2024-2025学年山东省临沂市郯城县高二上册11月期中数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省临沂市郯城县高二上册11月期中数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了答题前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选择每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40.0分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【正确答案】C
【分析】先求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】变形为，故斜率为，
设直线倾斜角为，则，
因为，
故.
故选：C
2. 已知椭圆的焦点在轴，焦距为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据椭圆焦点在轴，设出方程，结合题干条件列出方程组，求出，得到椭圆方程.
【详解】因为椭圆的焦点在轴，所以设椭圆方程为，
则，且，
解得：，
所以椭圆的标准方程为.
故选：D
3. 已知直线经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】先求出，设上一点为，其中与不重合，根据的方向向量，求出，进而利用两点式，求出直线方程.
【详解】对化简得，，得，解得，点，
又直线经过点P，且的方向向量，可设上一点为，其中与不重合，
则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为：
.
故选：B
4. 已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.
【详解】因为与垂直，所以，
即，
所以.
又，所以.
故选：D.
5. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A. 10B. 3C. D.
【正确答案】C
【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解.
【详解】由题得，
所以到平面的距离为，
故选：C.
6. 一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】作点关于轴对称点，连接交轴于点，交圆于点，根据三角形三边关系可确定为所求的最短距离，由可求得结果.
【详解】由圆的方程可得：圆心坐标，半径，
设点关于轴对称点为，则，
连接交轴于点，交圆于点，则为所求最短距离，
证明如下：任取轴上一点，则（当且仅当三点共线时取等号），
，
即最短路径的长度为.
故选：A.
7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则
，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C
考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.
8. 若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】两直线均过定点且垂直，则交点P在以两定点为直径的圆上，由数形结合可求最值.
【详解】两直线满足，所以两直线垂直，
由得，过定点，
由得，过定点，
故交点P在以AB为直径的圆C上，其中，如图所示，
则线段OP的最大值为.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有一个或多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）
9. 关于直线，以下说法正确是（ ）
A. 直线l过定点B. 时，直线l过第二，三，四象限
C. 时，直线l不过第一象限D. 原点到直线l的距离的最大值为1
【正确答案】ABD
【分析】由确定定点坐标，根据a的符号判断直线所过的象限，根据时原点到直线l的距离的最大求最大距离.
【详解】由过定点，A正确；
当，过定点，斜率为负，故过第二、三、四象限，B正确；
当，过定点，且斜率为正，过一、二、三象限，故C错误；
要使原点到直线l的距离的最大，只需，即距离等于，D正确.
故选：ABD
10. 已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ）
A. 两圆有两条公切线B. 直线的方程为
C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为
【正确答案】AD
【分析】
由圆与圆相交可判断A；两圆方程作差可判断B；利用垂径定理可判断C；转化为圆心间的距离可判断D.
【详解】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆，圆，
两圆作差得即，
所以直线的方程为，故B错误；
对于C，圆的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
所以，故C错误；
对于D，圆的圆心，半径为1，
所以，故D正确.
故选：AD.
11. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A. 2=2
B.
C. 轴，且
D. 四边形的内切圆过焦点，
【正确答案】BD
【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．
【详解】,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；
,若，则由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；所以正确；
，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，
所以，所以不正确；
，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，
由题意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，所以正确，
故选：．
三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
12. 已知椭圆的离心率等于，则实数__________.
【正确答案】或
【分析】
讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数的值.
【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得：，
当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得.
故或
13. 已知点在直线上，则的最小值为__________.
【正确答案】5
【分析】由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.
【详解】由题得表示点到点的距离.
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
本题主要考查点到两点间距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14. 正方体棱长为1，为该正方体外接球表面上的两点，在正方体表面且不在直线上，若，则的最小值为__________．
【正确答案】##0.5
【分析】由向量的共线定理可得三点共线，再利用向量加法和数乘的运算法则计算即可.
【详解】因为，所以三点共线，
又因为正方体棱长为1，所以该正方体外接球的半径，
所以
.
故答案为.
四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16\17题各15分，18\19题各17分共77.0分）
15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【小问1详解】
，
，
故
∵点E为AD的中点，
故.
【小问2详解】
由题意得，
故，
故
.
16. 已知的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
求（1）AC所在的直线的方程；
（2）点B的坐标．
【正确答案】（1）2x＋y－11＝0；（2）B(－1，－3)．
【分析】(1)根据题意设直线AC的方程为2x＋y＋t＝0，接着代点求解即可；
（2）利用点B在直线BH，用点B坐标表示点M坐标，又点M在直线CM，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可.
【详解】因为AC⊥BH，
所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.
把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.
所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.
（2）设B(x0，y0)，则AB的中点为.
联立得方程组，
化简得解得，
故B(－1，－3)．
(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
17. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程；
（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.
【小问1详解】
解：圆心到直线的距离为，
所以，圆的半径为，
因此，圆的方程为.
【小问2详解】
解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意可得，解得，此时，切线的方程为.
综上所述，所求切线的方程为或.
18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且长轴长为8，为椭圆是异于，的点，满足的周长为12．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程为，利用“设而不求法”表示出，再表示出点到直线的距离，进而表示出，利用基本不等式求出面积的最大值．
【小问1详解】
由题意得，所以.
因为的周长为12，所以，所以，
故.
所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
由题意，直线不与轴重合，故设直线的方程为，
由，得，
，即，
，．所以，
又点到直线的距离．所以，
所以（当且仅当时等号成立，且满足）.
故面积的最大值为．
19. 已知三棱柱中，，，，．
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）存在，，理由见解析.
【分析】（1）连接，由线面垂直的判定有平面，根据线面垂直的性质，最后根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.
（2）构建空间坐标系，假设存在使题设条件成立，进而求得面、面的法向量，根据已知二面角余弦值及空间向量夹角的坐标表示列方程求，即可判断存在性.
【小问1详解】
由知：四边形为菱形．
连接，则，又且，
∴平面，平面，则；
又，即，而，
∴平面，而平面ABC，
∴平面平面ABC．
【小问2详解】
以C为坐标原点，射线CA、CB为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于AC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵，，，
∴，，，．
设在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的余弦值为，则，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
平面的一个法向量为．
由，解得或．
因为，则．
故在线段AC上存在一点P，满足，使二面角的平面角的余弦值为．