2024-2025学年山东省临沂市高一上册期末模拟数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省临沂市高一上册期末模拟数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，则命题，，的否定为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．已知符号函数 是上的增函数，，则（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙、丙、丁四位同学分别为四个函数画图象，
甲同学画函数的图象，图1；乙同学画函数的图象，图2；
丙同学画函数，的图象，图3；丁同学画函数的图象，图4。
画图正确的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：）
A．第5代种子B．第6代种子C．第7代种子D．第8代种子
6．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知定义在R上的函数满足，，则（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
8．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若且，则D．
11．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（ ）
A．
B．函数在其定义域上是增函数
C．若实数满足不等式，则的取值范围是
D．函数的值域为
12．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
14．设函数与在区间上的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交与点，则线段的长为 ．
15．临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形时，发现如下现象：如图所示，⊙B向⊙A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2，， ，.则S阴影= .
16．已知函数，若，使得不等式成立，则实数的最大值是 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．（1）计算：
（2）已知，求的值.
18．已知
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若为锐角，且，求的值.
19．已知且，函数是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知函数的图象过点，图象与P点最近的一个最高点坐标为.
（1）求函数解析式；
（2）若，求函数的值域；
（3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.
21．2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完．
(1)求出全年的利润万元关于年产量千件的函数关系式；
(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润．
22．临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.
(1)设，求W=的最小值.
(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由，
,
所以.
故选：B.
2．【正确答案】D
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题，，的否定为，，．
故选：D．
3．【正确答案】B
【详解】试题分析：本题是选择题，可以用特殊法，符号函数，是上的增函数，，不妨令，则，，所以A不正确，B正确，，C不正确，D正确；
对于D，令，则，
，所以D不正确；故选B．
考点：函数与方程的综合应用
【思路点睛】符号函数或者说函数的新定义问题是高考中一类常考题目，此类题目一般难度不是很大，但想做出来也是很复杂的．所以做此类题目一定要弄清楚新定义函数的意思，然后根据函数的意义及性质，逐步进行解题．此题中新定义的函数，是分段函数的形式，且给了我们另一个函数以及与的关系，利用函数的性质代入即可得到所求答案．
4．【正确答案】D
【详解】对A，令，无解，而图像上与轴有交点，故错误，
对B，令，则，此时，而，无实数解，故直线应与函数图像只有一个交点，故B错误，
对C，令，则，故C错误；
对D，根据，根据分母不为0，则，
，根据得，
则，则，故图中上边界正确，
首先，，易知其关于直线对称，且在上单调递减，在 上单调递增，则，的图像也关于直线对称，且在上单调递增，在 上单调递减，再将其图像关于轴对称，得到，其图像关于直线对称，且在上单调递减，在 上单调递增，最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确，
故选：D.
5．【正确答案】C
【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为
，故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子．
故选：C.
6．【正确答案】B
【详解】若，则，即，
而，
又因为，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】因为，由，
令，则，
即，得，
两式相加得，则有，即，
则有，所以函数的一个周期为6，
令，则，得，
令，则，得，
又，得，，
，，
所以，
由周期性得.
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】，
两边平方得：，
，
，
，
当且仅当，等号成立，故的最小值为
故选：B
9．【正确答案】AC
【详解】关于选项A,因为对应关系和定义域一致,所以A是同一个函数;
关于选项B,因为的定义域为,定义域为R,定义域不一致,
所以B不是同一个函数;
关于选项C,因为对应关系和定义域一致,所以C是同一个函数;
关于选项D,因为的定义域为,可得,
定义域为,
定义域不一致,所以D不是同一个函数.
故选:AC
10．【正确答案】ACD
【详解】时有，则，
当且仅当，即时等号成立，A选项正确；
，
等号成立的条件是，即，显然不能成立，
故的等号取不到，B选项错误；
若且，则，
当且仅当，即或时等号成立，C选项正确；
，
当且仅当，即时等号成立，D选项正确；
故选：ACD
11．【正确答案】BC
【详解】依题意，，
对于A，，A错误；
对于B，函数的定义域为R，显然函数在R上单调递增，
函数在R上单调递减，因此函数在R上单调递增，B正确；
对于C，显然，则不等式，
由选项B知，，解得，因此的取值范围是，C正确；
对于D，，则，即有，因此函数的值域为，D错误.
故选：BC
12．【正确答案】ABD
【详解】令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
令，则有，
即，故函数是奇函数，
有，即，
即函数是减函数，
令，有，
故B正确、C错误、D正确.
故选：ABD.
13．【正确答案】
【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设，
此时由的定义可知，有，
所以，
若是的充分不必要条件，则 ，
所以的取值范围是.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由函数与在区间上的图象交于点，设，
则，得，此时求出的即为点的横坐标，所以直线方程为，
又直线与函数的图象交与点，所以点横坐标为，
将代入，可得，所以点坐标为，
所以线段的长为.
故
15．【正确答案】
【详解】，则为⊙A的直径，连接，如图所示，
，，则为等边三角形，，
的半径为2，的半径为4，
阴影部分的面积为的半圆面积减去中圆心角为的弓形面积，
则阴影部分的面积为.
故
16．【正确答案】8
【详解】构造函数，
因为，
所以函数是奇函数，
当时，
，
因为，所以，
因此有，
所以有，因此此时函数单调递减，而，函数是奇函数，所以函数是实数集上的减函数，
，
因为，所以由，，
令
当时， 单调递减，当时，单调递增，
因为，,∴在上的最大值为，
要想，使得不等式成立，只需 ，则实数的最大值是
故
17．【正确答案】（1）1（2）4
【详解】（1）原式
.
（2），
，
所以，
所以原式.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为是第三象限角，且，所以，
则，
所以；
（2）方法一：
，
，又是锐角，所以，
则.
方法二：
，
，又是锐角，所以，
则.
19．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）因为是奇函数，所以，
即恒成立，
，解得；
（2）不等式
对任意恒成立，
令，
则对恒成立，
在时，单调递减，，
，的取值范围为，．
20．【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）根据最高点可知.
为的零点，与P点最近的一个最高点坐标为，
所以，
所以.
，
由于.
所以.
（2），
所以在区间上的值域为.
（3），
的两个解为，.
则，，
所以.
21．【正确答案】(1)；
(2)该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以．
（2）若，则，当时，；
若，，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元．
22．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1）记函数，首先证明其凹凸性：
,则
所以在为凹函数.
由琴生不等式，得，
即
所以，当时，W的最小值为.
（2）设,因为故
要证只需证
由琴生不等式，只需证在为凹函数.
设，
下证，即证，
即证,
化简得.
即证
式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证.
（3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，
可得在时恒成立．
因为，所以，，所以．
由，及，可得，所以．
故．