2024-2025学年上海市普陀区高三上册11月期中数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年上海市普陀区高三上册11月期中数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，则_________.
【正确答案】
【分析】解对数不等式得出集合，然后再根据交集的定义即可得出答案.
【详解】，所以.
故
2. 已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【详解】试题分析：由题意，，，由，得，即．
考点：集合运算．
3. 已知幂函数的图像过点，则的定义域为________
【正确答案】(0,+∞)
【分析】依题意可求得，从而可求f（x）的定义域．
【详解】依题意，得：，所以，
，所以，定义域为：，
故答案为
本题考查幂函数的性质，求得α是关键，属于基础题．
4. 若函数为偶函数，则_____．
【正确答案】1
【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
5. 已知，则的最小值为__________．
【正确答案】-1
【分析】变形为，利用基本不等式求解.
【详解】解：∵，
又∵，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴最小值为
故
6. 已知函数，则不等式的解集为_________.
【正确答案】
【分析】利用函数解析式可判断该函数为偶函数，且在上单调递增，不等式等价为，可得结果.
【详解】根据可知定义域为，
且该函数为偶函数，在上单调递增，
因此即为；
即可得，解得且，
因此不等式的解集为.
故
7. 设都是正实数，则是的_________条件.
【正确答案】充分不必要
【分析】充分性用基本不等式证明，必要性用特殊值排除.
【详解】由基本不等式可知：，
三式相加得：，即，
又因为，所以，取等条件为，所以是充分条件；
取，可知不等式成立，此时，所以必要性不成立.
故充分不必要
8. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可.
【详解】由复合而成.
而单调递增，只需要单调递减.
且在上恒成立.则即可，解得.
故实数a的取值范围是.
故答案为.
9. 已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
【正确答案】
【分析】设，即当时，，则满足
解不等式组可得x的取值范围．
【详解】，不等式恒成立
即，不等式恒成立
设，即当时，
所以 ，即，解得或
故
10. 已知函数，当时，，若在区间内，有两个不同的零点，则实数t的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】由得，分别求出函数的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当时，，
当，可得，
可知函数在上的解析式为，
由得，
可将函数f（x）在上的大致图象呈现如图：
根据的几何意义，
x轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置，
当直线经过点，可得，
因此直线的斜率t的取值范围是
故答案为
本题考查函数方程的转化思想，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
11. 设、均为实数，若函数在区间上有零点，则的取值范围是___________．
【正确答案】．
【分析】
根据零点的定义，转化为方程在区间上有实数根，然后根据一元二次方程的实数根的分布的性质，结合重要不等式进行求解即可.
【详解】因为函数在区间上有零点，
所以方程在区间上有实数解，
即在区间上有实数解，
设，要想在区间上有实数解，
当在区间上有唯一实数解时，
只需，
而，
当在区间上有二个不相等实数根时，设为，
则有，
由，而，所以不等式显然成立，
因此有 ，
综上所述：，
故
方法点睛：解决函数零点问题往往转化为方程的根的问题，通过方程实数根的分布进行求解.
12. 设，记，则它的最大值和最小值的差为_______.
【正确答案】
【分析】由得到S的最大值，再令，利用导数法求得其最大值，从而得到S的最小值即可.
【详解】解：，
因为，所以，
所以，
当或时等号成立，所以的最大值为1.
令，
则，
令，则，
令，得或（舍去），，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
从而，当，及时等号成立，
所以的最小值为.
所以S的最大值和最小值的差为，
故
关键点点睛：本题关键是利用基本不等式变形，，再令转化为函数，利用导数法而得解.
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）
13. 若,则下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵
∴设
代入可知均不正确
对于，根据幂函数的性质即可判断正确
故选D
14. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
15. 设，若、是方程的两相异实根，则有（ ）
A. ，B. ，
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用可得出，利用韦达定理可判断CD选项.
【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错；
由题意可知，，则，
由韦达定理可得，，
所以，与的大小关系不确定，C错；
，
所以，，D对.
故选：D.
16. 已知定义在上函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A. ①②都是假命题B. ①②都是真命题
C. ①假命题，②是真命题D. ①是真命题，②是假命题
【正确答案】B
【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可.
