初中17.1 勾股定理课时作业

这是一份初中17.1 勾股定理课时作业，共8页。试卷主要包含了1勾股定理，5米，宽1等内容，欢迎下载使用。
17.1勾股定理
关键词
联想
1、勾股定理
直角三角形（由形到数）
勾股定理三种常见用法：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在中，，则，，
②已知直角三角形一边长和另外两边的数量关系，求另外两边的长；
③已知直角三角形一边长和一个特殊锐角，求另外两边的长.
2、勾股定理的证明
常见的是拼图的方法
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
3、在数轴上作线段
（1）利用勾股定理，可作出斜边为的线段；
（2）终点=起点±长度（右加左减）
4、网格问题
关键是确定每一条边所在的直角三角形
5、面积问题
（1）规则图形，利用面积公式。已知任意三角形的三边，可求面积；
（2）不规则图形，利用割补法。
6、双勾股
当两个直角三角形出现公共边时，常考虑使用双勾股.
共边→双勾股→构建方程
作高→双勾股→构建方程
7、折叠问题
折叠问题中的解题技巧：
折叠出全等，可推边等角等；
折痕常作为“角平分线”使用；
折叠后形成的新直角三角形的三边关系是利用勾股定理求解的关键.
8、最短距离
（1）立体图形→平面图形；
（2）两点之间，线段最短；
（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出两点之间线段的长度.
9、平方式的证明
（1）寻找或构造直角三角形；
（2）若结论中的线段不在同一个直角三角形中，则考虑等线段转化；
（3）两个直角三角形的公共边往往是中联结论的“桥梁”.
10、勾股定理的应用题
（1）根据题意，画出图形；
（2）条件上图，理清关系；
（3）找到图形，应用勾股.
例1
在中，，，，．
（1）已知，，求．
（2）已知，，求、．
例2
在中，，．
（1）如果，求、．
（2）如果，求、．
例3
如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是 ．
例4
如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．若，则图中阴影部分的面积为 ．
例5
如图，中，，，．
求（1）的面积；
（2）斜边上的高．
例6
如图，矩形中，，，在数轴上，且点表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为 ．
例7
如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1．
（1）求证：为直角三角形；
（2）求点到的距离．
例8
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）使三角形的三边长分别为3，，（在图甲中画一个即可）；
（2）使三角形为直角三角形，且面积为4，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）．
例9
如图，在中，，，，求．
例10
如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积．
例11
已知：如图，，，，．求：四边形的面积．
例12
如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求的长．
例13
如图，长方形中，，，
将长方形沿折叠，点落在处．
（1）求证：；
（2）求的面积是多少？
例14
如图．在正方形纸片中，是的中点．将正方形纸片折叠．点落在线段上的点处，折痕为．若，求的长．
例15
如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是
B．
C．D．
例16
如图，一个圆柱，底圆周长，高，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从点爬到点，则最少要爬行 ．
例17
如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是 ．
例18
如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点出发经过台阶爬到点的最短路线有多长？
例19
如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到，则这根棉线的长度最短为
A． B．C． D．
例20
如图，长方体的长、宽、高分别是，，，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，求蚂蚁爬行的最短路径长．
例21
如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．
例22
如图，在中，，是中线，，垂足为点，
求证：．
例23
如图，，，于点，
求证：．
例24
如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，
求证：．
例25
某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在段楼梯所铺地毯的长度应为 米．
例26
为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点和点处，于，于．已知，，，试问：图书室应该建在距点多少处，才能使它到两所学校的距离相等？
例27
如图，一棵大树两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所示，李明想用所学知识测量大树的高度，他从工作人员处了解到绳子的长为13米，的长为20米，然后用米尺测得、之间的距离为21米，已知、、在一条直线上，，求大树的高．
例28
如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为，，且，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．试在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少．
例29
如图所示，公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，，点到公路的距离为．假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？
例30
如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）说明点是否在暗礁区域内；
（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由．
例31
在一次海上救援中，两艘专业救助船，同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；
（2）若救助船，分别以40海里小时、30海里小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
例32
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状为如图所示的某工厂，厂门上部为半圆形，下部为长方形，已知长方形的宽为2米，高为2.3米，半圆形的直径与门的宽相等．问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
例33
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ．
例34
如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒1个单位长度．
（1） ， （用表示）；
（2）求当为何值时，是直角三角形？说明理由；
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
17.2勾股定理的逆定理
关键词
联想
11、互逆命题互逆定理
1、原命题与逆命题的题设和结论刚好相反；
2、每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理.
12、勾股定理的逆定理
直角三角形（由数到形）
13、勾股数
正整数，满足
例35
下列四个命题：（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们的逆命题不成立的
有 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
例36
已知，，为三边，且满足，则它的形状为
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
例37
在中，，，分别是，，的对边，下列说法中正确的有 （填序号）．
①若，则是直角三角形；
②若，则是直角三角形；
③若，则是直角三角形；
④若，则是直角三角形．
例38
如图，在钝角中，已知为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数为 ．
例39
已知，，满足条件，且的三边长分别是，，，试判断的形状．
例40
如图，在中，、分别为边、的中线，分别交、于点、．
（1）若，，，求证：；
（2）若，，，求的长．
例41
如图，在等腰直角的斜边上取异于，的两点，，使，求证：以，，为边的三角形是直角三角形．
例42
能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数，，，．
（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；
（2）写出当时，，的值．
3，4，5

5，12，13，

7，24，25

9，40，41

17，，

例43
甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若，两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 ．
例44
如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线的长．