专题05 一次函数与反比例函数【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

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1．（2023·河北·中考真题）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
2．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，
，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴是的正比例函数，
∵，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
3．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若x减小，则y也减小D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴，
∴，
当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．
4．（2022·河北·中考真题）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，
，
，且为整数．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
5．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
6．（2021·河北·中考真题）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．
（1）当时，与的交点坐标为 ；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点A和，为能看到在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数 ．
【答案】 4
【分析】（1）结合题意，根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得
∴
∵
∴是的解
∴当时，与的交点坐标为：
故答案为：；
（2）当时，得
∴
∵
∴是的解
∴与的交点坐标为：
∵（1）视窗可视范围就由及，且
∴
根据题意，得为正整数
∴
∴
同理，当时，得
∴
∴
∴
∵要能看到在A和之间的一整段图象
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解．
7．（2020·河北·中考真题）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则 ；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则 ；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有 个．
【答案】 －16 5 7
【分析】（1）先确定T1的坐标，然后根据反比例函数（）即可确定k的值；
（2）观察发现，在反比例函数图像上的点，横纵坐标只积相等，即可确定另一点；
（3）先分别求出T1~T8的横纵坐标积，再从小到大排列，然后让k位于第4个和第5个点的横纵坐标积之间，即可确定k的取值范围和k的整数值的个数．
【详解】解：（1）由图像可知T1（-16,1）
又∵．函数（）的图象经过T1
∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）
∵过点
∴k=-10×4=40
观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．
故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像上的点的横纵坐标积等于k是解答本题的关键．
8．（2021·河北·中考真题）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．
（1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
【注：（1）及（2）中不必写的取值范围】
【答案】（1）， （km/min）（2），（3）min
【分析】（1）根据图象分析得知，解析式为正比例函数，根据角度判断k值，即可求得．
（2）根据B、C两点坐标，待定系数法求表达式即可，着陆点令,求解即可．
（3）根据点Q的位置，观察图象，找到满足题意的范围，分类讨论计算即可．
【详解】解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为:
∵2号机从原点处沿仰角爬升
∴
又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间（min）
∴2号机的飞行速度为：（km/min）
（2） 设线段BC所在直线的函数表达式为：
∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min,
点B的横坐标为：；点B的纵坐标为：4，即,
将,代入中，得：

解得：
∴
令 ,解得：
∴2号机的着陆点坐标为
（3）当点Ｑ在时，要保证 ，则：；
当点Q在上时，,此时，满足题意,时长为（min）；
当点Q在上时，令 ，解得：，此时（min），
∴当时，时长为：（min）
【点睛】本题考查变量之间的关系、待定系数法求一次函数解析式，根据实际问题，数形结合讨论是解题的关键.
9．（2020·河北·中考真题）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到直线，联立两直线求出交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）分对称点在直线l，直线和y轴分别列式求解即可．
【详解】（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），
令，
解得，
∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；
（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,
令，解得x=,
∴2×=a-3，
解得a=7；
②当对称点在直线上时，
则2×（a-3）=，
解得a=；
③当对称点在y轴上时，
则+（）=0，
解得a=；
综上：的值为或或7．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐标的对称性．
10．（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，．
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析②5
【分析】（1）设直线AB的解析式为，把点，代入，即可求解；
（2）①根据题意得，点C（2，0），把点C（2，0）代入，即可求解；
②由①得：，可得，再根据题意找到线段AB上的整点，再逐一代入，即可求解．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴AB所在直线的解析式为；
（2）解： ，理由如下：
若有光点P弹出，则c＝2，
∴点C（2，0），
把点C（2，0）代入得：
；
∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为；
②由①得：，
∴，
∵点，，AB所在直线的解析式为，
∴线段AB上的其它整点为，
∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，
∴直线CD过整数点，
∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-7，18）时，，即，
当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4，
当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10，
当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在，
当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8，
当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2，
当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即（不合题意，舍去），
综上所述，此时整数m的个数为5个．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，即直线CD过整数点是解题的关键．
11．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．

(1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【答案】(1)的解析式为；的解析式为；
(2)①；②的解析式为，图象见解析；
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②由于，
∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：

（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，
∴，
设直线的解析式为，
把A、B两点坐标代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
12．（2024·河北唐山·三模）如图1是一个圆底烧瓶，李老师在做化学实验时向空瓶内匀速加水至图2状态停止．记加水时长为，圆底烧瓶里水面的高度为，则与关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象，根据空瓶的形状，随着加水时长的增加，水面的高度上升的快慢，即可求解．
【详解】解：根据空瓶的形状，随着加水时长的增加，单位时间内，圆底烧瓶里水面的高度上升先快后慢，再由慢变快，最后均匀上升，
∴选项B中图象符合题意，
故选：B．
13．（2024·河北邢台·三模）如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）

