专题02 实数（10个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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【题型1 平方根与算术平方根的概念理解】
【题型2 利用算术平方根的非负性解题】
【题型3 估计算术平方根的取值范围】
【题型4 求算术平方根的整数部分与小数部分】
【题型5 与算术平方根有关的规律探索题】
【题型6 平方根的应用】
【题型7 实数的概念理解与分类】
【题型8 实数与数轴】
【题型9 立方根的概念理解】
【题型10 求立方根】
【题型11 算术平方根与立方根的综合应用】
【题型12 实数的混合运算】
【题型13 新定义下的实数运算】
【题型14 实数运算的实际应用】
【题型15 实数运算相关的规律题】
知识点 1 ：平方根
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点3：平方根的性质
知识点4：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点5：无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点6 ：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点7：实数运算
1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
知识点8：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
知识点9：立方根的性质

注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
知识点10： 立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
题型归纳
【题型1 平方根与算术平方根的概念理解】
1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可．
【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为．
故选：C．
2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．的算术平方根是4
C．平方根等于本身的数是0和1
D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意；
因为的算术平方根是2，所以B不符合题意；
因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是，所以C不符合题意；
因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）阅读，一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．如：，，所以和2叫做4的平方根，4的平方根记为，，又如：若，则2的平方根是：，填空：25的平方根是 ，的平方根是 ，5的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意一个正数有两个平方根．
根据开方运算，可得一个正数的平方根．
【详解】解：∵，，
∴25的平方根是，
∵，，
∴的平方根是．
∴5的平方根是．
故答案为：；；．
4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）现有几种说法：
①倒数等于本身的数是0，1，
②的平方根是
③近似数1.80所表示的准确数a的范围是
④算术平方根是他本身的数是0，1
⑤
其中正确的说法有 ．（请填写序号）
【答案】③④/④③
【分析】本题考查的是倒数的定义、求一个数的算术平方根、平方根和根据近似数求准确数的取值范围，掌握倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法是解决此题的关键．根据倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法逐一判断即可．
【详解】解：①倒数等于本身的数是1，，故错误；
②的平方根是，故错误；
③近似数1.80所表示的准确数a的范围是，故正确；
④算术平方根是它本身的数是0，1，故正确；
⑤，故错误，
综上：正确的说法有：③④．
故答案为：③④．
5．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期中）若和是正数m的平方根，求这个正数m的值
【答案】1或9
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，分当和是正数m的同一个平方根时，当和是正数m的两个平方根时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当和是正数m的同一个平方根时，则，解得，
∴；
当和是正数m的两个平方根时，则，解得，
∴；
综上所述，这个正数m的值为1或9．
【题型2 利用算术平方根的非负性解题】
1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．−2B．2C．4D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若实数，满足，则的值是（ ）
A．7B．C．2024D．1
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，
解得，，
．
故选：D
3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则的值为 ．
【答案】16
【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
则，
故答案为：16．
4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则
【答案】2030
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
整理得：，
两边同时平方得：，
那么，
原式
，
故答案为：．
5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求：
(1)，，的值．
(2)的平方根．
【答案】(1)
(2)的平方根为
【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；
（1）根据题意易得，然后进行求解即可；
（2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴4的平方根为，
即的平方根为．
【题型3 估计算术平方根的取值范围】
1．（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】D
【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系．
根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案．
【详解】解：由，得，
即，
故选：D．
2．（22-23七年级下·山东德州·阶段练习）面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】根据题意可得，然后估算，即可求解．
【详解】解：∵面积为的正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的估算是解题的关键．
3．（22-23七年级下·天津静海·阶段练习）的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ．
【答案】18（答案不唯一）
【分析】由可得，再确定整数即可．
【详解】解：根据题意知：，
∴，
∵是整数，
∴可以取18（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键．
4．（21-22七年级下·浙江台州·阶段练习）， ，则 ．
【答案】2.381
【分析】利用算术平方根的意义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2.381．
