2022-2023学年河北省张家口市桥西区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年河北省张家口市桥西区八年级上学期期末数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(3分)如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的( )
A. 轴对称性 B. 蝴蝶效应 C. 颜色鲜艳 D. 数形结合
2.(3分) 下列约分正确的是 ( )
3.(3分)甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如表:
某同学分析上表后得出如下结论：
(1) 甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入≥150 个汉字为优秀)；
(3) 甲班成绩的波动比乙班大.
上述结论正确的是( )
A.(1)(2)(3) B. (1)(2) C. (1)(3) D. (2)(3)
4.(3分)如图, AB∥DE, AC∥DF, AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( )
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
55
135
149
191
乙
55
135
151
110
A. AB=DE B. ∠B=∠E C. EF=BC D. EF∥BC
5.(3分) 下列命题是假命题的是( )
A. 三角形的内角和是 180°
B. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
C. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
6.(3分) 在平面直角坐标系中，点(2，3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A.( -2, -3) B. ( -2.3) C. (2, -3) D. (3, 2)
7. (3分) 如图, △ABC中, AD⊥BC, D为BC中点, 则以下结论不正确的是( )
A. △ABD≌△ACD B. ∠B=∠C
C. AD是∠BAC的平分线 D. △ABC是等边三角形
8.(3分) 下列算式中，你认为错误的是( )
9.(3分)如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于( )
A. 1: 1: 1 B. 1: 2: 3 C. 2: 3: 4 D. 3: 4: 5
10.(3分) 甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的 1.5 倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了 2 小时. 设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为( )
11.(3分)一组数据,6、4、a、3、2的平均数是5, 这组数据的方差为( )
A. 8 B. 5 D. 3
12. (3分) 如图，把矩形纸片 ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是( )
A. △EBD是等腰三角形, EB=ED
B. 折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形
D. △EBA和△EDC一定是全等三角形
二、填空题(本大题共5小题, 13、17题每小题4分, 14、15、16题每小题4分, 共17分)
13.(4分)“等腰三角形的两个底角相等”的条件是，结论是 .
14. (4分)已知 则
15.(3分)在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占 30%，环境卫生成绩占 40%，个人卫生成绩占 30%. 八年级一班这三项成绩分别为 85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩.
16. (3分) 在△ABC中, 按以下步骤作图: ①分别以 A,B为圆心, 大于的长为半径画弧,相交于两点 M,N;②作直线 MN交 AC于点D,连接BD.若 CD=BC,∠A=35°,则∠C=.
17.(3分)如图1,△ABC中, AD是∠BAC的角平分线,若AB=AC+CD,那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系? 小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2, 延长AC到E, 使 CE=CD, 连接DE. 由AB=AC+CD, 可得AE=AB. 又因为AD是∠BAC的平分线, 可得△ABD≌△AED, 进一步分析就可以得到∠ACB与的数量关系.
(1)判定△ABD与△AED全等的依据是(SSS, SAS, ASA, AAS从其中选择一个 );
(2)∠ACB与∠ABC 的数量关系为: .
三、解答题(本大题共8小题，共67分)
18.(6分) 求证：对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)
19.(16分) 解方程及化简分式:
(3)化简:
(4) 若分式方程:无解, 求 k值.
20. (8分)如图, 在等边三角形ABC的三边上, 分别取点 D, E, F, 使得△DEF为等边三角形, 求证: AD=BE=CF.
21.(6分) 在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
(1) 此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有人；
(2) 补全下表中空缺的三个统计量：
(3) 请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出两个结论.
22.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(2，4 ).
(1) 画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁;
(2)在x轴上找一点P，使△PBC的周长最小. (标出点P即可，不用求点P的坐标)
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
一班
77.6
80
二班
———
———
90
23.(8分) 如图,已知PB⊥AB, PC⊥AC,且PB=PC. D是AP上的一点, 求证: BD=CD.
24.(10分) 如图, 已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于 E, CE的连线交 AP 于 D. 求证: AD+BC=AB.
