（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——7图形的变化（含答案详解）

这是一份（湖南专用）中考数学三轮复习冲刺专题练——7图形的变化（含答案详解），共30页。
A．B．
C．D．
2．（2023•长沙四模）把点P（2，﹣5）向上平移3个单位后再关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（5，﹣5）B．（﹣2，2）C．（﹣5，5）D．（2，﹣2）
3．（2023•绥宁县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则csB的值是（ ）
A．12B．55C．255D．53
4．（2023•天元区模拟）如图，某处河堤迎水坡AB的坡比i＝1：3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．5mB．10mC．53mD．8m
5．（2023•天元区模拟）已知△ABC∽△DEF，其对应中线的比为1：3，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．1B．3C．9D．27
6．（2023•涟源市一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（ ）
A．4B．6C．9D．12
7．（2023•绥宁县模拟）如图，已知△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，AC和BD相交于点E，则与△ADE相似的三角形是（ ）
A．△BCEB．△ABCC．△ABDD．△ABE
8．（2023•涟源市一模）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•衡山县校级一模）如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（ ）
A．左视图和俯视图相同B．三个视图都不相同
C．主视图和左视图相同D．主视图和俯视图相同
10．（2023•绥宁县模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．棱柱
二．填空题（共6小题）
11．（2023•绥宁县模拟）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，则DEBC的值是 ．
12．（2023•长沙四模）如图，DE是△ABC的中位线，S△ADE＝1，则S△ABC＝ ．
13．（2023•石峰区模拟）如图，已知一个量角器的直径MN与正方形ABCD的边长相等，点N与点C重合，量角器的半圆弧与边BC交于点P，过点M作GH⊥MN，交边AB，AD于G，H，连结CG，CH，在量角器绕点C顺时针旋转的过程中，若MP的度数为60°，则∠GCH＝ °，此时GMMH的值为 ．
14．（2023•岳阳楼区校级模拟）如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB、AC，若BC＝100m，∠B＝60°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 m（结果精确到1m，3≈1.73）．
15．（2023•天元区模拟）在南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》第二章“天时类”中，收录了四个有关测量降水量的例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中的“峻积验雪”，就是根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，推算平地上积雪的厚度，其原理为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝ ．
16．（2023•天元区模拟）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，则tan∠ADC＝ ．
三．解答题（共10小题）
17．（2023•长沙模拟）如图，AB，CD为两栋建筑物，两建筑物底部之间的水平距离BD的长度为18m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求建筑物AB的高度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
18．（2023•长沙模拟）如图，在网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（1，0）．
（1）在坐标平面内画△PAC，使得△PAC≌△BCA，且点P在第一象限，并写出点P的坐标；
（2）在坐标平面内画△ABC关于BC成轴对称的△QBC，并直接写出四边形ABQC的周长．
19．（2023•长沙四模）长沙市推出新型智慧城市和数字政府建设的工作涉及多个领域，其中智慧校园建设也开展得如火如荼，规划部门在某学校的办公楼顶部新建了一块大型数字展示屏．如图郡郡同学为测量展示屏的高度AB，他站在距离办公楼底部E处12米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为53°，同时测得办公楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上），然后，郡郡沿坡度为i＝1：0.75的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面平行，在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．（sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
（1）求点F距离水平地面的高度和它距窗户D的距离；（保留根号）
（2）求数字显示屏AB的高度（结果精确到0.1米，2≈1.414，3≈1.732）．
20．（2023•石峰区模拟）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离AB＝103米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°．
（1）求AE的长；
（2）求旗杆DE的高．
21．（2023•天元区模拟）如图，正方形ABCD的边长为22，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，以BP为直角边作等腰直角△BPQ，BQ⊥BP，QP交BC于点E，OP延长线与边AD交于点F．
（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；
（2）求证：△ABP∽△CPE；
（3）设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当CE=38BC时，x的值．
22．（2023•天元区模拟）已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），（转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．
（1）当起重臂AC长度为15m，云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为11m，求张角∠CAE的大小；
（2）已知该小区层高约为2.8m，若某9楼居民家突发险情，请问云梯能否将消防员送达该楼层进行救援？请说明理由．
23．（2023•涟源市一模）如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
