2024-2025学年陕西省汉中市高三上册第三次际联考（12月）数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省汉中市高三上册第三次际联考（12月）数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，，命题，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
4．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ）
A．1kgB．2kgC．3kgD．0.5kg
7．已知，C是以AB为直径的圆上一点，，D为AC的中点，则（ ）
A．-9B．-12C．-15D．-16
8．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（ ）
A．有且仅有1个值B．有且仅有2个值
C．有且仅有3个值D．有无数多个值
二、多选题（本大题共3小题）
9．某公司为保证产品的生产质量，连续7天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品件数的一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．极差是4B．众数等于平均数
C．方差是D．分位数是1
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ）
A．B．双曲线C的一条渐近线的斜率为
C．D．
11．设，函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，函数为增函数B．点为函数图象的对称中心
C．存在a，使得函数有且仅有一个极值点D．函数至少有一个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，常数项是 ．（用数字作答）
13．已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
14．已知抛物线，若过点的直线与抛物线C只有一个交点，则这样的直线一共有 条．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的三个内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求证：为直角三角形.
16．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程．
17．“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由.
18．如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成，其中，点G为弧的中点，且四点共面．

(1)证明：四点共面；
(2)若二面角的余弦值为，求的长．
19．函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线．
(1)已知函数与在定义域上存在支撑线，请你从中选择其中一个函数进行证明；
(2)若直线是在定义域上的支撑线，求实数a的值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，
所以，
故选：B
2．【正确答案】C
【详解】由，可知复数在复平面内对应的点的坐标是.
故选：C.
3．【正确答案】A
【分析】分别判断命题、的真假，即可得答案.
【详解】解：因为命题，，所以为真命题；
命题当时，，故为真命题.
故选：A.
4．【正确答案】D
【详解】依题意, .
故选:D.
5．【正确答案】C
【详解】由，得，
画出函数在区间上的图象如下图所示，
要使函数在上有两个不同的零点，
由图可知，的取值范围是.
故选：C
6．【正确答案】A
【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】由题意得到，再以为基底，利用数量积的运算求解.
【详解】解：如图所示：
因为，C是以AB为直径的圆上一点，，
所以，
又D为AC的中点，
所以，
，
故选：D.
8．【正确答案】A
【详解】设等差数列an的公差为，等比数列bn的公比为，
因为，，，
则，解得，
令，
可得，此时满足只有成立；
若，则，
（1）若为奇数，则，不满足；
（2）若为偶数，则，且，
即，可得，即不成立；
综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1.
故选：A.
9．【正确答案】ABC
【详解】该组数据从小到大排列为，
对于A，该组数据的极差为，故A正确；
对于B，众数为2，平均数为，故B正确；
对于C，该组数据的方程为，
故C正确；
对于D，因为，所以这组数据的百分位数为第三个数2，故D错误.
故选：ABC.
10．【正确答案】ABD
【详解】由题知，，所以双曲线的焦点，，，
由，可得，故A正确，C错误；
由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为，，
故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确．
故选：ABD．
11．【正确答案】BD
【详解】由题意，，，
因为对，有，
所以点为函数图象的对称中心，故B正确；
函数的导函数，，
①当时，恒成立，此时函数是上的减函数，
则函数没有极值点，又，，
所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；
②当时，，则方程有唯一解，
当时，，当时，，所以函数是上的减函数，
则函数没有极值点，又，，
所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点；
③当时，由，得，即，
因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
此时，函数有两个极值点，
又时，，时，，
所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点；
综上所述，当时，函数为减函数，故A错误，
当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确；
故选：BD.
12．【正确答案】15
【详解】二项式的通项为：，
令，解得，故常数项是.
故15.
13．【正确答案】36
【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列，
可得，即，解得.
故36.
14．【正确答案】2
【详解】
如图，因在抛物线上，则过点与抛物线只有一个交点的直线共有两条，
一条是与抛物线对称轴平行的直线，另一条是以点为切点的直线，以下求出该切线方程.
设过点的切线方程为，即，
将其代入，可得，
由，解得，
即抛物线在点处的切线方程为.
综上，过点与抛物线只有一个交点的直线有和两条.
故2.
15．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求；
（2）结合（1）与余弦定理可求得，进而计算可得，可得结论.
【详解】（1）由，可得，解得，
因为，所以.
（2）由（1）可知，，
又，
在中，由余弦定理可得，
解得，所以，由勾股定理的逆定理可得，
所以为直角三角形.
16．【正确答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）椭圆E经过点，，
椭圆E的长轴长是短轴长的倍，，
椭圆E的标准方程为；
（2）
如图，设，
由消去得：，
由，可得，
则，
线段中点的横坐标为，
，
解得，则，因两个值都满足，
故直线l的方程为，即或.
17．【正确答案】(1)分布列见解析，
(2)选方案一3局2胜制，理由见解析
【详解】（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，
，，
的分布列为
所以.
（2）应选择方案一3局2胜制，理由如下：
若选赛制一3局2胜制时，记乙获胜为事件A，
则，
若选赛制二5局3胜制时，记乙获胜为事件B，
则
因为，所以选方案一3局2胜制.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）

连接，因为，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，，
在半圆上，是弧中点，所以，
所以，又，
所以，所以四点共面.
法二：直三棱柱中，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，设则，
所以
所以，则，
所以四点共面.
（2）直三棱柱中，，以为原点，建立如图空间直角坐标系，
，设，则，
，
设平面的法向量为，
则，即，化简得，取，
又为平面的一个法向量，
，解得，
即的长为．
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）选择函数，令，
则，由，得，由，得，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，即，即是的一条支撑线；
选择函数，所以是函数的一条支撑线.
（2）直线是在定义域上的支撑线，
若，则时，，
时，，不合题意，
，
直线是在定义域上的支撑线，
恒成立，
令，
，由，得，
时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，
的最大值为，
令，
在上单调递减， 在上单调递增，，
，．2
3