25.(7分)阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据.
已知: 如图, AM, BN, CP是△ABC的三条角平分线.
求证: AM、 BN、 CP 交于一点.
证明: 如图,设 AM, BN交于点O, 过点O 分别作 OD⊥BC, OE⊥AC, OF⊥AB, 垂足分别为点 D, E, F.
∵O是∠BAC角平分线 AM上的一点( ),
∴OE=OF().
同理, OD=OF.
∵CP是的平分线(),
∴O在CP上().
因此, AM, BN, CP交于一点.
答案与试题解析
一、选择题(本大题共12 小题，满分36分)
1.(3分)如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的( )
A. 轴对称性 B. 蝴蝶效应 C. 颜色鲜艳 D. 数形结合
【分析】直接利用图形的形状以及对称性分析得出答案.
【解答】解：用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的轴对称性.
故选: A.
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用图形的对称性分析是解题关键.2.(3分) 下列约分正确的是( )
【分析】观察分子分母，提取公共部分约分即可.
【解答】解: A、原式=故本选项错误；
B、原式故本选项正确；
C、原式=1，故本选项错误；
D、原式故本选项错误；
故选: B.
【点评】此题主要考查了约分，注意：找出分子分母公共因式时，常数项也不能忽略.
3.(3分)甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如
某同学分析上表后得出如下结论：
(1)甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
(2)乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入≥150 个汉字为优秀)；
(3) 甲班成绩的波动比乙班大.
上述结论正确的是( )
A.(1)(2)(3) B. (1)(2) C. (1)(3) D. (2)(3)
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差进行判断即可.
【解答】解：(1)甲班和乙班的平均数都是 135，因此两班学生成绩平均水平相同，故(1)正确；
(2)根据中位数的意义可知，甲班的中位数是 149个，即甲班学生输入汉字数从小到大排列后处在第28位是149个，而乙班中位数是 151个，即甲班学生输入汉字数从小到大排列后处在第28位是151个，于是可得乙班每分钟输入≥150个汉字的人数比甲班的多，故(2)正确;
(3)甲班的方差为 191，乙班的方差为110，因此甲班学生成绩波动较大，而乙班的比较稳定, 故(3) 正确;
故选: A.
【点评】本题考查平均数、 中位数、方差，掌握中位数、平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提.
4.(3分)如图, AB∥DE, AC∥DF, AC=DF, 下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE B. ∠B=∠E C. EF=BC D. EF∥BC
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立, 分别证明△ABC≌△DEF, 即可解题.
【解答】解: ∵AB∥DE, AC∥DF, ∴∠A=∠D,班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
55
135
149
191
乙
55
135
151
110
(1)AB=DE, 则△ABC和△DEF中, 故A选项错误；
(2) ∠B=∠E, 则△ABC和△DEF中,故 B 选项错误;
(3)EF=BC, 无法证明△ABC≌△DEF(ASS); 故C 选项正确;
(4)∵EF∥BC,AB∥DE, ∴∠B=∠E, 则△ABC和△DEF中,≌△DEF, 故D选项错误;
故选: C.
【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键.
5.(3分) 下列命题是假命题的是( )
A. 三角形的内角和是 180°
B. 有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形
C. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【分析】根据三角形的内角和、等边三角形的判定、三角形的外角性质和平行线的性质判断即可.
【解答】解：A、三角形的内角和是180° ，是真命题；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
C、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是真命题；
D、应该是两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题；
故选: D.
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题. 许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式. 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.
6.(3分) 在平面直角坐标系中，点(2，3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. ( -2, -3) B. ( - 2.3) C. (2, -3) D. (3, 2)
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.
【解答】解: 点(2, 3)关于x轴对称的点的坐标是(2, - 3),
故选: C.
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.