A． B．

C．
D．

【答案】B
【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是到的过程，二是到的过程，分别用含的式子表示出，再判断即可，具体见详解．
【详解】解：
当时，如图

同理得
；
当时，如图

，
．
故选：B．
14．（2024·河北邯郸·二模）如图，两个透明的正方体器皿，其中小正方体的器皿棱长是大正方体棱长的，将小正方体器皿放置大正方体器皿的底部，现先向小正方体器皿内匀速注水，注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，直到液面刚好没过小正方体器皿．设注水时间为，两个器皿内水面之差为，则与之间关系的大致图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的图象．根据题意可以得到各段内的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：向小正方体器皿内匀速注水，注满后，两个器皿内水面之差为最大，
注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，两个器皿内水面之差随着的增加而缓慢减少，直到为0，
设小正方体的器皿棱长为，则大正方体棱长为，
小正方体的体积为，
则大正方体中直到液面刚好没过小正方体器皿时的体积为，
∴小正方体器皿注满水后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水的时间是向小正方体器皿注水时间的倍，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
15．（2024·河北保定·二模）一种线型合成材料，其成本y（元）与材料长度x（米）的平方成正比．已知材料长度为2米时，成本为4元；若材料长度为米，则该材料的成本用科学记数法表示为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】本题考查了函数解析式，科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数，根据题意得到成本y（元）与材料长度x（米）的关系式，再利用科学记数法表示即可．
【详解】解：由题意得：成本y（元）与材料长度x（米）的关系式为：，
当时，，
，
，
成本y（元）与材料长度x（米）的关系式为：，
当时，则，
故选：D．
16．（2024·河北保定·二模）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①该函数自变量的取值范围为；
②该函数与轴交于点；
③该函数图象不经过第四象限；
④若，是该函数上两点，当时，一定有．
⑤该函数图象关于轴对称．
其中说法正确的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】本题考查了函数的自变量取值范围，增减性，对称性，与坐标轴的交点，熟练掌握知识点是解题的关键．
①根据分式有意义的条件即可求解；②把代入即可；③当时，判断y是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．
【详解】解：①：函数的等号右边为分式，
∴，
∴，故①正确；
②：当时，，
∴该函数与轴交于点，故②正确；
③：由得，
∴时，，
∴该函数图象不经过第四象限，故③正确；
④：当时，取，则，
∴不满足，故④错误；
⑤：若该函数图象关于轴对称，则函数图象上的每一个点都关于轴对称，
当，，当，，
而与不关于轴对称，故⑤错误，
∴说法正确的有3个，
故选：C．
17．（2024·河北邯郸·三模）珍珍的爸爸是某单位的一名销售员，他的月工资（基本工资＋计件提成）总额随月销售量x（件）的变化而变化，下表是他应得工资w（元）与x之间的关系：
求珍珍爸爸的月收入不低于5000元时应销售件数的取值范围，有如下解题方法：
下列判断正确的是（ ）．
A．方法一的思路正确，函数表达式也正确
B．方法一的思路和函数表达式都不正确
C．方法二的思路正确，所列不等式也正确
D．方法二的思路和所列不等式都不正确
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意可得，再根据，可得，即，据此可得答案．
【详解】解：观察表格可知，
∵珍珍爸爸的月收入不低于5000元，
∴，则，即，
∴方法一的思路正确，函数表达式错误，方法二的思路正确，所列不等式也正确，
故选：C．
18．（2024·河北邯郸·模拟预测）有一段平直的公路，A与B间的距离是．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A和B处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差输入程序后，随即输出此车在段的平均速度，则v与t间的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度路程时间”列出关系式即可．找出题中的等量关系是解决问题得关键．
【详解】解：∵，
，
故选：B．
19．（2024·河北石家庄·三模）若反比例函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上的坐标特征，根据反比例函数的图象与性质，写出与的大小关系，即可解题．
【详解】解：，
反比例函数的图象过一、三象限，
反比例函数的图象经过点，，
，，
，
故选：A．
20．（2024·河北邯郸·三模）嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是B．最大电流是
C．最小电流是D．最小电流是
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得的值，然后代入求得的值即可．
【详解】解：根据电压电流电阻，设，
将点代入，
可得：，
解得：，
，
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
21．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离等于（ ）
A．3B．4C．7D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质等知识点，掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即成为解题的关键．先根据平移的性质得到点的纵坐标为1，，则利用反比例函数解析式可确定，则，从而得到的长度即可．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为．将沿轴正方向平移，
∴点的纵坐标为1，，
当时，，解得，
∴，
∴，
∴．
故选B．
22．（2024·河北石家庄·三模）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数解析式是解题的关键．
设，将代入得，，由题意知，，当时，，然后判断作答即可．
【详解】解：设，
将代入得，，
由题意知，，
当时，，
∴当小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足，
故选：C．
23．（2024·河北邯郸·二模）已知，，若点与点在反比例函数的图象上，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象与性质．根据反比例函数图象与性质，将，代入函数表达式得到等式，整理即可得到答案．
【详解】解：点与点在反比例函数的图象上，
，
整理得，
故选：B．
