2024-2025学年陕西省西安市高二上册第二次（12月）月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市高二上册第二次（12月）月考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了未知，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、未知（本大题共11小题）
1．已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．31B．32C．35D．36
2．已知向量，，若，，则的值是（ ）
A．或1B．3或C．D．1
3．已知数列满足则其前9项和等于（ ）
A．150B．180C．300D．360
4．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为( )
A．B．C．D．
5．圆：与圆：的位置关系为（）
A．相交B．外切C．内切D．外离
6．已知正方体的棱长为1，在正方体内部，且满足，则点到直线AD的距离是（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则等于（ ）
A．4B．C．D．3
8．已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线l2平行，则a的取值可以为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
10．等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．D．存在最大值
11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．不存在点，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
二、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线与直线互相垂直，则 ．
13．记为等差数列的前n项和.若，则=___________.
14．若圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线与垂直．
(1)求;
(2)求直线与直线之间的距离．
16．已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点．
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当直线的斜率时，求弦的长．
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝44，S8＝56.
（1）求Sn；
（2）求Sn的最大值.
18．已知椭圆 ​与​轴的正半轴交于点， 且离 心率​.
(1)求椭圆 ​的方程;
(2)若直线 ​过点​与椭圆​交于​两点， 求​面积的最大值并求此时的直线方程.
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且．
(1)证明：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值．
答案
1．【正确答案】D
【详解】.
则.
故选：D
2．【正确答案】A
【详解】因为，，且，，
所以，解得或，
所以或.
故选：A
3．【正确答案】B
【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解.
【详解】因为
所以所以其前9项和等于，
故选:B.
4．【正确答案】D
求出双曲线的右焦点坐标,渐近线方程,利用已知条件求解,即可求得答案.
【详解】双曲线
可得:,可得:
可得右焦点为 ,
点F到渐近线的距离为:
故选: D.
5．【正确答案】A
【详解】由已知，得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则，∵，∴两圆相交.
故选：A．
6．【正确答案】B
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
故，，，
因为，所以，易知，
故点到直线AD的距离.
故选：B.
7．【正确答案】A
【详解】由方程得，圆心为，
因为直线l是圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，所以，所以A点坐标为，
则，所以.
故选：A．
8．【正确答案】D
【详解】
如图，：的图象，则，，其中，
设，，则，
，，，
因，得，
故，得，
由得，
得即，得
由，得，又，，
化简得，又椭圆离心率，
所以，得.
故选：D
9．【正确答案】AC
【详解】若直线l1与l2平行，则，即a(a+1)=2，故a= -2或a =1.
当时，，，符合题设；
当时，，，符合题设；
故选：AC.
10．【正确答案】AC
首先根据，得到，再依次判断选项即可.
【详解】因为，所以，
又因为，解得.
对选项A，，故A正确；
对选项B，，
因为，，，，
所以的最小值为或，故B错误；
对选项C，，
又因为，所以，即，故C正确；
对选项D，因为，，所以无最大值，故D错误.
故选：AC
11．【正确答案】ABC
【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由已知可得，，所以，
则，故A正确；
对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；
对于C，由已知，，所以，．
又，则．
根据椭圆的定义可得，
所以，
由图可知，，

所以
当且仅当，，三点共线时，取得等号．
故的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，的最小值为，故D错误．
故选：ABC
本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.
12．【正确答案】
【详解】斜率为
直线斜率为
两直线垂直，所以斜率之积为，即
所以
故．
13．【正确答案】144
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
则解得，
所以，
故答案为:144.
14．【正确答案】
【详解】根据题意，圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为：，半径．
由圆：与圆：相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，
则有，可得．
由，
得
故．
15．【正确答案】(1)1或3
(2)时,距离为;时,距离为．
【详解】（1）解:由题知与垂直,
故有,
解得或;
（2）由(1)知或,
当时,
,
则两直线的距离为:,
当时,
,
则两直线的距离为:,
综上: 时,距离为;
时,距离为．
16．【正确答案】（1）；（2）．
（1）求得圆心为，根据斜率公式，求得直线的斜率为，结合点斜式，即可求解；
（2）当直线的斜率时，求得直线的方程，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，圆的圆心为，
因为直线过点、，所以直线的斜率为，
即直线的方程为，所以．
（2）当直线的斜率时，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，圆的半径为，
所以弦AB的长为．
17．【正确答案】（1）；（2）56.
（1）根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得a1 和d的值，代入公式，即可求得Sn；
（2）根据等差数列前n项和的函数性质，求解即可.
【详解】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S4＝44，S8＝56，得，
解得a1＝14，d＝﹣2，
所以；
（2）由（1）可知，为关于n的二次型函数，其对称轴方程为，
又因为，
所以当n＝7或8时，Sn有最大值为56.
18．【正确答案】(1)
(2)​；
【详解】
（1）由题意，由离心率可得出，从而得出方程.
（2）由题意直线 ​的斜率不为 0 ，设 ​与椭圆方程联立，得出韦达定理，得出​面积的表达式，求出其最大值即可得出答案.
(1)
椭圆​与​轴的正半轴交于点​，则
，则
​椭圆 ​的方程为: ​
(2)
当直线 ​的斜率为 0 时，​三点共线， 显然不满足题意.
当直线 ​的斜率不为 0 时，
设 ​代入​，得到​
​设​
​
​
​
令 ​
令 ​， 在​单调递增，
​当​为最大
​， 此时​的方程为:​
19．【正确答案】(1)见详解
(2)
(3)存在，
【详解】（1）证明：∵，为的中点 ∴
又∵平面平面，平面平面，平面
∴平面
∵平面 ∴
（2）
解法1：分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
∵为的中点，是边长为1的等边三角形
∴是直角三角形，，，
∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，
由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形
∵，∴，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
∴，，
设是平面的一个法向量，
则，即
令，则，，，
∴直线和平面所成角的正弦值等于
解法2：由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形
∵
∴，，
在中，，，
∴，
设d是底面ABC的高
则，
∴直线和平面所成角的正弦值为.
（3）在棱上存在点，使二面角的大小为.
设
由（2）知，，
，
是平面的一个法向量
设是平面的一个法向量，则
即
取，，
∵二面角的大小为
∴
即
整理得， 解得，或（舍去）
所以，，
所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，.