2024-2025学年山东省青岛市高二上册12月阶段性检测数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高二上册12月阶段性检测数学检测试卷（附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明．）
试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等差数列的首项，且，则（ ）
A 4044B. 4045C. 4046D. 4047
【正确答案】B
【分析】设出等差数列的公差，利用题时的比例式以及通项公式，可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，由，
，
可得，则，解得，
.
故选：B.
2. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由已知得出，利用抛物线的定义结合可得出关于的方程，解出的值，即可得出抛物线的方程.
【详解】因为点在抛物线上，则，可得，
抛物线的准线方程为，焦点为，
由抛物线的定义可得，
因为，则，
因为，解得，因此抛物线的方程为.
故选：B.
3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据等差数列等差中项和等比数列等比中项的性质即可求解.
【详解】因为数列是等差数列， ，所以
，，又数列是等比数列，，则，
，，.
故选：C
4. 如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设，由双曲线的定义可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的关系式，从而求得答案.
【详解】设，由双曲线的定义得，，，
由得，
解得，所以，，
中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即双曲线的离心率 ，
故选：C．
5. 若数列满足，，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【正确答案】A
【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案.
【详解】∵数列满足，，∴，
∴，，，，
∴是周期为3的周期数列，而，故．
故选：A
6. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】D
【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率.
【详解】由可得其渐近线为，
依题意，圆的圆心到的距离为，化简得：，
则．
故选：D
7. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得.
【详解】
连接、， 由在以为直径的圆上，故，
、在椭圆上，故有，，
设，则，
则有，，
即可得，解得，
故，则，
故.
故选：C.
8. 已知数列满足递推公式，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】对两边取对数得，令，则可得是以为首项，2为公比的等比数列，求出，从而可求出，进而可求得结果.
【详解】由题意可得，则由，得，
所以，
令，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
所以
.
故选：A
关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；两个选项正确，选对一个得3分；三个选项正确，选对一个得2分，两个得4分；选错或不答得0分.
9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则数列的前5项和最大
B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足
C. 已知等差数列的前n项和为，若，则
D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列
【正确答案】CD
【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的定义判断D.
【详解】选项A，由，令，解得，令，解得，
，所以，，又数列单调递减，故数列前6项的和最大，故A错误；
选项B，当，时，等比数列也递减数列，故B错误；
选项C，，∴若，则，故C正确；
选项D，若为等差数列，则，
∴，则（为常数），
∴数列也是等差数列，故D正确．
故选：CD
10. 已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ）
A. 的取值范围是
B.
C. 以线段为直径的圆被直线截得的弦长为
D. 直线与直线的斜率之积
【正确答案】AD
【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D.
【详解】
易知，
对于A，设Px0,y0，易知，
则
，故A正确；
对于B，易知四边形为平行四边形，
即，故B错误；
对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则相应弦长为，故C错误；
对于D，易知，故D正确.
故选：AD
11. 设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 的值是中最大的
D. 使成立的最大自然数等于4044
【正确答案】AD
【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解.
【详解】，，，
同号，且或，
若，则不同号；
若，则，不满足要求；
故可得，，故A正确；
，且，可得，故B错；
，又，且最大，故C错；
，且为等比数列，
由等比数列的性质可得，，
使成立的最大自然数等于4044，故D正确.
故选：AD.
关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式.
【详解】数列的前n项和，
当时，，
而，不满足上式，
所以数列的通项公式为.
故
13. 已知抛物线的焦点为为上一点，为的准线与轴的交点，．若为坐标原点，则______．
【正确答案】##
【分析】根据圆的性质，可得点满足的方程，联立抛物线方程，可得点的坐标，根据余弦的定义，可得答案.
【详解】
由题意知为线段的中点，又，所以．
设Ax0,y0，则．
由为上一点，得．
将代入，可得，
解得（负值已舍去），
则．
故
14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围.
【详解】根据椭圆定义得，
所以，，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，
因为的最大值为，且，则，解得，
则.
设切椭圆于点，
由椭圆的光学性质可得、、三点共线，，
则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以，到直线的距离为，
由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即.
故；.
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知数列的前n项和，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项乘积为，求的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由与的关系，先判定是等比数列，再求出数列的通项公式.
（2）根据（1）中的结果，表示出，结合二次函数和指数函数的单调性求最小值.
【小问1详解】
当时，.
当时，，且，
两式相减得.
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
所以
【小问2详解】
由（1）可知：，
所以.
所以当或时，相等且最小，为.
16. 在直三棱柱中，，分别为棱中点.
（1）证明：平面；
（2）若，且，则当为何值时，有？
【正确答案】（1）证明见详解
（2）
【分析】（1）构造平行四边形得线线平行，结合线面平行判断定理即可证明.
（2）如图建立空间直角坐标系，设，得出各点坐标，令，即可求解.
【小问1详解】
取的中点为，连接，
分别为的中点，结合题意得，且，
故四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
【小问2详解】
，取中点为，则有，
连接，由题意得底面，如图以为原点，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，
则，
，
则，
得，由题意得，
即当时有.
17. 设椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，.已知椭圆的离心率为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，且，若三角形与三角形的面积比为1:2，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得的坐标，则可求直线方程.
【小问1详解】
因为，，，所以，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
如图，因为三角形与三角形的面积之比为，
所以三角形与三角形的面积比为，
所以，得，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，所以，
所以，，
所以，解得，
当时，，
当时，，
故直线方程为.
18. 已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
（1）求C的方程；
（2）直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；
（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.
【小问1详解】
由焦点坐标为得，所以，
又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得即，所以，
所以双曲线C的方程为，即.
【小问2详解】
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，
设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为，
又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即.
联立，消去x得，
则，得，
，，则，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线，
所以直线BD过点F.

19. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆．
（1）若圆是集合的包络圆．
（ⅰ）求a，b满足关系式；
（ⅱ）若，求t的取值范围；
（2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）.
（2），或，
【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解；
（ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可；
（2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标.
【小问1详解】
（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为2，
所以.
（ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点，
所以.
所以的取值范围是.
【小问2详解】
设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值，
所以为无关的定值.
所以，故，此时.
所以圆.
设Px,y，则即.
假设轴上存在点、，使得，
即，
即恒成立，
所以，解得或.
所以，或，.
关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高.