24．（2024·河北保定·二模）如图，A，B，C三点在同一反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、负整数指数幂，根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将三个点坐标代入函数解析式中求得k、a、b即可．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，
∵A，B，C三点在同一反比例函数的图象上，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
25．（2024·河北张家口·三模）横、纵坐标都为整数的点称为整点若双曲线（如图）与双曲线之间只有两个整点（不含边界），则满足条件的的值不可能是（ ）
A．2B．3C．5.5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，运用数形结合思想是解题的关键．根据反比例函数的图像分类讨论求解即可．
【详解】解：当时，，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意；
当时，，此时过和，与之间没有整点，故符合题意；
当时，，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意；
当时，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意；
故选：．
26．（2024·河北石家庄·二模）将一张半透明的矩形纸片在平而直角坐标系中按如图所示的位置摆放，其中点，在轴的负半轴上，且，．双曲线分别与边，交于点，连接，在矩形纸片沿着轴左右平移过程中，当点恰为中点时，有，则双曲线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平移，设点的坐标为，则点的横坐标为，由勾股定理求出，从而求出，，则，然后根据待定系数法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】设点的坐标为，
∴点的横坐标为，
又在中，，
∴，，
∴，
∵点均在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴双曲线为，
故选：．
27．（2024·河北石家庄·一模）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，将每个台阶拐角的顶点叫作拐点，记作（m为1~7的整数），函数 的图象为曲线L． 当曲线L同时经过的拐点最多时， k的值为 （ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，先由题意得到各拐点的坐标，再根据点的坐标满足函数解析式求解即可，利用点的坐标分布情况确定k值是解答的关键．
【详解】由题意可知，，，，，，，
∵曲线L的函数表达式为，
∴当时，曲线L同时经过2个拐点、；
当时，曲线L同时经过3个拐点 、、；
当时，曲线L同时经过2个拐点、；
∴当时，曲线L经过的拐点最多，
故选：B．
28．（2024·河北沧州·三模）在“探索一次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．则 ； ．（选填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
分别求出三条直线的解析式即可．
【详解】解：∵直线解析式为，过点，则代入有
，将代入解析式得
，
；
∵直线解析式为，根据题意得：
，解得，
直线解析式为，
，
设直线解析式为将，坐标代入得
，
解得：
，
，
∴，
故答案为：，．
29．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
（1）小李出发时，小王离地的距离为 ．
（2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数与二次函数在行程中的数量关系是解题的关键．
（1）根据小李出发时，时间为零，代入计算即可求解；
（2）设两人相距，根据题意可得，结合二次函数最值的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）小李：，小王：，
当时，小李：，小王：，
∴（米）；
（2）设小李和小王相距米，
∴
，
∴当时，小李与小王相距最近，最近为米，
∴小李出发分钟时两人相距最近，最近距离为米，
故答案为：，， ．
30．（2024·河北沧州·三模）在平面直角坐标系中，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，反比例函数的综合，掌握旋转的性质，根据反比例解析式求参数的计算方法是解题的关键．
根据旋转的性质可求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数即可求出参数的值．
【详解】解：∵点绕点O逆时针旋转得到点，
∴，
∵点恰好在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：．
31．（2024·河北廊坊·二模）如图是一个边长为2的正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是 ．把正方体展开图放在平面直角坐标系xOy中，其中“考”字左上角的顶点A坐标为．若双曲线在第一象限的部分过该图形的对称中心，则双曲线的函数解析式为 ．
【答案】 查
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及正方体相对两个面上的文字，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正方体的表面展开图与原正方体之间的关系，可得出汉字“真”对面的汉字，再求出该图形的对称中心即可解决问题．
【详解】解∶根据正方体的表面展开图与原正方体之间的关系可知，汉字“真”的对面是汉字“查”．
因为正方体的棱长为2，且点A的坐标为 ，
所以点B的坐标为，
所以AB的中点坐标为．
令反比例函数解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析得，，
所以双曲线的函数解析式为，
故答案为∶查，
32．（2024·河北石家庄·二模）如图，都是等腰直角三角形，点在函数的图象上，斜边都在x轴上，则点的坐标是 ，点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与的综合应用，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，由于是等腰直角三角形，可知直线的解析式为，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是的横坐标的两倍，从而确定点的坐标；由于，都是等腰直角三角形，则，直线可看作是直线向右平移个单位长度得到的，因而得到直线的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是线段的中点，从而确定点的坐标；依此类推，从而确定点的坐标，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．
【详解】过作轴于，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点在函数图象上，
∴，
∴
∴，
的坐标为，
∴的解析式为：，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴的表达式与的表达式一次项系数相等，可设解析式为，
∴将代入得
∴，
∴的表达式是，与联立，
解得，
同理可得，，，，
依此类推，点的坐标为，
故点的坐标是，即，
故答案为：，．
33．（2024·河北唐山·二模）如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．