【点睛】此题考查了算术平方根，对所求式子进行恰当的变形是解题的关键．
5．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
(1)求此长方形信封的长和宽．
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)长方形信封的长为，宽为
(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．
（1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可；
（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．
【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）解：正方形贺卡的边长是，
∵，
∴，
∴，
即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【题型4 求算术平方根的整数部分与小数部分】
1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）设的整数部分为，小数部分为，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】解：∵，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：D．
2．（22-23七年级下·福建福州·期中）规定用符号表示的整数部分，如：，若，则的值为（ ）
A．9B．1C．1D．1
【答案】C
【分析】根据算术平方根知识和新定义确定出的值，再代入求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数估算的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和定义进行正确地求解．
3．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ．
【答案】35
【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键．
4．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ．
【答案】 3
【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为3，．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
5．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）已知a是最大的负整数，d的相反数是它本身，，，且b与c乘积小于0，请回答问题．
(1)请直接写出a、b、c的值：________，________，________，________．
(2)计算的值．
(3)若x是c的算术平方根的小数部分，求的值．
【答案】(1)，，5，0
(2)
(3)
【分析】本题考查算术平方根，相反数，绝对值，代数式示值．
（1）根据有理数的定义及运算法则，相反数及绝对值的定义即可求得答案；
（2）将（1）中数值代入计算即可；
（3）根据x是c的算术平方根的小数部分，，得，再代入计算即可．
【详解】（1）解：是最大的负整数，的相反数是它本身，
，，
，，且与乘积小于0，，
，，
故答案为：，，5，0；
（2）解：由（1）得：
；
（3）解：∵x是c的算术平方根的小数部分，，，
∴，
∴．
【题型5 与算术平方根有关的规律探索题】
1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知，，则（ ）
A．34B．0.034C．3400D．340
【答案】D
【分析】本题考查了求算术平方根，关键是算术平方根定义的掌握．由题意得出被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解．
【详解】解：，，
被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
，
故选：D
2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若，则（ ）
A．0.101B．1.01C．101D．1010
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．将1.0201变形为的形式，再利用算术平方根的意义解答即可．
【详解】解：.
故选：B．
3．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．可得答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
4．（2024七年级下·全国·专题练习）观察下表后回答问题：
（1）表格中 ， ；
（2）根据你发现的规律填空：
①已知，则 ， ；
②已知，则 ．
【答案】 0.1 10 17.32 0.01732 560
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据被开方数中的小数点每移动2位，算术平方根的小数点相应的移动1位，计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：0.1，10；
（2）①，．
故答案为：17.32；0.01732；
②．
故答案为：560．
5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表：
(1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________；
(2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________；
(3)利用这一规律，解决下面的问题：
已知，则①_______；②________．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
（1）利用算术平方根定义计算，填表即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可；
（3）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）根据题意得：，
，
．
（2）当（为整数）时，；
（3）若，则①；
②．
【题型6 平方根的应用】
1．（22-23八年级下·河南郑州·期末）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（ ）
A．2.4AB．C．4.8AD．
【答案】B
【分析】将所给数据代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∴，
∴（负值不符合实际情况，舍去）
∴电流的值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键
2．（20-21七年级下·河南漯河·期中）如图，公园里有一个边长为的正方形花坛．现在想扩大花坛的面积，使花坛面积增加后仍为正方形，则边长应扩大（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设边长应扩大x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x＋8）米，则其面积为（64＋80）平方米，然后根据正方形的面积（x＋8）2＝（64＋80）平方米可得到答案．
【详解】设边长应扩大x米，根据题意，得：
（x＋8）2＝64＋80
（x＋8）2＝144
∴x＋8＝＝12（负值舍去），
∴x＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用．能够正确得出关系式（x＋8）2＝（64＋80）是解题的关键．
3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了求平方根的实际应用，设这个长方形的宽为，则长为，根据面积是列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．根据题意列出方程是解答本题的关键．
