（1﹣x2）＝70B．70（1+x2）＝100
C．100（1﹣x）2＝70D．70（1+x）2＝100
【解答】解：根据题意得100（1﹣x）2＝70．
故选：C．
10．（2023•涟源市一模）在数轴上表示不等式组x＞−1x≤3的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：不等式组x＞−1x≤3的解集为﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为
．
故选：C．
11．（2023•衡山县校级一模）分式方程xx+1=32x+2的解是（ ）
A．x=32B．x=−32C．x=−23D．x=23
【解答】解：去分母得：2x＝3，
系数化为1得：x=32，
检验：把x=32代入得：2（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x=32．
故选：A．
12．（2023•岳阳县一模）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1且a≠0，
故选：D．
13．（2023•衡山县校级一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．x=y+512x=y−5B．x=y−512x=y+5
C．x=y+52x=y−5D．x=y−52x=y+5
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：x=y+512x=y−5．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
14．（2023•长沙模拟）如果关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值为 9． ．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（﹣6）2﹣4×1×k＝0，
解得k＝9．
故答案为：9．
15．（2023•零陵区模拟）若关于x的不等式组3x−2＜mx+1≥0有解，则实数m的取值范围是 m＞﹣5 ．
【解答】解：3x−2＜m①x+1≥0②，
解不等式①得：x＜m+23，
解不等式②得：x≥﹣1，
∵不等式组有解，
∴m+23＞−1，
∴m＞﹣5，
故答案为：m＞﹣5．
16．（2023•长沙四模）如果x＝﹣2是方程3x﹣m﹣1＝0的解，则m的值是 ﹣7 ．
【解答】解：∵x＝﹣2是方程3x﹣m﹣1＝0的解，
∴﹣6﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣7．
故答案为：﹣7．
17．（2023•绥宁县模拟）已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个根，那么该方程的另一个根是 32 ．
【解答】解：设方程另一根为x2，
则﹣1×x2=−32，
解得：x2=32．
故方程的另一个根是32．
故答案为：32．
18．（2023•岳阳楼区校级模拟）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则代数式x1﹣2x1x2+x2的值为 2023 ．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2025，x1x2＝1，
∴x1﹣2x1x2+x2＝x1+x2﹣2x1x2＝2025﹣2×1＝2023．
故答案为：2023．
19．（2023•涟源市一模）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，则α+β+αβ＝ 2023 ．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，
∴α+β＝2022，αβ＝1，
∴α+β+αβ＝2022+1＝2023．
故答案为：2023．
20．（2023•岳阳楼区校级模拟）解分式方程1x+2=3x+4的解是 x＝﹣1 ．
【解答】解：1x+2=3x+4，
x+4＝3（x+2），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+2）（x+4）≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根．
21．（2023•零陵区模拟）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是 2 ．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝2．
故答案为：2．
22．（2023•天元区模拟）一元二次方程x2﹣2x+m＝0配方后得（x﹣1）2＝n，则m+n的值是 1 ．
【解答】解：∵x2﹣2x+m＝0，
∴x2﹣2x+1＝1﹣m，
∴（x﹣1）2＝1﹣m，
∴n＝1﹣m，
∴m+n＝1，
故答案为：1
23．（2023•凤凰县模拟）已知方程2x﹣4＝0，则x＝ 2 ．
【解答】解：2x﹣4＝0，
2x＝4，
x＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
24．（2023•长沙模拟）2022年秋季，中小学开始实施《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种．已知用300元购进甲种菜苗的数量比用300元购进乙种菜苗的数量多300棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需1.5元．
（1）求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；
（2）学校准备购进两种菜苗共600棵，甲种菜苗不少于200棵，不多于320棵，则购买总费用最少需要多少元？
【解答】解：（1）设购进一棵甲种菜苗需要x元，则购进一棵乙种菜苗需要（1.5﹣x）元，
根据题意得：300x−3001.5−x=300，
整理得：2x2﹣7x+3＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝3，
经检验，x1＝0.5，x2＝3均为所列方程的解，x1＝0.5符合题意，x2＝3不符合题意，舍去，
∴1.5﹣x＝1.5﹣0.5＝1．
答：购进一棵甲种菜苗需要0.5元，一棵乙种菜苗需要1元；
（2）设购进甲种菜苗m棵，购买总费用为w元，则购买乙种菜苗（600﹣m）棵，
根据题意得：w＝0.5m+1×（600﹣m），
即w＝﹣0.5m+600．
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵200≤m≤320，
∴当m＝320时，w取得最小值，最小值为﹣0.5×320+600＝440．
答：购买总费用最少需要440元．