（1） ；
（2） ．
【答案】 5 4
【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键．
（1）由， ，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可；
（2）由（1）可知， ，，则，，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：∵， ，在函数的图象上，
∴，，，，
∴，
故答案为：5；
（2）解：由（1）可知， ，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
34．（2024·河北邯郸·三模）如图，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于 （不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题：
（1）内整点的个数最多有 个；
（2）若内整点的个数为，则点的纵坐标的取值范围是 ．
【答案】 5
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题；
（1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解；
（2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，取点，
∵双曲线 （）经过点 点 ，
∴，反比例函数解析式为，
∴，
当点在的左侧时，
内整点的个数最多有共5个点
故答案为：．
（2）∵，设直线的解析式为，则
∴，
∵平行于
设的解析式为
若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即
当经过点时，，解得：
当经过点时，，解得：
∵整点有4个，则不经过
∴
故答案为：．
35．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形中，点，点，点，，且，沿折叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F．
（1） ；
（2）当时，m的值为 ；
（3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为 ．
【答案】 4 6
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将点代入求解即可；
（2）求出点坐标，代入求解即可；
（3）观察图象，从图象从开始增大，从图象可得当超过点和，且不超过点时即可满足．
【详解】（1）∵正方形中，点，点，
∴，
∵：经过点B，
∴，
故答案为：；
（2）∵点，，
∴，，
由翻折得：，，
∴，
∵：经过点F，
∴，
∴当时，，
故答案为：；
（3）∵，且双曲线、之间有2个整数点，
利用对称性可知这两个整数点为和，
由（2）得，
当恰好过和时，得，
得，
∵恰好有两个整数点，
∴整数点不包括点，
当恰好经过点时，得，
得，
结合图象可得时即可满足，
故答案为：．
36．（2024·河北唐山·三模）已知反比例函数．
（1）若点在反比例函数的图象上，则的值为 ；
（2）若反比例函数与一次函数的图象交于点，且，请写出一个满足条件的值为 ．
【答案】 0（答案不唯一）
【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，
（1）将代入求解即可；
（2）首先判断出一次函数经过第二，四象限，然后根据题意得到，进而求解即可．
【详解】（1）将代入
得，，
解得，
故答案为：；
（2）∵一次函数中
∴一次函数经过第二，四象限
∵反比例函数与一次函数的图象交于点，且，
∴反比例函数图象在第二，四象限
∴
∴
∴满足条件的值可以为0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
37．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．
（1）当G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）G上；
（2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为 ．
【答案】 不在 且
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题：
（1）先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再代入点A的横坐标坐标计算即可得到答案；
（2）先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围．
【详解】解：（1）的直角顶点C的坐标为，轴，
则轴，
∴设点，
∵顶点A，B在直线上，
将代入得，
点A的坐标为，
令，解得，
点B的坐标为，代入，得，
双曲线G的解析式为，
当时，，
点A不在双曲线G上，
故答案为：不在；
（2）点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），
分别为、、、、、，
由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图像越远离x轴而越接近y轴，即开口越大，
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值；
当时，有，即；
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值；
当时，有，即；
但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，；
综上，k的取值范围为且，
故答案为：且．
38．（2024·河北石家庄·一模）如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P．
（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为： ；（填“”或“=”）
