陕西省汉中市汉台区2024届高三下学期教学质量检测考试数学（理）试题及详细答案

这是一份陕西省汉中市汉台区2024届高三下学期教学质量检测考试数学（理）试题及详细答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
2．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
5．定义在R上的奇函数满足，且时，，则（ ）
A．B．1C．7D．
6．若在中满足：则边上的高为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
9．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
10．作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：
已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销；花费在6000元以上的报销所花费费用的.则下列说法中，正确的是（ ）
A．
B．若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元
C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为的概率为
D．这100份花费费用的中位数是4200元
11．将一副三角板排接成平而四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得而ABD⊥面BCD．若三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离为6，则 .
14．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则 .
15．已知函数在上的最小值为1，则的值为 .
16．如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态．若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次，则和的最终状态都未改变的概率为 ．
三、解答题
17．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求的表达式．
18．如图，在四棱锥中，，，，．
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为12，求平面与平面的夹角的余弦值．
19．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
附：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
21．如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)设点为曲线上的任意一点，直线交轴，轴于，两点，求面积的最大值.
23．已知函数．
(1)解不等式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
月份t
1
2
3
4
订单数量y（万件）
5.2
5.3
5.7
5.8
参考答案：
1．B
【分析】根据复数的几何意义并结合复数的乘法运算从而求解.
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，则，
所以，所以．故B正确.
故选:B．
2．A
【分析】由指数函数值域求集合N，应用集合并运算求结果.
【详解】由题设，故.
故选：A
3．A
【分析】根据充分与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断即可.
【详解】因为与的终边相同则，但当时与的终边可能相同或者关于轴对称，故“与的终边相同”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
4．D
【分析】由条件可得，即可得离心率.
【详解】因为双曲线：的一条渐近线为，所以，
所以双曲线的离心率为.
故选：D.
5．A
【分析】由题可得，然后结合奇偶性，即可利用解析式求出答案.
【详解】，
，
又是奇函数，且时，，
，
，
故选：A.
【点睛】本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简单的指、对数计算，难度不大.
6．B
【分析】利用余弦定理求出，再利用面积相等求解即可.
【详解】因为
所以由余弦定理可得
即，
解得，或（舍去），
设边上的高为，
则，
即，
故选：B.
7．A
【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】易知在上单调递增，则，即，
而由单调递增，得，即，
又单调递增，故则.
故选：A
8．B
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，

所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
9．C
【分析】先对解析式进行降幂，再平移得到，利用奇函数特征求得，考虑范围即得.
【详解】由向左平移个单位得到的图象，
因为奇函数，故，则，即，又，则.
故选：C.
10．D
【分析】由频率之和为1可判断A，求出该病人在医院住院保险金额可判断B，根据样本中可报销的占比为0.15可判断C，根据样本中消费费用小于4000的直方图面积判断出中位数应在内，计算即可得出结果.
【详解】由频率分布直方图可得
，
经计算得，即A错误；
某病人住院花费了4300元，则报销的金额为元，所以此人实际花费为元，即B错误；
样本中可报销费用为的占比为0.15，即根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为的概率为，即C错误；
样本中花费金额小于4000的概率为
所以中位数应在区间内，
所以花费费用的中位数是元，即D正确.
故选：D
11．C
【分析】利用面面垂直的性质和线面垂直的判定找到球心的位置即为的中点，再利用球的表面积公式即可.
【详解】由题意得，，因为面面BCD，
面面BCD，且，面，则面，
因为面，所以，又因为，面，且，
所以平面，因为平面，所以，
取中点为，则，则球心即为中点，
而，则球的半径为，
则球O的表面积为，
故选：C.
12．C
【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解.
【详解】对任意的，，且，，易知，
则，所以，
即．
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
所以，故，
即实数的取值范围为．
故选：C．
13．6
【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义列式计算即得.
【详解】抛物线的准线为，依题意，，解得，
所以.
故答案为：6
14．
【分析】设等比数列的公比为，则，根据等差中项和等比数列的通项公式列式求出，再根据等比数列的通项公式可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
因为，，成等差数列，所以，
所以，所以，
解得或（舍），
所以.
故答案为：.
15．1
【分析】分，讨论，利用函数的单调性求最值即得.
【详解】由题意得，
当时，在上单调递减，
∴的最小值为，，
所以不成立；
当时，，在单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，符合题意.
故.
故答案为：1.
16．
【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】要使得的状态发生改变，
则需要按，，，，这五个开关中的一个，
要使得的状态发生改变，则需要按，，这三个开关中的一个，
所以要使得和的最终状态都未发生改变，
则需按其他八个开关中的两个或，，，，中的两个
或，，中的两个，
故所求概率为.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用求数列通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，
所以（，）．
所以（，）．
又也满足上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
所以，
．
两式作差得，
．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面即可得出结论；
（2）利用体积求出三棱锥的高，建立空间直角坐标系并表达出各点坐标，求出平面与平面的法向量，即可求出平面与平面的夹角的余弦值．
【详解】（1）在四棱锥中，连接,

因为，，
所以，又因为，，
所以，
所以，即．
因为，平面，
所以平面，所以，
由，平面，
所以平面，平面，
所以．
（2）由题意及（1）得，在四棱锥中，
因为，所以．
建立以为原点，所在直线分别为轴的空间直角坐标系，

，，，，
设平面PBC的一个法向量为，则
，即，取，
设平面PCD的一个法向量为，则
，即，取，
所以，
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为．
19．(1)，订单数量y与月份t的线性相关性较强
(2)，6.05万件
【分析】（1）根据公式求出相关系数的值，即可判断；
（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，代入回归方程求解即可.
【详解】（1），，
，
，
，
，
订单数量y与月份t的线性相关性较强；
（2），
，
线性回归方程为，
令，则（万件），
即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.
20．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【详解】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
21．(1)椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为
(2)是定值，为，理由见解析
【分析】（1）设椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，根据在曲线上、焦点坐标可得答案；
（2）设直线的方程为，，直线的方程与椭圆方程、双曲线方程分别联立，利用韦达定理求出、，由转化为化简可得答案.
【详解】（1）设椭圆所在的标准方程为，
双曲线所在的标准方程为，
因为，
所以可得，，
解得，，
所以椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为；
（2）是定值，为，理由如下，
由（1）椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，
因为直线与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，
双曲线的渐近线方程为，所以，
可得，，
直线的方程与椭圆方程联立，整理得
，
所以，
所以，
直线的方程与双曲线方程联立，整理得
，
所以，
所以，
所以
，
所以是定值.
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由转化为，再利用韦达定理.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）根据参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转化即可求解；
（2）由（1）可得，设，利用点线矩和三角函数的有界性求出高的最大值，即可求解.
【详解】（1）由（为参数），得曲线的普通方程为：，
因为，所以，
由代入得直线的直角坐标方程：.
（2）由直线的直角坐标方程：知，，，则，
设点，则点到直线的距离为
，
当即时，点到直线的距离最大为.
所以面积的最大值为.
23．(1)
(2)．
【分析】（1）分段讨论解含绝对值的不等式；
（2）作出函数图象，数形结合求解；也可分离参数，转化为恒成立问题求解.
【详解】（1）由题意得，
由，可得或或，
解得，所以不等式的解集为.
（2）解法一：如图所示，函数图象是顶点为，开口向上的“V”型折线，
其左支过点时，．

①当时，函数图象在函数的图象下方，不等式，
显然成立
②当时，函数图象有部分在函数的图象上方，不一定成立．
综上所述，实数m的取值范围为
解法二：因为恒成立，
所以，即恒成立，
令，只需，由几何意义得，
故，即实数m的取值范围为．