25．（2023•涟源市一模）直播带货已经成为年轻人的购物时尚．为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取13%的补贴．粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去6000元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多600元．
（1）丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？
（2）丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？
【解答】解：（1）设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，
根据题意得：x+y=6000x−2y=600，
解得：x=4200y=1800．
答：丽丽所买皮衣的单价是4200元，毛衣的单价是1800元；
（2）6000×13%＝780（元）．
答：丽丽可以到线上客服处领取780元补贴．
26．（2023•岳阳楼区校级模拟）直播购物逐渐走近了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为70元的商品进行直播销售，如果按每件110元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件商品的售价每降低1元，日销量增加2件，为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得日利润达到1200元，则每件商品应定价多少进行销售？
【解答】解：设每件定价为x元，则此时的日销售量为[20+2（110﹣x）]件，
根据题意，列方程（x﹣70）[20+2（110﹣x）]＝1200，
解得x1＝100，x2＝90，
∵为尽快减少库存，
∴x＝90．
答：每件定价为90元．
27．（2023•天元区模拟）定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2＝0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”是﹣2x2﹣3x﹣1＝0，请根据上述内容，解决以下问题：
（1）直接写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”；
（2）若关于x的方程3x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣3x2﹣x＝﹣1互为“对称方程”，求m、n的值及3x2+（m﹣1）x﹣n＝0的解．
【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
（2）由﹣3x2﹣x＝﹣1，
移项可得：﹣3x2﹣x+1＝0，
∵关于x的方程3x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣3x2﹣x＝﹣1互为“对称方程”，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+1＝0，
解得：m＝0，n＝1，
∴3x2+（m﹣1）x﹣n＝0化为3x2﹣x﹣1＝0，
∴x=−b±b2−4ac2a=1±(−1)2−4×3×(−1)2×3=1±1+126=1±136，
∴x1=1+136，x2=1−136．
28．（2023•零陵区模拟）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？
【解答】解：（1）设该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
则y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．
∵k＝﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小，
∴当t＝10时，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．
29．（2023•岳阳县一模）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤43223，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
30．（2023•衡山县校级一模）为了进一步落实国务院《关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足的器材．已知篮球的单价是排球的1.5倍，用3600元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少20个．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若该校计划购买篮球和排球共200个，筹备资金不多于15700元，那么该校最多购买篮球多少个？
【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元，
由题意得：3600x−36001.5x=20，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
则1.5x＝90，
答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元；
（2）设购买篮球m个，则购买排球（200﹣m）个，
由题意得：90m+60（200﹣m）≤15700，
解得：m≤12313，
答：该校最多购买篮球123个．
31．（2023•凤凰县模拟）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8：3：2，且其单价和为130元．
（1）请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
（2）若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？
【解答】解：（1）设篮球的单价为8x，则羽毛球拍的单价为3x，乒乓球拍的单价为2x．
8x+3x+2x＝130，
解得x＝10，
∴8x＝80；3x＝30；2x＝20，
答：篮球的单价为80元，羽毛球拍的单价为30元，乒乓球拍的单价为20元；
（2）设篮球的数量为y，则羽毛球拍的个数为4y，乒乓球拍的数量为80﹣5y．80y+4y×30+(80−5y)×20≤300080−5y≤15，
解得13≤y≤14，
∴y＝13或14，
答：有2种购买方案，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的数量分别为：13，52，15或14，56，10．