（2）如图2所示，若，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 ．
【答案】 = 72
【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义：
（1）根据“过双曲线上任意一点与原点所连接的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，即”求解即可；
（2）如图，设与，交于G，H，交于点K，则，设，则，，，由可得，，进而得出，，，可求得，再运用三角形和梯形面积即可求得答案
【详解】解：（1）如图，
根据题意得，，
∴，
即，
故答案为：=；
（2）如图，设与，交于G，H，交于点K，
则，
设，
则，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴图中阴影部分面积，
∵图中三块阴影部分的面积之和为62，
∴
解得，
故答案为：72
39．（2024·河北邢台·一模）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作．
（1） ；
（2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出．
（2）先由题意得出点坐标，再加上，从而得出直线表达式，再确定，根据在和进行分类讨论，写出区域内所有整数点，列举出满足条件的整数点，进而综合两种情况得到答案．
【详解】解：（1）将代入中，
解得：，
故答案为：．
（2），
当时，，
，且,
设直线表达式为，
代入和坐标可得，
解得：，
直线表达式为，
∴直线过点，，
时，与无交点，不合题意，
、、在上，
均不在区域，
当时，，
当在时，若恰好经点过时，点在直线上，
此时内有一个整点，即，
将代入中，
解得：，
中至少有个整点，
．
当在时，若恰好经过点时，
此时内有两个整点，即，，
将代入中，
解得：，即，
中至少有个整点，
,
综上：的取值范围是或，
故答案为：或．
40．（2024·河北·一模）嘉淇做动态电路中滑动变阻器的电学实验，电源电压恒定不变，电流与电阻的关系如图所示．
（1）电源电压为 V；
（2）该滑动变阻器的铭牌上标有“”字样，“”表示滑动变阻器连入电路的最大电阻是，“”表示滑动变阻器允许通过的最大电流是，则该滑动变阻器连入电路的最小电阻是 Ω．
【答案】 3
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是会利用函数图象求函数解析式．
（1）由图象可知：成反比例函数，当时，，代入公式可得电源电压；
（2）得出函数解析式为，令求得的取值范围即可．
【详解】解：（1）由图象可知：成反比例函数，
当时，，
∴，
故答案为：3；
（2）∵限制电流不超过，
，
根据图象解得，
∵最大电阻为的滑动变阻器，
∴电阻在之间．
故最小电阻为：，
故答案为：3；．
41．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线的解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点、，直线、交于点C．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)试问：在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求函数的解析式，函数图象与坐标轴交点坐标，两函数交点坐标，三角形面积公式，是解决问题的关键．
（1）设直线的解析式是，根据过点和，列方程组，解方程组，即得直线的解析式是；
（2）根据求得D的坐标，得到，根据，得到C的坐标，根据即得；
（3）过点P作轴于点E，根据， ，得到，在中，根据得到，即得．
【详解】（1）设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是；
（2）在中，
令，解得：．
则D的坐标是．
∴，
根据题意得：，
解得：，
则C的坐标是，
∴；
（3）存在，理由：
过点P作轴于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
当时，，
∴．
42．（2024·河北石家庄·模拟预测）小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟．如图，是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．
(1)求学校与美术馆之间的距离，并求小红的速度；
(2)①直接写出图中点A的坐标；
②求小红停留再出发后s与t的关系式；
(3)请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．
【答案】(1)1600；800
(2)①点A的坐标为；②；
(3)小明和小红在途中相遇时小明的运动时间是分钟或分钟．
【分析】本题考查一次函数的应用、待定系数法、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会构建一次函数或方程解决问题．
（1）根据小明的速度和所用时间可得学校与美术馆之间的距离，再求得小红的速度；
（2）①根据图形即可直接写出图中点A的坐标；
②利用待定系数法可得解析式；
（3）设分钟时两人相遇，分别根据题意列出方程可得答案．
【详解】（1）解：米，
学校与美术馆的距离是米，
小红的速度是米/分钟，
故答案为：1600；800；
（2）解：①根据图形，图中点A的坐标为；
②把和代入得，
解得：，
所以小红停留再出发后与的关系式为；
（3）解：小红从美术馆回学校的途中，设分钟时两人相遇，
则，
解得，
小红从学校去美术馆的途中，设分钟时两人相遇，
则，
解得，
所以小明和小红在途中相遇时小明的运动时间是分钟或分钟．
43．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，在线段整数点（横、纵坐标都为整数的点）处设置感应灯，当有点落在整点处，或从点发出光线（射线）照射到线段上的整数点时，该处的感应灯会亮．