【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为，
由题意得：，即，
∵，
∴，即这个长方形的宽为，长为，
则这个长方形的周长．
故答案为：24．
4．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ．
【答案】
【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解．
【详解】解：由题意知，
解得或（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．
5．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）
(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【答案】(1)21
(2)37
【分析】本题考查了平方根的应用：
（1）将代入关系式计算即可；
（2）将代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：当时，
（厘米），
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．
（2）解：当时，
即，
，
答：冰川约是在37年前消失的．
【题型7 实数的概念理解与分类】
1．（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数D．实数分为正实数，负实数和零
【答案】D
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；
B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）下面7个数： ，，，，，，，其中是有理数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】根据有理数的定义判断即可．
本题考查了实数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：有理数有：，，，共3个，
故选：D．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦．（每两个3之间依次多一个1）．
（1）属于整数的有 （填序号）
（2）属于负分数的有 （填序号）
（3）属于无理数的有 （填序号）
【答案】 ④⑥ ②⑤ ③⑦
【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键．根据实数的分类及定义即可求得答案．
【详解】解：，，
（1）属于整数的有④⑥，
故答案为：④⑥；
（2）属于负分数的有②⑤，
故答案为：②⑤；
（3）属于无理数的有③⑦，
故答案为：③⑦．
4．（22-23七年级·浙江·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
【答案】 ，，， ，，， ，，，， ，，
【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可．
【详解】，
，，，，，，，中，
有理数集合为：，，，；
无理数集合为：，，，；
正实数集合为：，，，，；
负实数集合为：，，；
故答案为：①，，，；
②，，，；
③，，，，；
④，，．
5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”）
整数集合：{____________}；
负分数集合：{____________}；
无理数集合：{____________}；
【答案】整数：①④；负分数：②⑥⑦；无理数：③⑤⑧．
【分析】本题考查实数的分类、绝对值及乘方的计算．先计算乘方，绝对值，再根据整数包括负整数、和正整数；负分数为小于的分数；无理数是无限不循环小数，作答即可．熟练掌握相关定义是解题关键．
【详解】解：，，
整数集合：{①④…}；
负分数集合：{②⑥⑦…}；
无理数集合：{③⑤⑧…}；
【题型8 实数与数轴】
1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，是实数，且，，，则用数轴上的点来表示，，正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了数轴的知识，解答本题的关键是理解数轴上各点的大小关系，掌握原点左边的数小于0，原点右边的数大于0．根据绝对值的定义和数轴的定义解答此题即可．
【详解】解：，，
，，
，
到原点的距离大于到原点的距离，
故选：C．
2．（22-23七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在数轴上有六个点，且满足，则下列各数中与点C表示的数最接近的是（ ）

A．B．0C．2D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，解题注意利用数形结合的思想．先利用数轴的两点的距离计算出的长，进而计算出和的长，从而得出C点所表示的实数，然后再进行估算即可求解．
【详解】解：由数轴的信息知：，；
∴C点表示的实数为：；
而，
因此与点C表示的数最接近的是．
故选：D．
3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，点O是数轴的原点，点A表示的数是2，在数轴上过点A作一个的方格（每个小方格的边长为1个单位长度），连接、、、得到一个正方形，用圆规在点A左侧的数轴上取点E，使，则点E表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键．根据题意求出正方形的面积，进而得到边长，从而得出，再根据数轴上两点之间的距离公式，即可求解．
【详解】解：正方形的面积为，
正方形的边长为，即，
，
点A表示的数是2，点E在点A左侧的数轴上，
点E表示的数是，
故答案为：．
4．（24-25七年级上·浙江·期中）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，实数和数轴，根据数轴上两点距离计算公式可得，进而求解即可．
【详解】解：由题意得，．
故答案为：．
5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）数轴上的点，，，，分别表示，，，1，
(1)点的位置如图所示，请在数轴上标出点，，，的位置．
(2)观察（1）中的数轴，则大于小于的所有整数的和为_______．
【答案】(1)见详解
(2)0．
【分析】本题主要考查了实数与数轴，有理数的加法运算等知识．
（1）根据数轴上点的特点把点表示在数轴上即可；
（2）写出到的所有整数，然后相加即可．
【详解】（1）解：在数轴上标出点，，，的位置如下图所示：
（2）解：根据（1）中的数轴大于小于的整数有：，，，0，1，2，3．
则大于小于的所有整数的和为：．
【题型9 立方根的概念理解】
1．（24-25七年级上·浙江·期中）下列说法：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；②任何正数都有两个互为相反数的平方根；③立方根等于本身的数有1，0，；④一个数的算术平方根一定比原数小．其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的性质，直接利用立方根的定义以及平方根的定义分别分析得出答案．
【详解】解：①若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数，此说法正确，故不符合题意；
②任何正数都有两个互为相反数的平方根，此说法正确，故不符合题意；
③立方根等于本身的数有1，0，，此说法正确，故不符合题意；
④一个数的算术平方根一定比原数小，此说法错误，比如，0的算术平方根是0，故符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）立方根是它本身的数有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据立方根的定义即可解答．本题考查了立方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．
【详解】解：立方根是它本身的数有，所以有3个，
故选：D．