7.(3分) 如图, △ABC中, AD⊥BC, D为 BC中点,则以下结论不正确的是( )
A. △ABD≌△ACD B. ∠B=∠C
C. AD是∠BAC的平分线 D. △ABC是等边三角形
【分析】由中点及垂线可得其为等腰三角形，所以顶角平分线与底边上的中线、垂线重合，两底角相等，两个小三角形全等，底边三角形三条边相等，所以不能得其为等边三角形.
【解答】解: ∵AD⊥BC, D为BC中点, 即BD=DC,
∴△ABC为等腰三角形,
∴A, B, C均正确,
∵等边三角形的三个角都为60° ，本题中角度不一定是60° .
∴D错误,
故选: D.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；发现∠B的度数不一定是60°是正确解答本题的关键.
8. (3分) 下列算式中，你认为错误的是( )
【分析】A、利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；B、利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到结果，即可做出判断；
C、原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式约分得到结果，即可做出判断.
【解答】解: A、原式本选项正确；
B、原式本选项错误；
C、原式本选项正确；
D、原式本选项正确.
故选: B.
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式.
9.(3分)如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于( )
A. 1: 1: 1 B. 1: 2: 3 C. 2: 3: 4 D. 3: 4: 5
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的 AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解.
【解答】解: 如图, 过点O作OD⊥AC于D, OE⊥AB于E, OF⊥BC于 F,
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF,
∵AB=6, BC=9, AC=12,
故选: C.
【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
10. (3分) 甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、 乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的 1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了 2 小时. 设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为 ( )
【分析】设原来的平均速度为x千米/时，高速公路开通后平均速度为 1.5x千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了 2 小时，列方程即可.
【解答】解：设原来的平均速度为x千米/时，由题意得，
故选: B.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.
11. (3分)一组数据, 6、4、a、3、2的平均数是5, 这组数据的方差为( )
A. 8 B. 5 D. 3
【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式代数计算即可.
【解答】解: ∵6、4、 a、 3、 2的平均数是5,
∴ (6+4+a+3+2) ÷5=5,
解得: a=10,
则这组数据的方差
故选: A.
【点评】本题考查了方差，一般地设 n个数据，x₁，x₂，…xn的平均数为则方差
12. (3分) 如图，把矩形纸片 ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为那么下列说法错误的是( )
A. △EBD是等腰三角形, EB=ED
B. 折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形
D. △EBA和△EDC一定是全等三角形
【分析】对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用.
【解答】解: ∵ABCD为矩形
∴∠A=∠C, AB=CD
∵∠AEB=∠CED
∴△AEB≌△CED(故D选项正确)
∴BE=DE(故A 选项正确)
∠ABE=∠CDE(故B选项不正确)
∵△EBA≌△EDC, △EBD是等腰三角形
∴过E作 BD边的中垂线，即是图形的对称轴. (故C 选项正确)
故选: B.
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.
二、填空题(本大题共5小题, 13、 17题每小题4分, 14、 15、 16题每小题4分, 共17分)
13.(4分)“等腰三角形的两个底角相等”的条件是 三角形是等腰三角形 ，结论是 这个三角形的两底角相等 .
【分析】根据一个命题都有题设和结论两部分组成，题设是条件，结论是结果，即可得
出结果.
【解答】解：命题“等腰三角形的底角相等”的题设是：三角形是等腰三角形，结论是：这个三角形的两底角相等，
故答案为三角形是等腰三角形，这个三角形的两底角相等.
【点评】本题考查了命题有题设和结论两部分组成，命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，难度适中.
14. (4分) 已知 则
【分析】根据可得 再根据比例的性质即可求解.
【解答】解:
故答案为：
【点评】此题考查了比例的性质，关键是将变形为
15. (3分)在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占 30%，环境卫生成绩占 40%，个人卫生成绩占 30%. 八年级一班这三项成绩分别为 85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩 90分 .
【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可.
【解答】解: 该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90(分).
故答案为 90分.
【点评】本题考查的是加权平均数的求法. 本题易出现的错误是求 85，90，95这三个数的平均数，对平均数的理解不正确.