(1)求线段所在直线的函数解析式；
(2)当点在线段上时，请通过计算说明点是否会使感应灯亮；
(3)若线段上的感应灯被射线分为两部分，并且两部分感应灯的个数相同（不包括边界上的点），直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)会，理由见详解；
(3)
【分析】本题主要考查函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）设线段所在直线的函数解析式为，将，代入即可得到答案；
（2）将代入函数解析式即可得到答案；
（3）先求出线段上的整数点，设为，为，由待定系数法得：，，，进而即可求解．
【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入，
，
解得，
故线段所在直线的函数解析式为；
（2）解：将代入函数解析式，
即，
，
故，是整数，会使感应灯亮；
（3）解：上整数点，
设为，为，
由待定系数法得：，，，
，
解得．
44．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，．
(1)求所在直线的解析式；
(2)将点向左平移m个单位长度得到点D，若直线恰好经过点D，求m，n之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，点的平移．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用平移的性质求得点D的坐标为．再代入，计算即可求解．
【详解】（1）解：设所在直线的解析式为，
把，及，代入，得，
解得，
∴所在直线的解析式为；
（2）解：∵将点向左平移m个单位长度得到点D，
∴点D的坐标为．
∵直线恰好经过点D，
∴把，代入，
得，整理得．
45．（2024·河北邯郸·二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别如图2中的线段，．根据以上信息，回答下列问题：
(1)求线段对应的函数表达式；
(2)先用普通充电器充电后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时，通过计算在图2中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象．
【答案】(1)
(2)函数图象见下
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，画函数图象．
（1）设线段对应的函数表达式为：，则，解出，，即可．
（2）由函数图象可知，快充的速度为：；慢充的速度为：，则，求出，根据题意，画出函数图象，即可．
【详解】（1）设线段对应的函数表达式为：，
∴，
解得：，
∴线段对应的函数表达式为：．
（2）由函数图象可知，快充的速度为：；慢充的速度为：，
∴，
解得：，
∴此时，
∴点，
∵小时电充满，
∴点，
连接，折线即为所求．
46．（2024·河北唐山·二模）如图，某铁道桥桥长米，现有一列火车以固定的速度过桥．小明在距桥头处100米的点固定激光测速仪，激光射线与桥交于点；小聪在点处设置可转动的另一台测速仪，射出的激光线（激光追踪火车头点，当火车头刚好在桥头时，车尾的坐标为，并测得整列火车完全在桥上的时间为14秒．
(1)火车行驶的速度为 米/秒，火车从开始上桥到完全过桥共用 秒；
(2)当车尾刚好经过点时，求射线所在直线的函数表达式，并求射线、射线的交点坐标；
(3)若火车头刚好在桥头时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长．
【答案】(1)50，26
(2)，
(3)18秒
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）由点与的坐标求出火车的长度，分别根据“火车行驶的速度（桥的长度火车的长度）整列火车完全在桥上的时间”和“火车从开始上桥到完全过桥所用的时间（桥的长度火车的长度）火车行驶的速度”计算即可；
（2）根据火车的长度和点的坐标，求出当车尾刚好经过点时，火车头的坐标，利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式；利用待定系数法求出射线所在直线的函数表达式，两函数表达式联立列方程组并求解即可得到交点坐标；
（3）当时，射线与射线无交点，设此时，根据射线所在直线的函数表达式的一次项系数，设出射线所在直线的函数表达式，将点的坐标代入，求出所在直线的函数表达式，再将代入，求出对，再根据“时间路程速度”计算即可．
【详解】（1），，
（米，
火车的长度为300米，
则火车行驶的速度为（米秒），火车从开始上桥到完全过桥共用（秒．
故答案为：50，26．
（2）火车的长度为300米，，
当车尾刚好经过点时，火车头．
设射线所在直线的函数表达式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
射线所在直线的函数表达式为；
设射线所在直线的函数表达式为，且．
将坐标代入，
得，
解得，
射线所在直线的函数表达式为；
当射线、射线相交时，得，
解得，
射线、射线的交点坐标为．
（3）当时，射线与射线无交点，设此时．
设当时，射线所在直线的函数表达式为，
将代入，
得，
解得，
，
将代入，得，
解得，
（秒，
激光射线与射线有交点的时长为18秒．
47．（2024·河北唐山·三模）一天早上，某超市购进了一种青菜共千克，营业前，先按零售价的七折批发出去了千克．超市营业后到晚上七点半之间零售了千克，之后把余下的打六折零售，在晚上九点半闭门前该青菜售罄．设超市零售青菜总重量为千克（忽略损耗），当天总销售额为元，得到与的函数关系如图．
(1)解释点表示的实际意义，并求该青菜每千克的零售价；
(2)求与之间的函数关系式；
(3)若该超市当天购进这种青菜的总成本为元，设该青菜当天的总盈利为元，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)点表示的实际意义为超市营业前批发出去的千克该种青菜的销售额为元，该青菜每千克的零售价为8元
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象所表示的意义是解题的关键，（1）根据题意即可得到点的实际意义，结合图象以及按零售价的七折批发出去了千克，即可求出青菜每千克的零售价；（2）由图象可知，为分段函数，分别求出段的函数即可得到答案；（3）由题可得该种青菜每千克的进价为元．再根据总盈利 等于总销售价减去进价，即可求出与之间的函数关系式．
