2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习六（含答案）

2022年中考数学三轮冲刺

《压轴题专练》冲刺练习六

1.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.

(1)求点A.B.C的坐标；

(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A.B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM.如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；

(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；

(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ，求点F的坐标.[

2.如图，抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)，已知直线l的解析式为y=kx﹣5.

(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.

(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；

(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.

(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2

①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；

②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.

3.在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．

（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．

②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．

4.定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点.

(1)直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标.[来源:学科网ZXXK]

(2)如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式.

(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标.

5.如图所示，已知抛物线y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．

(1)请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；

(2)当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

0.2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习六（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3).

令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，[解得，x=﹣3或x=l，

∴A(﹣3，0)，B(1，0).

(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1.

∵M(m，0)，

∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2.[来

(3)∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，[

∴矩形的周长最大时，m=﹣2.

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，

设直线AC的解析式y=kx+b，

∴解得k=l，b=3，

∴解析式y=x+3，

令x=﹣2，则y=1，

∴E(﹣2，1)，

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM×EM=.

(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x=﹣l，

∴N应与原点重合，Q点与C点重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，

∴D(﹣1，4)，

∴DQ=DC=.

∵FG=2DQ，

∴FG=4.

设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，

∵点G在点F的上方且FG=4，

∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4.解得n=﹣4或n=1，[来源

∴F(﹣4，﹣5)或(1，0).

2.解：(1)∵抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)

∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4，

∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5

对称轴：直线x=3

顶点坐标(3，4)；

(2)∵直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点(2，0)或(4，0)，

∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5

∴k=或k=

(3)如图1，设P(x，﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点，

解方程组，解得或

不妨设M(0，﹣5)、N(4，3)∴0＜x＜4

过P做PH⊥x轴交直线l于点H，则H(x，2x﹣5)，

PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x，

S△PMN=PH•xN=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8

∵0＜x＜4

∴当x=2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3)

(4)如图2，

A(1，0)，B(5，0).由翻折，得D(3，﹣4)，

①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大

②当y=kx﹣5过D点时，3k﹣5=﹣4，解得k=，

当y=kx﹣5过B点时，5k﹣5=0，解得k=1，

直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点，即＜k＜1，

当＜k＜1时，直线l与图象L2有四个交点.

3.解：

4.解：(1)抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为(0，1)；

(2)抛物线y=ax2+bx过原点，即点A(0，0)，

如图，作PG⊥x轴于点G，

∵点P的坐标为(1，)，

∴AG=1、PG=，PA==2，

∵tan∠PAB==，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB==4，∴点B坐标为(4，0)，

设y=ax(x﹣4)，

将点P(1，)代入得：a=﹣，

∴y=﹣x(x﹣4)=﹣x2+x；

(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，

则有﹣x2+x=，

解得：x1=3，x2=1(不符合题意，舍去)，

∴点Q的坐标为(3，)；

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣，

则有﹣x2+x=﹣，解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴点Q的坐标为(2+，﹣)或(2﹣，﹣)；

综上，满足条件的点Q有3个：(3，)或(2+，﹣)或(2﹣，﹣).

5.解：(1)把A(﹣1，﹣1)，代入y=ax2中，可得：a=﹣1，

把A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)代入y=kx+b中，

可得：，解得：，

所以a=﹣1，k=﹣1，b=﹣2，

关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，

(2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．

∵A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)，

∴C(﹣1，﹣4)，AC=BC=3，

设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．

过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D(﹣1，﹣m2)，E(m，﹣4)，

∴PD=m+1，PE=﹣m2+4．

∴S△APB=S△APC+S△BPC﹣S△ABC

=

=

=．

∵＜0，，﹣1＜m＜2，

∴当时，S△APB 的值最大．

∴当时，，S△APB=，

即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为(，)

(3)存在三组符合条件的点，

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，

∵AP=BQ，AQ=BP，A(﹣1，﹣1)，B(2，﹣4)，

可得坐标如下：

①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，

解得：P'(﹣3，﹣9)，Q'(0，﹣12)；

②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，

解得：P″(3，﹣9)，Q″(0，﹣6)；

③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，

解得：P(1，﹣1)，Q(0，﹣4)．

故：P的坐标为(﹣3，﹣9)或(3，﹣9)或(1，﹣1)，

Q的坐标为：Q(0，﹣12)或(0，﹣6)或(0，﹣4)．