24．（2023•凤凰县模拟）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝ °；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73，sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
25．（2023•岳阳县一模）如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F使DE＝EF．
（1）求证：△CFE∽△ABC；
（2）求证：四边形BCFD为平行四边形．
26．（2023•衡山县校级一模）如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点（点P不与B、C重合），连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，若AB＝3，BC＝4．
（1）试证明：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP为多少时，CQ最长，最长是多少？
（3）试探究，是否存在一点P，使△APQ是等腰直角三角形？
2023年湖南省中考数学冲刺专题练——7图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023•长沙模拟）下列立体图形中，三视图都一样的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
C、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
D、三棱柱的主视图和俯视图是矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2023•长沙四模）把点P（2，﹣5）向上平移3个单位后再关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（5，﹣5）B．（﹣2，2）C．（﹣5，5）D．（2，﹣2）
【解答】解：将点P（2，﹣5）向上平移3个单位后得到点（2，﹣2），则点（2，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，2）．
故选：B．
3．（2023•绥宁县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则csB的值是（ ）
A．12B．55C．255D．53
【解答】解：如图．
∵∠C＝90°，AC＝2BC＝x，
∴AB=BC2+AC2=x2+4x2=5x．
∴csB=BCAB=x5x=55．
故选：B．
4．（2023•天元区模拟）如图，某处河堤迎水坡AB的坡比i＝1：3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）
A．5mB．10mC．53mD．8m
【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，
即tan∠BAC=BCAC=33=3，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×5＝10m，
∴坡面AB的长是10m，
故选：B．
5．（2023•天元区模拟）已知△ABC∽△DEF，其对应中线的比为1：3，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（ ）
A．1B．3C．9D．27
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：3，对应中线的比为1：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∴△DEF的周长＝3×3＝9．
故选：C．
6．（2023•涟源市一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【解答】解：解法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
由题意可知：∠BFC＝∠DEC＝90°，
∴△BCF∽△CDE，
∴BCCD=CFDE，
设CD＝x，
∴BC＝2CD＝2x，
∴2xx=CF3，
∴CF＝6．
解法二：∵AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴S△ABD＝S△ACD，
∴S△ABC＝2S△ACD，
∵DE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CF，S△ACD=12AC⋅DE，
∵AB＝AC，DE＝3，
∴CF＝2DE＝6．
故选：B．
7．（2023•绥宁县模拟）如图，已知△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，AC和BD相交于点E，则与△ADE相似的三角形是（ ）
A．△BCEB．△ABCC．△ABDD．△ABE
【解答】解：∵∠BCE＝∠BDA，∠CEB＝∠DEA
∴△ADE∽△BCE，
故选：A．
8．（2023•涟源市一模）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：C．
9．（2023•衡山县校级一模）如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（ ）
A．左视图和俯视图相同B．三个视图都不相同
C．主视图和左视图相同D．主视图和俯视图相同
【解答】解：如图所示：
故该几何体的主视图和左视图相同．
故选：C．
10．（2023•绥宁县模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．棱柱
【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2023•绥宁县模拟）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，则DEBC的值是 23 ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2．
∵S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，
∴SADES△ABC=49．
∴(DEBC)2=49，
∴DEBC=23．
故答案为：23．
12．（2023•长沙四模）如图，DE是△ABC的中位线，S△ADE＝1，则S△ABC＝ 4 ．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE=12BC
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADE：S△ABC＝1：4
又∵S△ADE＝1，则S△ABC＝4．
故答案为：4．
13．（2023•石峰区模拟）如图，已知一个量角器的直径MN与正方形ABCD的边长相等，点N与点C重合，量角器的半圆弧与边BC交于点P，过点M作GH⊥MN，交边AB，AD于G，H，连结CG，CH，在量角器绕点C顺时针旋转的过程中，若MP的度数为60°，则∠GCH＝ 45 °，此时GMMH的值为 23−3 ．
【解答】解：在Rt△CGM和Rt△CGB中，
CM=CBCG=CG，
∴Rt△CGM≌Rt△CGB（HL），
∴∠MCG＝∠GCB，
∵MP的度数为60°，
∴∠MCB＝30°，
∴∠MCG＝∠GCB＝15°，
在Rt△CHM和Rt△CHD中，
CM=CDCH=CH，
∴Rt△CHM≌Rt△CHD（HL），
∴∠DCH＝∠MCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠MCD＝60°，
∴∠DCH＝∠MCH＝30°，
∵∠GCH＝∠MCG+∠MCH，
∴∠GCH＝∠MCG+∠MCH＝15°+30°＝45°；
∵Rt△CGM≌Rt△CGB，Rt△CHM≌Rt△CHD，
∴GM＝BG，MH＝DH，∠DCH＝∠MCH，