【详解】（1）解：点表示的实际意义为超市营业前批发出去的千克该种青菜的销售额为元．
设该青菜每千克的零售价为元，
由题可得，解得．
∴该青菜每千克的零售价为8元；
（2）解：∵该青菜每千克零售价为8元，
∴直线的函数关系式为，
设直线的函数关系式为，
∵，，
将代入，得，
∴．
将，代入，
可得，解得，
∴，
综上所述，；
（3）解：∵该超市当天购进这种青菜的总成本为8750元，
∴该种青菜每千克的进价为元．
∴当时，；
当时，．
综上所述，．
48．（2024·河北唐山·一模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
(1)根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值；
(2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】(1)；
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令，求出a的值即可；
（2）算出S的值，即可求出P的值，比较就可得出答案．
【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设，将代入得：
，
，
将代入得：，
；
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，
．
，
这种摆放方式不安全．
49．（2024·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重合，高度为1，平台上的点光源A发射的光线经过屏幕的下端点后照射到y轴平面镜上的点处，屏幕轴，点N的坐标为．
(1)求点光源A的坐标．
(2)①直接写出屏幕的中点的坐标：______．
②若将屏幕向右平移，使得光线经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕的中点处，求需将屏幕向右平移的距离．
(3)将②中平移后得到的屏幕所在位置再向左平移1个单位长度至屏幕，并调整点光源A的发射方向，使得光线经过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点，求此时光线与平面镜的交点的坐标．
【答案】(1)
(2)①，②需将屏幕向右平移的距离为个单位
(3)
【分析】（1）设直线的表达式为，求出解析式，令，求解即可得出结果；
（2）①利用中点公式直接计算即可；②作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像，根据直线经过的中点，代入计算，再根据对称的性质解答即可；
（3）设与关于平面镜对称．由题意可知，此时点的坐标为，则点，设直线的表达式为，求出解析式，将代入求解即可．
【详解】（1）解：设直线的表达式为．
将点和代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
令，则，解得，
∴点．
（2）解：①，，
的中点的坐标为，即；
②如图1，作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像，
由题意知，中点的纵坐标为4，
直线经过的中点，直线的表达式为．
令，则，
解得，
，
∴需将屏幕向右平移的距离为个单位．
（3）解：如图2，设与关于平面镜对称．
由题意可知，此时点的坐标为，则点．
设直线的表达式为．
将点，代入，得，
解得，
∴直线的表达式为．
将代入，得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，对称的性质，平移变换，读懂题意，灵活运用对称的性质是解题的关键．
50．（2024·河北唐山·三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接．
(1)分别求B点、C点坐标；
(2)求k，b的值；
(3)求的面积．
【答案】(1)，；
(2)，
(3)6
【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．
（1）先根据勾股定理得到长，然后由菱形的性质可解题；
（2）点代入反比例函数，求出k；将点代入，求出b；
（3）求出直线与x轴和y轴的交点，即可求的面积；
【详解】（1）过点D作轴，垂足为F，
点A的坐标为，点，
，，，
，
由勾股定理可得，
四边形是菱形，
，
，；
（2）点在反比例函数的图象上，
，
将点代入，解得：；
（3）由（2）得，对于，令，则，
，
令，则，
直线与轴交点为，
．
51．（2024·河北邯郸·二模）【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次．
(1)当时，若点恰好落在直线上，求的值；
(2)无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，，
①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围；
②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质．
（1）根据平移方式，求得点的坐标为，代入求解即可；
（2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，分别经过点、点即可求得的取值范围；
②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次，
根据平移方式，点的坐标为，
由题意得，
解得；
（2）解：①设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次，
∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为，
由题意得，即，
∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
若点、点位于直线的两侧，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是；
②点关于直线的对称点落在轴上，
记直线与轴、轴的交点为，
过点作轴于点，连接，与直线交于点，如图，
根据题意得，，
∴，
∴，
根据轴对称的性质得，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴且，
∴点与点重合，
∴，
∴．
52．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．

