2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高二上册月考三数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省汉中市汉台区高二上册月考三数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．2024
3．已知空间向量，若 ，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知四面体中，为中点，若，则（ ）
A．3B．2C．D．
5．设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆 的蒙日圆有且仅有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点．若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A．的周长为
B．存在点，使得
C．若，则的面积为
D．使得为等腰三角形的点共有4个
10．设直线的交点为，则（ ）
A．恒过定点0,2
B．
C．的最大值为
D．点到直线的距离的最大值为5
11．已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ）
A．直线与直线的夹角为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．点到平面的距离为
D．三棱锥的外接球的半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，抛物线上的点与点的距离为3，则抛物线方程为 ．
13．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
14．在数列中，，且，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上．
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
16．已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；
(3)过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程.
17．已知是等差数列的前n项和，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前100项和.
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点.
(1)求证：平面；
(2)求的长；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19．双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线过双曲线的右焦点，交双曲线于，两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由可得，故，且开口向下，
故抛物线的准线方程是.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】由，可得，
同理可得，所以数列是周期为3的数列，
则.
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】因为，所以，
又，所以，解得，
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：，
因为，所以，解得.
故选：D.
5．【正确答案】B
【详解】时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是，
综上，倾斜角范围是．
故选：B．
6．【正确答案】C
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
7．【正确答案】C
【详解】根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，圆心为，半径为2，
因为圆与只有两个交点，即两圆相交，
，解得.
所以的取值范围为.
故选：C.
8．【正确答案】C
【详解】如图，
由已知可得，，
由椭圆定义可知，
，
所以，
因为，所以，
所以，所以或（舍去）.
故选：C.
9．【正确答案】AB
【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确；
对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确.
对于C，当时，如图：
设，，则.
所以，所以C错误；
对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误.
故选：AB
10．【正确答案】ABD
【详解】对于选项A，因为直线，即，
令，解得，所以恒过定点0,2，故A正确；
对于选项B，因为直线满足，
所以，故B正确；
对于选项C，联立两直线方程，解得，
所以，
则
，
令，则，所以，
且在上单调递增，当时，，
所以，故C错误；
对于选项D，由A可知，直线恒过定点0,2，
则点到直线的距离的最大值即为点到定点0,2的距离，
即，故D正确；
故选：ABD
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，由点分别是棱的中点，所以，
所以与的夹角为与的夹角即
为正三角形，，故A正确；
对于B，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
与平面所成角的正弦值为，故B正确；
对于C，，
设平面的法向量
不放设，则
设点到平面的距离为，则，故C错误；
对于D，的外接圆是以为直径的圆，设圆心为
则，易得，
设三棱锥的外接球的半径为，球心为，
故D正确；
故选：ABD.
12．【正确答案】．
【详解】试题分析：由题意可知抛物线开口向右，设抛物线方程为，其焦点，
准线．
由抛物线的定义可知，解得．
所以此抛物线方程为．
考点：抛物线的定义，方程．
13．【正确答案】
作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为.
关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
14．【正确答案】
【详解】因为，
所以，又，即为常数数列，
所以，则，则.
故
15．【正确答案】(1)，，，
(2)
【详解】（1）由点均在函数的图象上，可得，
则，，
，.
（2）由点均在函数的图象上，可得，
当时，可得；
当时，，
经检验，当时不成立，
所以数列的通项公式为.
16．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解；
（3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解.
【详解】（1）
依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立：
，整理可得，故，由弦长公式，
（3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，），设直线为：，和椭圆方程联立得，，
，则，故，
由韦达定理可得：，，
于是，，故，
即，
化简可得，解得，
故直线为：
17．【正确答案】(1)
(2)200
【详解】（1）设公差为d，结合题设有，
解得，
则
故的通项公式为.
（2），
所以
.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.
由题意知：，，，
则，.
又平面，
平面.
（2）由题意知：，.
设，
则.
，
，
即，
展开有：，
解得.
故，
则有；
（3）由题意知：，
设平面的法向量，
有则，令，则，
由（1）知，则平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．【正确答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意可知双曲线的渐近线方程为，
因为一条渐近线的倾斜角为，所以，
双曲线经过点，则，
联立，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知双曲线的右焦点为，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设Ax1,y1，Bx2,y2，，
因为，所以，
即，
整理得①，
由，得到，
因为直线l与双曲线有两个不同的交点，
故且，
所以，
由题设有①对任意的总成立，
因为，
所以①可转化为，
整理得到对任意的总成立，
故，解得，故所求的定点的坐标为．
当直线l的斜率不存在时，则，此时或，
当时，此时或，
都满足；
综上，定点的坐标为．