16.(3分) 在△ABC中, 按以下步骤作图: ①分别以 A, B为圆心, 大于.的长为半径画弧,相交于两点M,N;②作直线 MN交 AC于点D,连接BD.若CD=BC,∠A=35°,则∠C= 40° .
【分析】首先根据作图过程得到MN垂直平分 AB，然后利用中垂线的性质得到.ABD，然后利用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得的度数.
【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，
∴DA=DB,
∴∠DBA=∠A=35° ,
∵CD=BC,
∴∠CDB=∠CBD=2∠A=70° ,
∴∠C=40° ,
故答案为: 40° .
【点评】本题考查了基本作图中作已知线段的垂直平分线及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是能利用垂直平分线的性质及外角的性质进行角之间的计算，难度不大.
17.(3分)如图1, △ABC中, AD是∠BAC的角平分线, 若AB=AC+CD, 那么与∠ABC有怎样的数量关系? 小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2, 延长AC到E, 使 CE=CD, 连接DE. 由AB=AC+CD, 可得AE=AB. 又因为AD是∠BAC的平分线, 可得△ABD≌△AED, 进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系.
(1)判定△ABD与△AED全等的依据是 SAS (SSS, SAS, ASA, AAS从其中选择一个);
(2)∠ACB与∠ABC的数量关系为: ∠ACB=2∠ABC .
【分析】(1) 根据已知条件即可得到结论；
(2) 根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:(1) SAS;
(2) ∵△ABD≌△AED,
∴∠B=∠E,
∵CD=CE,
∴∠CDE=∠E,
∴∠ACB=2∠E,
∴∠ACB=2∠ABC.
故答案为: SAS, ∠ACB=2∠ABC.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
三、解答题(本大题共8小题，共67分)
18. (6分)求证：对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)
【分析】根据命题确定题设和结论，再画出图形写出已知和求证，利用同角的补角相等可得答案.
【解答】已知: 如图: ∠AOC和∠BOD是对顶角,
求证: ∠AOC=∠BOD,
证明: ∵∠AOC+∠COD=180° , ∠BOD+∠COD=180° ,
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是正确确定命题的题设和结论.
19.(16分) 解方程及化简分式:
(3) 化简:(4) 若分式方程:无解, 求 k值.
【分析】(1) 先将方程两边都乘x(x+3)约去分母，再解一元一次方程即可，最后检验可得；
(2)先将方程两边都乘(x+2)(x-2)约去分母，再解一元一次方程即可，最后检验可得.
(3)先把分子分母能分解因式的分解因式，再先计算括号内的减法，再计算除法可得；
(4)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出k的值即可.
【解答】解: (1) 两边都乘以x(x+3), 得:
解得: x=6,
检验: 当x=6时, x (x+3) =54≠0,
所以原分式方程的解为x=6；
(2) 方程两边都乘以(x+2)(x-2), 得:
解得: x= -2,
检验: 当x= -2时, (x+2)(x-2) =0,
则原分式方程无解；
(3) 原式
(4) 方程两边乘以x-3, 得: 3 (x-3) +2 -kx= - 1,
整理, 得: (3-k)x=6,
若3 -k=0, 即k=3时分式方程无解;
若3-k≠0, 则解得: k=1,
故k=1 或k=3时, 分式方程无解.
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”初把分式方程转化为整式方程求解. 解分式方程一定注意要验根.
20. (8分) 如图, 在等边三角形ABC的三边上, 分别取点D, E, F, 使得为等边三角形，求证：
【分析】只要证明△ADF≌△BED, 得AD=BE, 同理可证:， 由此即可证明.
【解答】解: 在等边三角形ABC中, .
∴∠AFD+∠ADF=120° .
∵△DEF为等边三角形,
∴∠FDE=60° , DF=ED.
∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180° ,
∴∠BDE+∠ADF=120° .
∴∠BDE= ∠AFD.
在△ADF和△BED中,
∴△ADF≌△BED.
∴AD=BE, 同理可证: BE=CF.
∴AD=BE=CF.