设MH＝DH＝x，
∵MP的度数为60°，
∴∠MCD＝60°，
∴∠DCH＝∠MCH＝30°，
∴CD=3DH，
设MH＝DH＝x，
则CD=3x=AB，AH=3x−x，
∵AG2+AH2＝GH2，
∴(3x−GM)2+(3x−x)2=(x+GM)2，
∴GM=(23−3)x，
∴GMMH=(23−3)xx=23−3；
故答案为：45；23−3．
14．（2023•岳阳楼区校级模拟）如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB、AC，若BC＝100m，∠B＝60°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 64 m（结果精确到1m，3≈1.73）．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠B＝60°，
∴BD=ADtanB=ADtan60°=233AD，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD=ADtanC=ADtan45°=AD，
∵BD+CD＝BC＝100m，
∴233AD+AD=100m，
解得：AD=(150−503)m≈150﹣86.5≈64．
故答案为：64．
15．（2023•天元区模拟）在南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》第二章“天时类”中，收录了四个有关测量降水量的例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中的“峻积验雪”，就是根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，推算平地上积雪的厚度，其原理为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝ 2625 ．
【解答】解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，
∵DE∥AB，
∴BG⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，
∴四边形ADGB是矩形，
∴BG＝AD＝0.4，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB=AC2+BC2=122+52=13，
∵S△ABC=12BC•AC=12AB•CH，
∴CH=BC⋅ACAB=6013，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠ABC，
∵∠FBE＝∠ACB＝90°，
∴△FBE∽△ACB，
∵CH⊥AB，BG⊥DE，
∴BFAC=BGCH，
∴BF12=0.46013，
∴BF=2625．
故答案为：2625．
16．（2023•天元区模拟）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，则tan∠ADC＝ 33 ．
【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴H是BC中点，
∴AH=12BC，
∵△ADE≌△BAC，
∴AD＝BC，
∴AH=12AD，
∴∠ADC＝30°，
∴tan∠ADC=33．
故答案为：33．
三．解答题（共10小题）
17．（2023•长沙模拟）如图，AB，CD为两栋建筑物，两建筑物底部之间的水平距离BD的长度为18m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求建筑物AB的高度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，
由题意可知：∠EAD＝∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝18m．
答：建筑物AB的高度是18m．
（2）∵四边形BFCD是矩形，
∴BD＝CF＝18m，CD＝BF，
由题可知：∠EAC＝∠ACF＝30°，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=AFCF，
∴AF＝18×33=63m，
∴BF＝AB﹣AF＝（18﹣63）m，
∴CD＝（18﹣63）m．
答：建筑物CD的高度（18﹣63）m，
18．（2023•长沙模拟）如图，在网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（1，0）．
（1）在坐标平面内画△PAC，使得△PAC≌△BCA，且点P在第一象限，并写出点P的坐标；
（2）在坐标平面内画△ABC关于BC成轴对称的△QBC，并直接写出四边形ABQC的周长．
【解答】解：（1）∵△PAC≌△BCA，
∴AP＝BC，AB＝PC．
如图，△PAC即为所求．
点P坐标为（3，3）．
（2）如图，△QBC即为所求．
由勾股定理得，AB＝BQ=22+32=13，AC＝CQ=32+32=32，
∴四边形ABQC的周长为AB+BQ+CQ+AC=213+62．
19．（2023•长沙四模）长沙市推出新型智慧城市和数字政府建设的工作涉及多个领域，其中智慧校园建设也开展得如火如荼，规划部门在某学校的办公楼顶部新建了一块大型数字展示屏．如图郡郡同学为测量展示屏的高度AB，他站在距离办公楼底部E处12米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为53°，同时测得办公楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上），然后，郡郡沿坡度为i＝1：0.75的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面平行，在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．（sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
（1）求点F距离水平地面的高度和它距窗户D的距离；（保留根号）
（2）求数字显示屏AB的高度（结果精确到0.1米，2≈1.414，3≈1.732）．
【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，
依题意知，FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE，
在Rt△CDE中，CE＝12，
DE＝CE•tan∠DCE＝12×tan30°＝43（m），
∴FG＝43m，
∵斜坡CF的坡度为i＝1：0.75，
∴Rt△CFG中，CG＝0.75FG＝43×34=33（m），
∴FD＝EG＝CG+CE＝（33+12）（m），
答：点F距离水平地面的高度为43米，点F距窗户D的距离为（33+12）米；
（2）在Rt△BCE中，
BE＝CE•tan∠BCE＝12×tan53°≈16（m），
∵∠AFD＝45°，∠ADF＝90°，
∴△AFD是等腰直角三角形，
∴AD＝FD＝（33+12）（m），
∴AB＝AD+DE﹣BE＝33+12+43−16＝73−4≈8.1（m）．
答：数字显示屏AB的高度约为8.1米．
20．（2023•石峰区模拟）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离AB＝103米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°．
（1）求AE的长；
（2）求旗杆DE的高．
【解答】解：（1）∵BG∥AC，
∴∠GBA＝∠BAC＝30°．
又∠GBE＝15°，
∴∠ABE＝45°．
∵∠EAD＝60°，
∴∠BAE＝90°．
∴∠AEB＝45°．
∴∠AEB＝∠ABE＝45°．
∴AB=AE=103米．
故AE的长为103米；