【详解】，故在上递增，
对于①，设，，
设，
，，
单调递减，单调递增，
，即，
，即，
故，故①是真命题.
对于②，由①知，，
即，
，故.
且在上递增，故，
，
故的值域为
所以，
即，故，
②是真命题.
故选：B
关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 已知三个集合： ， ， .
（1）求；
（2）已知，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）.
（2）.
【分析】（1）解方程求出集合、，计算；
（2）根据，求出集合的元素特征，根据元素特征，求出实数的取值范围．
【小问1详解】
,
,
【小问2详解】
,

设，
则
即解得
所以实数的取值范围是
18. 记函数的定义域为的定义域为.
（1）求集合；
（2）若，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2），
【分析】(1)利用根号内大于等于0解不等式即可.
(2)根据(1)中的可分当与两种情况进行分析.
【小问1详解】
由题意.
即，解得：或.
所以
【小问2详解】
因为,则根据子集与推出关系,
即当时,可以使得恒成立,可知
当时，恒成立，所以必有恒成立，即恒成立，
所以；
当时,恒成立，所以必有ax+1−1xmax⇒a≥12；
综上：，
19. 某个体户计划经销、两种商品，据调查统计，当投资额为（）万元时，在经销、商品中所获得的收益分别为万元与万元、其中（）；，（）已知投资额为零时，收益为零.
（1）试求出，的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入最大值.（精确到0.1，参考数据：）.
【正确答案】（1）；（2）个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益.
【分析】(1)由关系投资额为零时收益为零，列方程求，的值；(2)设投入商品的资金为万元，求总收益的函数解析式，再利用导数求其最值.
【详解】(1)根据问题的实际意义，可知，
即：，
(2)由(1)的结果可得：，依题意，可设投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，若所获得的收入为万元，则有
（）
∴ ，令，得
当时，；当时，；
∴是在区间上的唯一极大值点，此时取得最大值：
（万元），（万元）
答：该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益.
20. 已知，
（1）若，求的最大值；
（2）若，求关于的不等式的解集；
（3），对于给定实数，均有满足，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）若，解集为；若，解集为且；若，解集为.
（3）当或时， ；当或时， ；当时，.
【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数分析求解；
（2）换元令，可得，分类讨论的符号，结合分式不等式求解；
（3）令,，按照、、分类讨论，表示出，即可求解.
【小问1详解】
因为，可知的定义域为，此时，
若，则，
可得，
令，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
【小问2详解】
若，则，
对于，即，
令，则，
若，则，可得，
解得，可得；
若，则，可得，
解得，可得且；
若，则，可得，
解得或，可得或；
综上所述：若，解集为；
若，解集为且；
若，解集为.
【小问3详解】
令, 则,
①当时,
,
当 时, 即 或 时, ；
当时, 即或时, , 所以;
当 时, .
②当时，,
,
当 时, , 所以;
当 时, , 所以;
当 时,.
③当 时, 成立.
综上所述, 当或时， ；
当或时， ；
当时，.
关键点点睛：第三问关键点令,，通过分类讨论表示出，再按照的范围分类求解.
21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．
（1）试问函数是否为函数的“导控函数”？
（2）若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
（3）若，函数为偶函数，函数是函数的“导控函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．
【正确答案】（1）是 （2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据“导控函数”得定义求解即可；
（2）由题意可得，再根据“导控点”的定义可得，求出，进而可求出，进而可得出答案；
（3）根据“导控函数”的定义结合充分条件和必要条件的定义求证即可.
【小问1详解】
由，得，由，得，
因为，所以函数是函数的“导控函数”；
【小问2详解】
由，得，
由，得，
由，得，
由题意可得恒成立，
令，解得，
故，从而有，所以，
又恒成立，即恒成立，
所以，所以，
故且“导控点”为；
【小问3详解】
充分性：若存在常数使得恒成立，
则为偶函数，
因为函数为偶函数，所以，
则，即，
所以恒成立，所以；
必要性：若，则，所以函数为偶函数，
函数是函数的“导控函数”，
因此，
又，
因此函数是函数的“导控函数”，
所以，即恒成立，
用代换有，
综上可知，记，
则，
因此存在常数使得恒成立，
综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”．
关键点点睛：理解“导控函数”和“导控点”的定义是解决本题的关键.