2024-2025学年陕西省高二上册12月诊断性测试数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省高二上册12月诊断性测试数学检测试卷（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ）
A．B．C．D．
4．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（ ）
A．B．
C．D．无最大值
5．在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（ ）
A．B．C．D．2
7．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使得曲线为圆
B．若曲线C为椭圆，则
C．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则
D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量与向量共面
11．已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．平面
C．异面直线AE与所成的角的余弦值为D．点到平面ACE的距离为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为 .
13．已知实数x，y满足，则的取值范围为 .
14．已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．等差数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值.
16．求满足下列条件的标准方程
(1)求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程；
(3)焦点F在y轴上，点在抛物线上，且的抛物线的标准方程．
17．已知圆经过点和，圆心在直线上.直线的方程为
(1)求圆的标准方程；
(2)求直线被圆截得的弦长的最大值和最小值.
18．如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．如图，已知椭圆：（）的上顶点为A0,3，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线和的斜率分别为，，求证:为定值；
(3)求证：直线过定点.
答案
1．【正确答案】A
【详解】由题意，的最小值是点到直线的距离，即
.
故选：A.
2．【正确答案】C
【详解】对圆进行配方可得：，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线经过圆心，
所以，解得，故圆心为，
故选：C.
3．【正确答案】D
【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即，
设点关于直线的对称点，则，
即，解得，即，
于是反射后的光线所在的直线方程为，即，
对于A：时，，故A正确；
对于B：时，，故B正确；
对于C：时，，故C正确；
对于D：时，，故D错误.
故选：D.
4．【正确答案】B
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，
则，即，
可得，则，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以，故B正确；
对于选项D：因为，且，可知，
当时，；当时，；
可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，
对于选项C：因为，
所以，故C错误；
故选：B.
5．【正确答案】B
【详解】由，则
，
，
，
，
…
，
以上各式累加得．
所以．
因为也适合上式，
所以．
故选：B.
6．【正确答案】B
【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，
设直线的倾斜角为，由图，根据是正三角形，
有，又F1,0，所以，
联立，得，
设，则，
由抛物线的定义，.
故选：B.

7．【正确答案】C
【分析】
利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.
【详解】
如图所示
由题意知，解得
记的右焦点为，即，
由双曲线的定义，得，即
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
8．【正确答案】C
【详解】
如图，由椭圆定义可知，且，又，
利用余弦定理可知：
，化简可得，
所以的面积为，
设的外接圆半径为，内切圆半径为，
由正弦定理可得，可得，
易知的周长为，
利用等面积法可知，
解得，
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，
即可得，所以，离心率.
故选：
9．【正确答案】AC
【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.
【详解】A正确：曲线C为圆即 ；
B错误：C为椭圆
C正确：C为焦点在x轴上的双曲线，
D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值.
故选：AC
10．【正确答案】BD
【详解】对于A，，则，
而，因此，A错误；
对于B，，则，，B正确；
对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误；
对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确.
故选：BD
11．【正确答案】ABD
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则.
A：，
所以，故A正确；
B：，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，即，又平面，所以平面，故B正确；
C：，则，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
D：设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
得，所以点到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD
12．【正确答案】
【详解】
当时，，推导出，从而数列是从第二项起，公比为的等比数列，进而能求出数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】
为数列的前项和，①
时，②
①②，得：，
，
，
数列的通项公式为.
故答案为.
本题主要考查了求数列通项公式，解题关键是掌握等比数列通向公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
13．【正确答案】
【详解】因为，
所以，其表示为圆的上半部分.
设半圆上一动点Px,y，
表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率，
当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值，
设直线的方程为，即，
所以，解得或（舍去），
则直线的斜率的最大值为；
当点为2,1时，则直线的斜率取最小值，为，
综上，的取值范围为.
故答案为.

14．【正确答案】/
【详解】因为、分别为双曲线的左右焦点，
过的直线与双曲线左支交于A，B两点，
且，以为圆心，为半径的圆经过点B，得，
设，则，
在中，由勾股定理得，解得，
则，
在中，由勾股定理得，化简得，，
所以的离心率.
故
15．【正确答案】(1)；
(2)，最大值为16
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
故数列的通项公式为；
（2）由（1），
故当时，取得最大值，最大值为16.
16．【正确答案】(1)或
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，故，
当焦点在x轴上时，椭圆标准方程为，当焦点在y轴上时，椭圆标准方程为，
综上，所求的椭圆标准方程为或；
（2）设所求双曲线方程为，将点代入得，
所以双曲线方程为，即双曲线的标准方程为；
（3）设所求抛物线方程为，其准线为，点在抛物线上，且，
所以，解得，所以抛物线方程为.
17．【正确答案】(1)
(2)最大值为；最小值为
【详解】（1）由已知圆心在直线上，
则设，
又圆经过点和，
则，
即，
解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为；
（2）
由已知直线，
即，
令，解得，
即直线过定点，
且，
所以当直线过点时弦长最大为，
当直线时弦长最小为.
18．【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：分别为中点，为的中位线
，且，
，
又F为中点，为的中位线，
又，，
又，平面
又平面，所以平面平面
（2）由（1）知平面，又平面，平面平面
因为为中点，
又平面平面，所以平面
为直线与平面所成角，
在直角中，，
所以
19．【正确答案】(1)
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）因为 椭圆的上顶点为，离心率为
则 解得，
所以椭圆的方程为.
（2）圆的圆心为，半径为，
设切线方程为，则 ，即
因为两切线的斜率分别为，
则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:为定值.
（3）联立方程 ，消掉得，
设，则，
同理可得 ，
则，
可得直线方程为，
令，得，
所以故直线过定点.