新高考数学二轮复习培优训练专题19 数列中常见的求和问题（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题19 数列中常见的求和问题（含解析），共24页。
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 SKIPIF 1 < 0 的长方形纸，对折1次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，对折2次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 SKIPIF 1 < 0 次，那么 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 (1). 5 (2). SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由对折2次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三种规格的图形，所以对着三次的结果有： SKIPIF 1 < 0 ，共4种不同规格（单位 SKIPIF 1 < 0 ；
故对折4次可得到如下规格： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，首项为120 SKIPIF 1 < 0 ,第n次对折后的图形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 SKIPIF 1 < 0 种（证明从略），故得猜想 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 SKIPIF 1 < 0 是公比不为1的等比数列， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的公比；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【解析】1）设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设等比数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 为数列{lg3an}的前n项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，求m．
【解析】（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
4、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{an}满足a1=3， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项可猜想数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公差的等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
证明如下：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立；
假设 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立.
那么 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也成立.
则对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立；
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
由① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
5、【2021年乙卷文科】设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， ⑧
则 SKIPIF 1 < 0 ． ⑨
由⑧-⑨得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
通过等式左右两边系数比对易得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，下同方法二．
6、【2021年新高考1卷】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）记 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的前20项和.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为奇数）及 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 SKIPIF 1 < 0 知数列 SKIPIF 1 < 0 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和为：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
题组一、利用周期性（规律性求和）
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）记 SKIPIF 1 < 0 表示不超过实数 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．5479B．5485C．5475D．5482
【答案】B
【解析】由题意可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示不超过x的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 称为高斯函数.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4950B．4953C．4956D．4959
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据累加法可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
题组二、裂项相消求和
2-1、（2022·河北张家口·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，符合上式.
综上， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
2-2、（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
2-3、（2022·河北唐山·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为常数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系化简可得 SKIPIF 1 < 0 化简即可得出结果.
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可知 SKIPIF 1 < 0 ，通过裂项求和可得出结果.
(1)
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 为常数列．
(2)
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
题组三、分组求和
3-1、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等差数列；数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
【解析】(1)
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比的等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
3-2、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”.
(1)已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ；
（I）判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）由新定义直接验证即可证明
（2）（I）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再由新定义直接验证即可.
(Ⅱ)由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，由分组求和即可得出答案.
(1)
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”
(2)
（I）将 SKIPIF 1 < 0 两边同除 SKIPIF 1 < 0
得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是“指数型数列”
（Ⅱ）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
3-3、（2022·山东临沂·高三期末）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列的通 SKIPIF 1 < 0 项公式：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 化简条件可得数列为等差数列，再由 SKIPIF 1 < 0 求出首项即可得出等差数列的通项公式；
（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.
(1)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以2为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
(2)
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
题组四、错位相减
4-1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ．（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解．
【详解】
（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4-2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 SKIPIF 1 < 0 是公比不为1的等比数列， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的公比；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【解析】1）设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
4-3、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）结合等比数列性质，将 SKIPIF 1 < 0 全部代换为与 SKIPIF 1 < 0 有关的形式，结合等差中项性质化简即可求解；
（2）结合（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，由错位相减法可求 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
题组五、奇偶项
5-1、（2022·山东烟台·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)记 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)
依题意， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5-2、(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)
(10分)已知等差数列eq {a\s\d(n)}满足eq a\s\d(n)＋a\s\d(n＋1)＝4n，n∈N*．
(1)求eq {a\s\d(n)}的通项公式；
(2)设eq b\s\d(1)＝1，b\s\d(n＋1)＝\B\lc\{(\a\al(a\s\d(n)，n为奇数，,－b\s\d(n)＋2\s\up6(n)，n为偶数，))求数列eq {b\s\d(n)}的前2n项和eq S\s\d(2n)．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 与已知条件两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的值，再由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的值，利用等差数列的通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，再利用分组并项求和以及等比数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
5-3、(2022·江苏南通海安市期中)
已知数列eq {a\s\d(n)}满足a1＝1，an＋1＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(2a\S\DO(n)，n为奇数，),\l(a\S\DO(n)＋3，n为偶数．)))
(1)从下面两个条件中选一个，写出b1，b2，并求数列eq {b\s\d(n)}的通项公式；
①bn＝a2n－1＋3；②bn＝a2n＋1－a2n－1．
(2)求数列eq {a\s\d(n)}的前n项和为Sn．
【答案】（1）所选条件见解析，；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分为奇数和为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.
（2）分为奇数和为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.
【小问1详解】
当奇数时，，则，且，则，即，
当为偶数时，，则，且，，则，即，
若选①，则，则；
若选②，则，则，
【小问2详解】
当为偶数时，
当为奇数时，
.
1、（2022·江苏如东·高三期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a1＝2， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.
【解析】
【分析】(1)由条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即证结论.
(2)由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，由裂项相消法可求和.
(1)
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
数列 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项，2为公比的等比数列
(2)
由（1）数列 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项，2为公比的等比数列
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）结合等比数列性质，将 SKIPIF 1 < 0 全部代换为与 SKIPIF 1 < 0 有关的形式，结合等差中项性质化简即可求解；
（2）结合（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，由错位相减法可求 SKIPIF 1 < 0 .
(1)
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
①-②得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
3、．(2022·江苏南通市区期中)(本题满分10分)已知数列eq {a\s\d(n)}是公比为正数的等比数列，且eq a\s\d(1)＝2，a\s\d(3)＝a\s\d(2)＋4．
(1)求数列eq {a\s\d(n)}的通项公式；
(2)若eq b\s\d(n)＝lg\s\d(2)a\s\d(n)，求数列eq {a\s\d(n)＋b\s\d(n)}的前n项和Sn．
【解析】
(1)根据题意，设eq {a\s\d(n)}公比为q，且q＞0，
∵a1＝2，a3＝a2＋4，∴2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴eq a\s\d(n)＝2\s\up6(n)．
(2)根据题意，得eq b\s\d(n)＝lg\s\d(2)2\s\up6(n)＝n，故eq a\s\d(n)＋b\s\d(n)＝2\s\up6(n)＋n，
因此Sn＝(1＋2＋…＋n)＋(21＋22＋…＋2n)＝EQ \F(n(n＋1),2)＋EQ \F(2\b\bc\((\l(1－2\S(n))),1－2)eq ＝\f(n\s\up6(2)＋n,2)＋2\s\up6(n＋1)－2．
所以Sneq ＝\f(n\s\up6(2)＋n,2)＋2\s\up6(n＋1)－2．
4、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，求 SKIPIF 1 < 0 的前1000项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用 SKIPIF 1 < 0 可求出；
（2）根据数列特点采用分组求和法求解.
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入上式验证显然适合，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2022·河北保定·高三期末）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列写出通项公式即可；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和即可.
(1)
因为数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
6、（2022·山东临沂·高三期末）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列的通 SKIPIF 1 < 0 项公式：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 化简条件可得数列为等差数列，再由 SKIPIF 1 < 0 求出首项即可得出等差数列的通项公式；
（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.
(1)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以2为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
(2)
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .