人教版（2024）八年级下册17.1 勾股定理巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级下册17.1 勾股定理巩固练习，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）

A．B．3C．D．5
2．如图， 点的坐标为，点的坐标为，有一点在轴上移动， 则点到、两点的距离之和的最小值为

A．B．4C．3D．
3．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．8，15，17C．6，8，10D．5，12，13
4．在中，的对边分别为a，b，c且，则下列说法正确的是（ ）
A．是直角B．是直角C．是直角D．无法确定谁是直角
5．已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（ ）
A．8B．10C．15D．17
7．在平面直角坐标系中，点坐标为，动点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．5，12，13C．4，5，6D．6，8，11
9．如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，若正方形的面积分别为1，2，则正方形的面积是（ ）

A．B．C．5D．3
10．已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )
A．3，4，5B．5，12，13C．，，D．4，5，6
12．如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论：
① ② ③
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②③C．②D．①②③
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点；把两个端点均为整点且长度为整数的线段称为整点线段．如图，梯形的四个顶点均为整点，点，直线过定点，作点关于直线的对称点，点为梯形内一点（包含边界），连接，当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有 个．
14．一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为 ．
15．如图，正方形的一个顶点为A，有两个顶点对应于数轴上表示1和2的两点，以原点O为圆心，以为半径顺时针画弧，交数轴于点B，则点B对应的数是 ．
16．三角形的三边分别为a、b、c,且（a-b）2+（a2+b2-c2）2=0,则三角形的形状为————————————————．
17．如图，在中，，平分交于点，且，，则点到的距离为 ．
三、解答题
18．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作关于轴对称的△；
(2)将△向下平移2个单位后得到△，求点的坐标；
(3)计算的长．
19．如图，在中，，，．
(1)作图：在边上找一点E，使得点E到A、B两点的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，求的长．
20．随着去年冬天哈尔滨的冰雪旅游火爆出圈后，全国各地旅游局都开始更加重视当地的旅游建设．鸡西市文旅局发现一条笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（在一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从旅游地到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线的长．
21．已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．
(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由：
(2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：）
22．如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号）
23．如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，，，且a、b满足有意义．
(1)若，求AB的长；
(2)如图1，点C与点A关于y轴对称，点P在x轴上（点P在点A左边），以PB为直角边在PB的上方作等腰直角△PDB，试猜想AD与PC的关系并证明；
(3)如图2，点M为AB中点，点E为射线OA上一点，点F为射线BO上一点，且，设，，请求出EF的长度（用含m、n的代数式表示）．
24．如图，已知AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，E为AC上一点，连AD、BE交于点F，且∠CBE＝∠CAD．
（1）求证：△BFD≌△ACD．
（2）若BD＝5，CD＝2，AE＝，则EF等于多少？
参考答案：
1．A
【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
故选：A．

【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
2．A
【分析】作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，则线段A′B的长即为点C到A、B两点的距离之和的最小值．
【详解】作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，

∵A（-1，2），
∴A′（-1，-2），
∵B（2，1），
∴A′B=．
故选：A．
【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，会利用勾股定理计算出线段是解题的关键．
3．A
【分析】根据勾股数的定义，即满足且都是正整数的一组数，判断即可；
【详解】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数，符合题意；
B、82+152＝172，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股数的判定，准确判断是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可得，依此即可求解．
【详解】解：在中，的对边分别为a，b，c且，
则，
是直角三角形，．
故选：A．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设，则∠，
∵，
∴，解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，设，则，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
6．D
【分析】设直角三角形的斜边长为x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【详解】设直角三角形的斜边长为x，
由勾股定理得，x2＝82+（32﹣x）2，
解得，x＝17，
故选D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
7．A
【分析】根据题意知，则AB+OB的最小值可以看作点（m，m）与（2，0）、（0，1）两点距离和的最小值，求出（2，0）、（0，1）两点距离即可.
【详解】解：由题知点坐标为，动点的坐标为，
∴，
∴AB+OB的最小值可以看作点（m，m）与（2，0）、（0，1）两点距离和的最小值，
则最小值为（2，0）、（0，1）两点距离，
∴的最小值是，
故选A.
【点睛】本题是对坐标系中最短距离的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.
8．B
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可，熟记常见的勾股数，可以快速解题．
【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、，能组成直角三角形，符合题意；
C、，不能组成直角三角形，不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，不符合题意；
故选B．
9．D
【分析】由正方形的面积得，，再由勾股定理得，即可得出结论．
【详解】解：如图，

正方形，的面积分别为1，2，
，，
，
，
正方形的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理以及正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度，求出中最大的内角的度数即可判断A、B；若三角形中，两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断C、D．
【详解】解：A、∵，，
∴最大角，
∴不是直角三角形，不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴
∴不是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不妨设，
∵，
∴不是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴是直角三角形，符合题意；
故选：D．
11．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A. ∵32+42=52，∴3，4，5能作为直角三角形三边长度，不符合题意，
B. ∵52+122=132，∴5，12，13能作为直角三角形三边长度，不符合题意，
C. ∵（）2+（）2=（）2，∴，，能作为直角三角形三边长度，不符合题意，
D. ∵42+52≠62，∴4，5，6不能作为直角三角形三边长度，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
12．B
【分析】连接，当平分，即时，即证明，可得出，当不平分，若时，，若时，，可判定①错误；根据，又由，可得，可判定②正确；证明，得出，又根据，则可得出，可判定③正确．
【详解】解：连接，

当平分，即时，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴即；
若时，，即，
若时，，即，
故①错误；
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
故正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
13．5
【分析】本题轴对称图形以及勾股定理，图形与坐标，勾股定理：先由“直线过定点，作点关于直线的对称点”，得对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上，结合整点线段的概念，可知满足题意的对称点有三个，根据“是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界）”，得分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上，即为满足条件的点，据此作答即可．
【详解】解：∵点，直线过定点，
∴，
依题意，如图：对称点的轨迹为圆心M以为半径的圆上，
因为恰好落在梯形上，
所以满足题意的对称点有三个，分别为图中的点，，；
∵是长度为5的整点线段，且点为梯形内一点（包含边界），
∴分别以点，，为圆心，以5为半径画圆，与梯形相交于在整点上，
即为图中点，，，，；
所以当恰好落在梯形上，且是长度为5的整点线段，则这样的点共有5个；
故答案为：5
14．4或
【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；
②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，
故答案是：4或．
15．
【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，
再由作图方法可知，
∴点B对应的数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
16．等腰直角三角形
【详解】∵（a-b）2+（a2+b2-c2）2=0，
∴a-b=0，a2+b2-c2=0，
∴a=b，a2+b2= c2，
∴△ABC为等腰直角三角形.
故答案为等腰直角三角形.
17．3
【分析】过点作于，在中，由勾股定理求得AD，根据角平分线的性质即可得到答案．
【详解】过点作于，
在中，，，
则，
平分，，，
，
即点到的距离为3，
故答案为：3
【点睛】此题考查了角平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)图见解析，点的坐标为
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作关于轴对称的△；
（2）根据平移的性质即可将△向下平移2个单位后得到△，进而可得点的坐标；
（3）根据勾股定理即可计算的长．
【详解】（1）解：如图，△即为所求；
；
（2）解：如图，△即为所求；点的坐标为；
（3）解：．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、平移变换、勾股定理，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质．
（1）根据线段垂直平分线的作图法作图即可；
（2）先利用勾股定理求出的长，连接，设，则，在中，利用勾股定理列出方程，求出：即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵在中，，，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
∴．
20．(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线，理由见解析
(2)千米
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用．
（1）由千米，千米，千米，用勾股定理的逆定理可得即可；
（2）设千米，则 千米，用勾股定理得即可解出．
【详解】（1）解：是从旅游地到河的最近的路线，
理由为：
在中，，，
∴是直角三角形且
所以是从旅游地到河的最近的路线；
（2）解：设千米，则 千米
在中，已知千米
由勾股定理得：
解这个方程，得．
答：原来的路线的长为千米．
21．(1)两支架与为垂直的位置关系，理由见解析
(2)购物车把手到的距离为．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质；
（1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解；
（2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解．
【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下：
在中．
∵，，，且，
∴
∴，
答：两支架与为垂直的位置关系；
（2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h，
∴
∵，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：购物车把手到的距离为．
22．
【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点A作于点D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，．
23．(1)
(2)AD=PC，证明见解析；
(3)
【分析】（1） 根据二次根式的非负性可求得，再结合勾股定理可求得AB的值；
（2）连接BC，只需要证明△PBC≌△DBA，即可证明AD=PC；
（3）分情况讨论，当时，过点M作MN⊥x轴，作MG⊥y轴，可证明△MEN≌△MFG，从而可得ME=MF，EN=GF，可借助m、n的代数式EN和MN，从而表示ME，继而可得EF，画图可知，其它两种情况同理可得．
【详解】（1）解：∵a、b满足有意义，
∴且，
∴，即，，
．
（2）解：AD=PC，证明如下：
连接BC，由（1）可得OA=OB=OC，
∵两个坐标轴垂直，
∴∠OAB=∠ABO=∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
又∵△PDB为等腰直角三角形，
∴BP=BD，∠DBP=90°，
∴∠ABD=∠DBP+∠ABP=∠ABC+∠ABP=∠BPC，
在△PBC和△DBA中

∴△PBC≌△DBA（SAS）
∴AD=PC．
（3）当时， 过点M作MN⊥x轴，作MG⊥y轴，
∴∠ANM=∠MGB=90°，
由（2）可知∠OAB=∠ABO=45°，
∴∠AMN=∠BMG=90°，
∴AN=MN,MG=BG，∠NMG=90°，
∵M为AB的中点
∴AM=BM，
∴△ANM≌△MGB（SSS），
∴AN=MN=MG=BG，
∵∠EMF=90°，
∴∠EMN=90°-∠NMF=∠GMF，
在△MEN和△MFG中
∵
∴△MEN≌△MFG（SAS），
∴EM=MF，EN=GF，
∵，，
∴,
∴， ，
在Rt△EMN中，根据勾股定理，
在Rt△EMF中，根据勾股定理，
当或时同理可证．
故．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的非负性等．（1）中能根据二次根式的非负性得出a=b=c是解题关键；（2）中正确构造辅助线，作出全等三角形是解题关键；（3）能借助全等三角形和线段的和差正确表示线段的长度是解题关键．
24．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，可得BD＝AD，所以△ABD是等腰直角三角形，可得Rt△BDF≌Rt△ADC；
（2）结合（1）根据BD＝5，CD＝2，AE＝，利用勾股定理即可得EF的长．
【详解】解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
在△BFD和△ACD中，
∴△BFD≌△ACD（AAS）；
（2）∵△BFD≌△ACD，
∴DF＝CD＝2，∠DBF＝∠DAC，
∴∠DBF+∠BFD＝∠DAC+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∵BD＝AD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3，
在Rt△AEF中，AF＝3，AE＝，根据勾股定理，得
EF＝＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练掌握全等的判定是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
A
C
D
A
B
D
D
题号
11
12








答案
D
B