(1)求b的值，并在图中画出直线l；
(2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q．
①求点C的坐标；
②连接．若，求m的取值范围；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数．
【答案】(1)4，画图见解析
(2)①；②
(3)1
【分析】（1）把代入，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可；
（2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组，解方程组，即可求出点C的坐标；
②根据点P在直线l上，可得出，结合条件得出，整理得，得出不等式组或，然后解不等式组即可；
（3）分别画出，，的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
画图，如下：
；
（2）解：点B与点重合时，
∴，
∴，
由（1）知：直线l解析式为，
联立方程组，
解得或，
∴点C的坐标为；
②∵点在第一象限内且在直线l上，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
整理得，即
∴或，
∴；
（3）解：当时，
图象如下：

区域W内有7个整点，
当时，
图象如下：

区域W内有5个整点，
当时，
图象如下：

区域W内有4个整点，
∴时，区域W内有5个整点，
∴整数时，区域W内有5个整点．
∴符合条件的整数k只有1个．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键．
53．（2024·河北邯郸·模拟预测）阅读理解：在平面直角坐标系中设计了某种台阶，如图是8个台阶的示意图（各拐角均为），每个台阶宽相等，每个台阶的高也相等．例如第一个台阶面的右端点坐标为（x，y），则的坐标为（，y），第二个台阶面右端点的坐标为（，），以此类……为第八个台阶面．
应用：
(1)求直线的解析式；并判断是否在直线上；
(2)点、、、、、________（填“在”或“不在”）直线上；点、、、、、、、在直线________上（写出直线解析式）；
(3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线可以看成直线：（），若使光线照到所有台阶，求m的取值范围；
(4)蚂蚁（看做点P）从N出发，沿爬到点M，爬行的平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为t秒．当点P（a，b）在第n个台阶面上时，直接用含n、t的式子表示点P的横坐标，并用含n的式子写出t的取值范围．
【答案】(1)，在直线上
(2)在
(3)
(4)，t的取值范围是秒
【分析】本题考查了一元一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解题关键是关键题意得出点的坐标．
（1）设直线的解析式为，将和代入解析式即可求解；
（2）由题可得将点代入函数解析式即可判断，将直线向上平移即可求解；
（3）将和代入即可求解；
（4）由题意可得蚂蚁的爬行路程为：，因为点P在第n个台阶面上，所以蚂蚁爬行路程为：，即可求得点P的横坐标，点P在第1个台阶面上时，，点P在第2个台阶面上时，，点P在第3个台阶面上时，，点P在第8个台阶面上时，，据此即可得出t的取值范围．
【详解】（1）解：∵（x，y），则的坐标为（，y），第二个台阶面右端点的坐标为（，），
∴每个台阶宽、高分别为和，
，，
将和代入解析式得∶，
解得
，
当时，，
在直线上，
（2）由（1）问可得，
当时，，
在直线，
同理可得均在直线上；
由图可知：将直线向上平移一个单位长度可得：，
点在直线，
故答案为：在；；
（3）把代入，
得，
把代入，
得，
，
（4）蚂蚁（看做点P）从N出发，沿爬到点M，平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为t秒，
蚂蚁爬行路程为：，
点在第n个台阶面上，
蚂蚁爬行的水平路程：，
，
点P在第1个台阶面上时，，
点P在第2个台阶面上时，，
点P在第3个台阶面上时，，
点P在第8个台阶面上时，，
t的取值范围是秒．
54．（2024·河北唐山·模拟预测）如图是8个台阶的示意图（各拐角均为），每个台阶宽、高分别为2和1．为第一个台阶面，为第二个台阶面，以此类推，…，为第八个台阶面．
(1)求直线的解析式；并判断是否在直线上；
(2)点__________（填“”或“不在”）直线上；点在直线__________上；
(3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线可以看成直线：若使光线照到所有台阶，求m的取值范围；
(4)蚂蚁（看作点P）从N出发，沿爬到点M，爬行的平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为t秒．当点在第n个台阶面上时，直接用含的式子表示点P的横坐标，并用含n的式子写出t的取值范围．
【答案】(1)，在直线上
(2)在
(3)
(4)，t的取值范围是秒
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解题关键是关键题意得出点的坐标．
（1）设直线的解析式为，将和代入解析式即可求解；
（2）由题可得将点代入函数解析式即可判断，将直线向上平移即可求解；
（3）将和代入即可求解；
（4）由题意可得蚂蚁的爬行路程为：，因为点P在第n个台阶面上，所以蚂蚁爬行路程为：，即可求得点P的横坐标，点P在第1个台阶面上时，，点P在第2个台阶面上时，，点P在第3个台阶面上时，，点P在第8个台阶面上时，，据此即可得出t的取值范围．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
每个台阶宽、高分别为2和1，
，，
将和代入解析式得∶，
解得
，
当时，，
在直线上．
（2）由（1）问可得，
当时，，
在直线，
同理可得均在直线上；
由图可知：将直线向上平移一个单位长度可得：，
点在直线，
故答案为：在；；
（3）把代入，
得，
把代入，
得，
，
（4）蚂蚁（看作点P）从N出发，沿爬到点M，平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为t秒，
蚂蚁爬行路程为：，
点在第n个台阶面上，
蚂蚁爬行的水平路程：，
，
点P在第1个台阶面上时，，
点P在第2个台阶面上时，，
点P在第3个台阶面上时，，
点P在第8个台阶面上时，，
t的取值范围是秒．－1
0
－2
1
销售量x（件）
100
110
120
130
…
月工资总额w（元）
…
方法一：
建立w与x的函数关系式：
由，求得x的范围．
方法二：
月工资因计件提成不同而不同，
由，求得x的范围．
桌面所受压强
200
400
500
800
1000
受力面积