3．（22-23八年级上·河南南阳·期中）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或
故答案为：或或
4．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）按下列程序：输入x→立方根→倒数→算术平方根→输出，则x为 ．
【答案】64
【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根，倒数的应用，根据算术平方根，立方根，倒数等知识点列出算式，再逐步求出即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
，
故答案为：64．
5．（20-21七年级上·浙江杭州·单元测试）写出下列式子所表示的意义，并计算出结果．
（1）
（2）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】根据平方根和立方根的定义分别解答．
【详解】解：（1）表示的负的平方根，
结果是；
（2）表示的立方根，
结果是．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题的关键是掌握各自的定义和求法．
【题型10 求立方根】
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，的立方根是y，则的值为（ ）
A．0B．6C．0或6D．0或
【答案】D
【分析】本题考查了求一个数的平方根和立方根，掌握求一个数的平方根和立方根是解题的关键．
根据平方根、立方根的定义求出x、y的值，即可计算的值．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∵的立方根是，
∴，
当，时，；
当，时，；
综上，的值为或，
故选：D．
2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．的立方根是B．没有立方根
C．的平方根是D．的算术平方根是
【答案】C
【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个，算术平方根只有一个，且为正数．
根据立方根及平方根、算术平方根的定义，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：、64的立方根是4，故选项错误；
、的立方根为，故选项错误；
、64的平方根是，故选项正确；
、64的算术平方根是8，故选项错误；
故选：．
3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）计算的结果是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的运算是解题的关键．
直接利用算术平方根以及立方根的意义分别化简得出答案．
【详解】
．
故答案为：3．
4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则 ，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用平方根解方程立方根解方程．由，即可解答．
【详解】解：，，
；
，
；
故答案为：，．
5．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是．
(1)求的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根：
（1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可；
（2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】（1）解；∵是49的算术平方根，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴的立方根是．
【题型11 算术平方根与立方根的综合应用】
1．（23-34七年级下·全国·单元测试）下列说法：①是的平方根；②的平方根是；③的立方根是；④的算术平方根是；⑤的立方根是；⑥的平方根是，其中正确的说法是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根的定义即可依次判断．
【详解】是的平方根，正确;
的平方根是，故错误﹔
的立方根是，故错误;
的算术平方根是，正确﹔
的立方根是，故错误;
的平方根是，故错误;
其中正确的说法是:，共个，
故选:．
【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根、算术平方根及立方根的定义．
2．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且

当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
3．（21-22七年级下·广东汕尾·期中）观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① = ，②若 =0.18308，则x= ．
【答案】
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．
【详解】解：∵=2.477，
∴，
∵=1.8308，=0.18308，
∴
故答案为：，．
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
4．（20-21七年级下·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝ ．
【答案】4
【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】由题意可得：，，
解得：，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
5．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，表示的算术平方根，，表示的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求M和N的值；
(3)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
(3)4
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值；
（2）将m和n的值代入M和N即可求解；
（3）将（2）中得出的M和N的值相加即可．
【详解】（1）解：∵表示的算术平方根，
∴，
解得：，
∵表示的立方根，
∴，
把代入得：，
解得：，
综上：，；
（2）解：∵，，
∴，，
综上：；
（3）解：∵，
∴．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键．
【题型12 实数的混合运算】
1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，熟知算术平方根和立方根的意义是正确解决本题的关键．
根据算术平方根和立方根的意义、乘方的运算法则求解即可．
（1）先算乘方，化简绝对值，求算术平方根，再算加减即可；
（2）先算乘方，求算术平方根，立方根再计算即可．
【详解】（1）解：；

（2）解：．

．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算开方和绝对值，再算加减；
（2）先算乘方和开方，再算乘法，后算加减．
【详解】（1）解：
（2）解：
3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)−2
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
（1）先算乘方，开方，绝对值，再算加减即可；
（2）先算乘方和开方，计算括号内减法，再算乘法，最后算加法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【题型13 新定义下的实数运算】
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有．
例如：．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)14；
