2024-2025学年山东省临沂市高三上册12月阶段测试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省临沂市高三上册12月阶段测试数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．36D．6
4．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．3
6．已知椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，当△的面积最大时，△内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．D．5
7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．该图象向右平移个单位长度可得的图象
10．如图，正方体棱长为2，，，，分别是棱，棱，棱，棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．沿正方体的表面从点到点的最短距离为
C．过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
D．线段上存在点，使得平面
11．如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，，分别交y轴于M，N两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 .
13．若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为 .
14．已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的首项为，且满足.
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
16．记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的值；
(2)若为的中点，且，，求的面积.
17．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.
(1)求证：；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.
(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
答案
1．【正确答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选C．
2．【正确答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选A.
3．【正确答案】D
【详解】因为为等比数列，故，故，故，
所以，故（负值舍去），
故选：D.
4．【正确答案】B
【详解】因为，，则，得到，
所以在上的投影向量是，
故选：B.
5．【正确答案】B
【详解】因为
又因为，
所以.
故选：B.
6．【正确答案】C
【详解】由椭圆，得，，，
当△的面积最大时，为椭圆的短轴的一个顶点，
不妨设为上顶点，点为坐标原点，△内切圆半径为，
则，，，
则，
解得．
故选：C．
7．【正确答案】C
【详解】因为，，，
由余弦定理得，
故，所以⊥，
的外接圆圆心为的中点，
又平面，平面，所以，
故的中点即为球的球心，此时有，
且，故外接球半径为，
外接球表面积为.
故选：C
8．【正确答案】A
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
所以为偶函数，故B错误；
又对两边求导，得，
即，所以是偶函数，故D错误；
由，可得，
由，可得，
所以，即，即得，
所以是周期为4的函数，则，两边求导，得，
所以是奇函数，故A正确；
由，可得，即，
又由，可得，
所以，即为偶函数，所以为偶函数，故C错误.
故选：A.
9．【正确答案】ABD
【详解】由函数的图象可得，周期，
所以，
当时函数取得最大值，即，
所以，则，
又，得 ，故函数，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，令得，
所以函数的单调递增区间为，不是的子集，故C不正确；
对于D，向右平移个单位，，故D正确；
故选：ABD.
10．【正确答案】AC
【详解】因为三点共面，为平面外一点，所以由平面外一点与平面内一点连线与平面内不过该点的直线异面可知，直线与为异面直线，故A正确；
如图，
若正方体中侧面沿展开，则，
若底面沿展开，则，故B错误；
连接，如图，
因为，所以四边形为过点，，的平面截该正方体所得的截面，
其中，，
设等腰梯形的高为，则，
所以梯形面积，故C正确；
以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设，
则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
若平面，则，解得，
此时，，，且,
即平面，不满足平面，即不存在点，故D错误.
故选：AC
11．【正确答案】AD
【分析】求得过点的切线方程，得到，得出和，可判断A正确；当点在准线上，求得，可判定B错误；由，求得，可判定C错误；分别求得和，可判定D正确.
【详解】设抛物线上一点，则，
过点的切线方程为，
联立方程组，整理的，
令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为，
对于A中，设，则过点的切线方程为，
令，可得，即，
又由抛物线的焦点为，所以，
则，所以，即，
同理可得，则四点共圆，所以，所以A正确；
对于B中，若点在准线上，可直线的方程为，
此时直线过焦点，则，所以，所以B错误；
对于C中，由，，可得，，
若，可得，则，
所以，此时直线过焦点，
设直线，代入抛物线，可得，
设方程的两根为，可得，
即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为，
而直线不一定过抛物线的交点，所以C错误；
对于D中，由，可得，
联立方程组，解得，即,
则，所以，所以D正确.
故选AD.
12．【正确答案】
【详解】因为与的夹角为锐角，则且，与不共线，
所以，解得，即.
故
13．【正确答案】/
【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：
为正四棱台，
连接，得，
过作，过作，
得：，,
在直角三角形中，得，
得正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为，
所以体积
故答案为.
14．【正确答案】/
【详解】因为为函数的极值点，，
所以，，则，
因为，由可得，
将（*）代入得，，因为在上单调递增，所以，
则，而，两边取自然对数可得，
所以，又由，两边取自然对数可得，故，
所以．
故12.
15．【正确答案】(1)证明见解析，；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列定义推理得证，再求出通项公式.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法计算即得.
【详解】（1）由，，得，则，于是，
所以数列是首项，公差为2的等差数列，
，所以.
（2）由（1）知，
所以.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
则由，得，
，
，

，
；
（2）为的中点，
，
又，
，①
由余弦定理得，，②
联立①②，解得，
，
的面积为.
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得出.然后即可根据线面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；
（2）取中点为，连结.取中点为，连结.由已知可证平面，.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，即可根据向量法求出答案.
【详解】（1）由题意知平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）取中点为，连结.取中点为，连结.
因为，点是中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为点,分别是,的中点，所以，则.
则，.
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，.
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)证明见解析，；
(2).
【详解】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，，
由，解得，
则双曲线的方程为，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去得，，，
设，则，
直线的斜率分别为，
所以.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得点的纵坐标，
用替换上式中的得点的纵坐标，
则
而，当且仅当时取等号，
因此，所以的最大值为.
19．【正确答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）函数的定义域为0,+∞，，
①若，f'x>0恒成立，在0,+∞上单调递增．
②若，时，f'x>0，单调递增；
时，f'x