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
21.(6分) 在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 90分，80分，70分，60 分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
(1) 此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有 21 人；
(2) 补全下表中空缺的三个统计量：
(3) 请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出两个结论.
【分析】(1) 根据条形统计图得到参赛人数，然后根据每个级别所占比例求出成绩在 70分以上的人数；
(2)由上题中求得的总人数分别求出各个成绩段的人数，然后可以求平均数、中位数、众数；
(3) 根据其成绩，作出合理的分析即可.
【解答】解: (1)一班参赛人数为: 6+12+2+5=25(人),
∵两班参赛人数相同，
∴二班成绩在70分以上(包括 70分) 的人数为 25×84%=21人;
(2)平均数: 90×44%+80×4%+70×36%+60×16%=77.6(分);
中位数: 70(分);
众数: 80(分).
填表如下：
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
一班
77.6
80
_80_
二班
_77.6_
_70_
90
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
一班
77.6
80
80
(3) ①平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些.
②请一班的同学加强基础知识训练，争取更好的成绩.
故答案为: 21; 80, 77.6, 70.
【点评】本题考查了各种统计图之间的相互转化的知识，在解决本题时关键的地方是根据题目提供的信息得到相应的解决下一题的信息，考查了学生们加工信息的能力.
22.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的.
(2)在x轴上找一点P，使△PBC的周长最小.(标出点P即可，不用求点P 的坐标)
【分析】(1) 直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
(2) 利用轴对称求最短路线的方法得出 P 点位置即可.
【解答】解: (1) 如图所示: △A₁B₁C₁, 即为所求;
(2) 如图所示: 点P 即为所求.
二班
77.6
70
90
【点评】此题主要考查了利用轴对称求短路线以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键.
23.(8分) 如图, 已知,, 且PB=PC. D是AP上的一点, 求证:CD.
【分析】先利用 HL 判定 Rt△PAB≌Rt△PAC, 得出4,再利用SAS判定△PBD≌△PCD, 从而得出BD= CD.
【解答】证明: ∵PB⊥BA, PC⊥CA
在Rt△PAB与Rt△PAC 中
∴Rt△PAB≌Rt△PAC(HL)
∴∠APB=∠APC
在△PBD与△PCD中
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴BD=CD
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
24. (10分)如图, 已知AD∥BC, ∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于 E, CE的连线交AP于D. 求证: AD+BC=AB.
【分析】首先在AB上截取AF=AD, 由AE平分， 利用SAS 即可证得FAE, 继而可证得∠EFB=∠C, 然后利用AAS证得.， 即可得.继而证得AD+BC=AB.
【解答】证明: 在AB上截取AF=AD,
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE,
在△DAE和△FAE中,
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE,
∵AD∥BC,
∴∠ADE+∠C=180° ,
∵∠AFE+∠EFB=180° ,
∴∠EFB=∠C,
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC,
在△BEF和△BEC中,
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BC=BF,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质. 此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
25.(7分)阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据.
已知: 如图, AM, BN, CP是△ABC的三条角平分线.
求证: AM、 BN、 CP 交于一点.
证明: 如图, 设 AM, BN交于点O, 过点O 分别作 OD⊥BC, OE⊥AC, OF⊥AB, 垂足分别为点 D, E, F.
∵O是∠BAC角平分线 AM上的一点(已知),
∴OE=OF( 角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等 ).
同理, OD=OF.
∴OD=OE( 等量代换 ).
∵CP是∠ACB的平分线(已知),
∴O在CP上(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ).
因此, AM, BN, CP交于一点.
【分析】根据角平分线的性质解答即可.
【解答】证明: 设AM, BN交于点 O, 过点O分别作(垂足分别为点 D, E, F.
∵O是角平分线 AM上的一点(已知)，
(角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等).
同理，
(等量代换). ∵CP是的平分线(已知)，
∴O在 CP上(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
因此, AM, BN, CP交于一点;
故答案为：已知； 角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等； 等量代换； 已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的两个性质解答.