(2)
【分析】此题考查了新定义运算，求算术平方根，平方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据新定义，列出算式进行计算即可；
（2）先根据新定义求出，再次利用新定义，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）∵
∴
；
（2）∵
∴
∴
∴的平方根是．
2．（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如．
请你计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键．
（1）把，代入求解；
（2）把，代入求解；
（3）先计算，再计算．
【详解】（1）解：，
又，
故；
（2）解：∵，
故；
（3）解：∵，
故，
．
3．（21-22七年级上·浙江绍兴·期中）若整数的两个平方根为，，为的整数部分．
(1)由题意得， ， ， ．
(2)求的平方根；
(3)现规定一种新运算※，满足※，求※的值．
【答案】(1)4，36，3
(2)的平方根为
(3)※的值为12
【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a和m的值，根据无理数估算的方法求出b的值；
（2）将m和a的值代入求解即可；
（3）根据新定义的运算法则求解即可．
【详解】（1）由题意得：
，
，
，
，
，
的整数部分为3，
，
，，，
故答案为：4，36，3；
（2）当，时，
，
的平方根为；
（3）当时，※
，
※的值为12．
【点睛】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
【题型14 实数运算的实际应用】
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证明：， 为有理数，
是有理数．
为有理数，是无理数，
．
．
．
(1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容．
（1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解；
（2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明；
（3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
， 为有理数，
，，
，，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，，， 为有理数，
，都是有理数，
，，
，；
（3）解：，
的整数部分，小数部分，
，
，
，
， 为有理数，
，
解得：，
，．
2．（21-22七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米
(2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用
【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得；
（2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得．
【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则，
答：该长方形的长为35米，宽为20米．
（2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米，
，
，，
能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，
改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米），
原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米，
，
，
原来的铁栅栏围墙不够用，
答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
3．（20-21七年级上·浙江绍兴·期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可．
【详解】解：（1），
故答案为：10；
（2）边长为的正方形，则面积为，
则每个三角形的面积为，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
【题型15 实数运算相关的规律题】
1．（22-23七年级上·广东潮州·期中）我们来看下面的两个例子：
，，
和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以 （填空）
（1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？
（2）运用以上结论，计算：的值．
【答案】（1）；（2）120
【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键．
（1）直接利用算术平方根的定义得出答案；
（2）直接利用得出答案．
【详解】解：，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以；
（1）根据题意，当时，
则；
（2）．
2．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4；
(1)计算：
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)6
(2)
(3)52
【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于．
（1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案；
（2）利用以上所得规律可得；
（3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得
【详解】（1）解：，
故答案为：6；
（2），
故答案为：；
（3）
．
3．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③；
……
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式；
(2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）；
(3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解．
（1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子；
（2）利用上述规律可知即可求值；
（3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式
【详解】（1）解：①；
②；
③；
……
可得第6个等式为：
（2）解：
；
（3）解：用（为正整数）表示的等式为：
过关检测
1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在实数，，，中，属于无理数的是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查无理数的定义，理解无理数定义是解答本题的关键．
无理数是无限不循环小数，在初中阶段它的表现形式有三类∶①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③，利用无理数的定义分析得出答案．
【详解】A．0是有理数，故本选项不符合题意；
B．，是有理数，故本选项不符合题意；
C．，是有限小数，是有理数，故本选项符合题意；
D．，开方开不尽的数，是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
【答案】C
【分析】本题考查了对无理数大小的估算能力，能准确理解并运用算术平方根知识是解题的关键．先化简的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解．
【详解】解：，
∵，
∴．
故选：C ．