（2）在Rt△ADE中，
∵sin∠EAD=DEAE，
∴DE=AEsin60°=103×32=15（米），
答：旗杆的高度DE为15米．
21．（2023•天元区模拟）如图，正方形ABCD的边长为22，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，以BP为直角边作等腰直角△BPQ，BQ⊥BP，QP交BC于点E，OP延长线与边AD交于点F．
（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；
（2）求证：△ABP∽△CPE；
（3）设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当CE=38BC时，x的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠PBQ＝90°，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∴∠PBQ﹣∠CBP＝∠ABC﹣∠CBP，
∴∠ABP＝∠CBD，
∵PB＝PQ，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ；
（2）证明：四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠CAB＝45°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠PQE＝45°，
∴∠ACB＝∠PQB，
∵∠PEC＝∠BEQ，
∴△CPE∽△QBE，
由（1）知：∠ABP＝∠CBQ，
又∵∠BQE＝∠PCE＝45°，
∴△QBE∽△ABP，
∴△ABP∽△CPE；
（3）由（2）知：△ABP∽△CPE，
∴CEAP=CPAB，
∵AC=2AB=4，CP＝AC﹣AP＝4﹣x，
∴yx=4−x22，
∴y=−24x2+2x，
∵y＝CE=38BC=34，
∴−24x2+2x=34，
∴x1＝1，x2＝3．
22．（2023•天元区模拟）已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），（转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．
（1）当起重臂AC长度为15m，云梯消防车最高点C距离地面BD的高度为11m，求张角∠CAE的大小；
（2）已知该小区层高约为2.8m，若某9楼居民家突发险情，请问云梯能否将消防员送达该楼层进行救援？请说明理由．
【解答】解：（1）过点A作AM⊥CD，垂足为M，如图：
∵∠AEF＝∠EFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴MF＝AE＝3.5米，∠EAM＝90°，
∵CF＝11米，
∴CM＝CF﹣MF＝11﹣3.5＝7.5（米），
在Rt△ACM中，AC＝15米，
∴sin∠CAM=CMAC=7.515=12，
∴∠CAM＝30°，
∴∠CAE＝∠EAM+∠CAM＝90°+30°＝120°，
∴张角∠CAE为120°；
（2）该消防车不能实施有效救援，理由：
当∠CAE＝150°，AC＝20m时，能达到最高高度，
∵∠EAM＝90°，
∴∠CAM＝∠CAE﹣∠EAM＝60°，
在Rt△CAM中，CM＝AC•sin60°＝20×32=103（m），
∴CF＝CM+MF＝103+3.5≈20.82（m），
∵8×2.8＝22.4（m），
∴20.82＜22.4，
∴该消防车不能实施有效救援．
23．（2023•涟源市一模）如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
【解答】解：由题意得：
AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，
∵∠MCF是△MCD的一个外角，
∴∠MCF＝∠CDM+∠CMD，
∴∠CMD＝∠MCF﹣∠CDM＝30°，
∴∠CDM＝∠CMD＝30°，
∴CD＝CM＝6米，
在Rt△MCF中，MF＝MC•sin60°＝6×32=33（米），
∴ME＝MF+EF＝（1.7+33）米，
∴学校大门ME的高是（1.7+33）米．
24．（2023•凤凰县模拟）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝ 20 °；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：3≈1.73，sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【解答】解：（1）如图：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
故答案为：20；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，
则GE＝CF，∠BGC＝90°，
∵∠CBE＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm，
∴BE＝AB•sin60°＝24×32=123（cm），
在Rt△BGC中，BC＝10cm，
∴BG＝BC•cs20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE﹣BG＝123−9.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
25．（2023•岳阳县一模）如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F使DE＝EF．
（1）求证：△CFE∽△ABC；
（2）求证：四边形BCFD为平行四边形．
【解答】证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝DB=12AB，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ADAB=AEAC=12，∠ADE＝∠ABC，
∴AC＝2AE，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中，
AE=EC∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，
∴∠F＝∠ADE＝∠ABC，
∴△CFE∽△ABC；
（2）∵∠F＝∠ADE，
∴BD∥CF，
又∵DE∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形．
26．（2023•衡山县校级一模）如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点（点P不与B、C重合），连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，若AB＝3，BC＝4．
（1）试证明：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP为多少时，CQ最长，最长是多少？
（3）试探究，是否存在一点P，使△APQ是等腰直角三角形？
【解答】解：（1）∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
而∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ；
（2）设BP＝x，
∵△ABP∽△PCQ，
∴CQBP=PCAB，即CQx=4−x3，
则CQ=−13x2+43x=−13（x﹣2）2+43≤43，
故当x＝2时，CQ的最大值为43，
即BP为2时，CQ最长，最长是43；
（3）∵△APQ是等腰直角三角形，则PA＝PQ，
而△ABP∽△PCQ，
则△ABP≌△PCQ（AAS），
∴AB＝PC＝3，
则BP＝4﹣3＝1，
即BP＝1时，△APQ是等腰直角三角形．