3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据表 示不大于x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解．
【详解】解：．
∴对只需进行4次操作后变为1．
故选：B．
4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数．
【详解】解：正方形的面积为7，且，
，
点表示的数是1，且点在点左侧，
点表示的数为：．
故选：C．
5．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可．
【详解】解：∵，
∴
又∵，即
∵和为两个连续整数，
∴
∴
∴的立方根值为，
故选：D．
6．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）64的算术平方根是 ，的立方根是 ．
【答案】 8 2
【分析】本题考查了立方根及算术平方根的知识，属于基础题，掌握基本的定义是关键．根据算术平方根及立方根的定义进行求解即可．
【详解】解：64的算术平方根是8；
，8的立方根2．即的立方根是2，
故答案为：8，2．
7．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题关键．将变形为，再进行计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
8．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，点O是数轴的原点，点A表示的数是2，在数轴上过点A作一个的方格（每个小方格的边长为1个单位长度），连接、、、得到一个正方形，用圆规在点A左侧的数轴上取点E，使，则点E表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键．根据题意求出正方形的面积，进而得到边长，从而得出，再根据数轴上两点之间的距离公式，即可求解．
【详解】解：正方形的面积为，
正方形的边长为，即，
，
点A表示的数是2，点E在点A左侧的数轴上，
点E表示的数是，
故答案为：．
9．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
……
观察发现，
，
故答案为：，．
10．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解．
【详解】，其中均是整数，
又 ，，
当，，
解得，，
此时，
当，，
解得或，，
此时或，
时，或或，
故答案为：．
11．（24-25七年级上·浙江·期中）已知下列各数：，，，，0．
(1)将上述各数表示在数轴上．
(2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确熟练在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
（1）在数轴上找到各数对应的点，即可解答；
（2）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，即可解答．
【详解】（1）解：，，
如图，
（2）解：．
12．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知a的立方等于，b的算术平方根为5．求：
(1)a，b的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)；25
(2)
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，根据一个数的算术平方根求这个数．
（1）根据立方根和算术平方根的性质即可求出a，b的值；
（2）根据（1）所求得，再由平方根的性质得到答案．
【详解】（1）∵a的立方等于，
∴，
∵b的算术平方根为5，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴平方根是．
13．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“”之间依次多一个“”）
整数集合：{____________}；
负分数集合：{____________}；
无理数集合：{____________}；
【答案】整数：①④；负分数：②⑥⑦；无理数：③⑤⑧．
【分析】本题考查实数的分类、绝对值及乘方的计算．先计算乘方，绝对值，再根据整数包括负整数、和正整数；负分数为小于的分数；无理数是无限不循环小数，作答即可．熟练掌握相关定义是解题关键．
【详解】解：，，
整数集合：{①④…}；
负分数集合：{②⑥⑦…}；
无理数集合：{③⑤⑧…}；
14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，完成下列任务：
任务：
(1)利用材料一中的方法，的小数部分是 ；
(2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？
(3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的运算．
（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到，确定、的值，再代入计算即可；
（3）按照材料二所提供的方法进行解答即可．
【详解】（1）解：，
，即，
的整数部分为5，
的小数部分为，
故答案为：；
（2）解：，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
即；
（3）解：面积为127的正方形的边长是，且．
设，其中，
画出边长为的正方形，如图所示：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得，
解得，
，
即．
15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1是由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形，则拼成的正方形的面积是___________，边长是___________．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2）剪开并拼成正方形，请在如图3所示的方格图内画出这个正方形．
（3）小王想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明他能否裁出这样的长方形纸片．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）小王不能裁出这样的长方形纸片
【分析】本题考查图形的拼剪，利用平方根解方程，实数的应用和实数比较大小等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据裁剪前后面积不变可得正方形的面积，根据“面积等于边长的平方”可得边长是；
（2）判断出正方形的面积是10，推出边长是，画出边长为的正方形即可；
（3）设长方形纸片的长为，宽为，利用长方形面积公式可得方程，求解比较即可．
【详解】解：（1）根据题意可得，正方形的面积是5，
∵边长，
∴边长是．
故答案为：；
（2）正方形的面积是10，边长是，如图中，正方形即为所求；
（3）设长方形纸片的长为，宽为，
根据题意得：，即，
解得：或（舍去），
∴长方形纸片的长为，宽为，
，
∴长方形纸片的长大于原正方形纸片的边长，
∴小王不能裁出这样的长方形纸片．
题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破
a
0.0001
0.01
1
100
10000
0.01
x
1
y
100
a
…
0.04
4
400
40000
…
…
x
2
y
z
…
材料一；
材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分．
我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
∵，
∴，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为．
∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得．
∴．