第一章直角三角形的边角关系同步练习 北师大版数学九年级下册

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第一章直角三角形的边角关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（     ）A． B． C． D．2．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝12m，则坡面AB的长度是（　　）A．15m B．m C．24m D．m3．若为锐角，且，则等于（   ）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，，，将线段平移得到线段，点，点的对应点分别是点，点．若分别连接，得到四边形为菱形，且与轴夹角为，则点的坐标是（　　）A． B．或C． D．或5．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为（　　）A． B． C． D．h﹣sinα6．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（　　）A． B． C． D．7．如图，在矩形铁片上，截下一个正六边形，其中点、在边上，点在矩形的内部，点、在边上，点在边上，若，则的长可以是（    ）A． B． C． D．8．如图，在ΔABC中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（  ）A． B． C． D．9．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为A．9米 B．6米 C．6米 D．（6+）米10．在中，，，，则的长为（　　）A． B． C． D．11．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（　　）A．50米 B．100米 C．50（+1）米 D．50（﹣1）米12．如图，小华站在水库的堤坝上的点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船的俯角，若小华的眼睛与底面的距离米，米．平行于所在的直线，迎水坡的坡度：，坡长为米，点、、、、、在同一平面内，则此时小船到岸边的距离的长为（   ）米，结果精确到米A． B． C． D．二、填空题13．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为 ．14．如图，四边形是菱形，对角线，，于点，交于点，则 ．15．如图所示的正方形网格中有，则的值为 ．16．如图，正方形中，，点为的中点，以为边在正方形内部作等边三角形，过点作，交于点，则的长为 ．  17．已知，如图，等腰∆ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一点，且AD＝6，E为AC边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形DEF．（1）当F在AC边上时，AF长为 ；（2）连结BF，则BF的取值范围为 ．三、解答题18．计算：19．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．  (1)在方格纸中画出以为边的且，点在小正方形的顶点上，(2)在方格纸中画出以为一边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为．(3)直接写出线段的长．20．一天晚辅导结束后，小星和小明从教学楼回宿舍，途径校园内的路灯下时，小星发现此时自己的影子正好在脚下 A 处，小星又向前走了5步到B 处，发现自己的影子落在路灯杆标识为高的C 处，此时小明马上从书包文具盒里拿出量角器，测得光线与路灯杆形成的角度 ，小星又继续向前走了2步，到达路灯杆底部 D 处，已知小星的身高为.(1)求小星一步大约多少厘米；(2)求路灯与地面的距离.(结果精确到.参考数据： 21．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（精确到0.1cm参考数据：，，，，，）  (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？(2)身高的小若，头部高度为，踞起脚尖可以增高，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角，俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．22．滕王阁(如图1)，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，它与湖南岳阳楼并称为“江南三大名楼”，某数学小组为了测量滕王阁的面的C处设立观测点，如图2，测得楼顶A的仰角为，再沿坡比为的斜坡前行到达平台E处，此时测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，）(1)求平台与地面的高度；(2)滕王阁的高度．（结果精确到）23．如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点．(1)求证：；(2)若，，求的值．24．如图，将沿对折，得到，连接交于点O，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长及四边形的面积．《第一章直角三角形的边角关系》参考答案1．D【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据正弦的定义进行解答即可．【详解】解：，，故选：D．2．C【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：Rt△ABC中，BC＝12cm，tanA＝1：；∴AC＝BC÷tanA＝12cm，∴AB＝＝24cm．故选：C．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．3．B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．由特殊角的三角函数值，即可得的值．【详解】解：∵为锐角，且，∴，∴由特殊角的三角函数值可知，，故选：B．4．B【分析】本题考查解直角三角形，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．先通过计算得到，然后分点C在第一象限和点C落在y轴上两种情况，利用对称性解题即可．【详解】解：∵是菱形，∴，互相垂直平分，∵，，∴，，∴，∴，∴，如图，当点C在第一象限时，连接，则是等边三角形，∴∴，∴点D的坐标为；当点C落在y轴上时，点D落在x轴上，如图，则点D与点B关于y轴对称，∴点D的坐标为；故选B．5．A【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵，∴故选A．【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键．6．B【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】如图：作AB⊥x轴于点B，∵点A坐标为（3，1），∴OB=3，AB=1，在RtABO中，根据勾股定理AO=,∴sinα=，故选B．【点睛】此题考查锐角三角函数，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．D【分析】本题主要考查正多边形，连接分别相交于点，由正六边形的性质求出得证明，得，解直角三角形求出，同理可得，得到，故可得结论【详解】解：∵六边形是正六边形，∴∴∵四边形是矩形，∴，∴，∴，如图，连接分别相交于点，则四边形与四边形是矩形，∴，∵∴，∴同理可得，，∴∵点在矩形的内部，∴故选：D8．C【分析】设AC=x，根据三角函数可得，BC=，AB=2x，求出DC即可．【详解】解：设AC=x，∵，，tan∠ABC=,,BC=，sin∠ABC=,,AB=2x，BD=2x，DC=2x+=，tan∠DAC=，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数和求三角函数值，解题关键是根据三角函数的定义，利用特殊角，表示出相关线段长．9．A【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ACDE为矩形，AE=CD=6米，AC=DE．设BE=x米，先解Rt△BDE，得出DE=x米，AC=x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然后根据AB-BE=AE，列出关于x的方程，解方程即可．【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，则AE=CD=6米，AC=DE．设BE=x米．在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=30°，∴DE=BE=x米，∴AC=DE=x米．在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，∴AB=AC=×x=3x米，∵AB-BE=AE，∴3x-x=6，∴x=3，AB=3×3=9（米）．即旗杆AB的高度为9米．故选A．10．B【分析】根据直角三角形的边角关系可得结论．【详解】解：在中，∵，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，选择合适的边角关系是得出正确答案的关键．11．C【详解】在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°， ， ．设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100． ， ，即塔AB的高为．故选C．　12．D【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．根据可求AC长度．【详解】解：过点作于点，延长交于点，得和矩形．，米，设BE=4x，AE=3x，由勾股定理可得：，解得：，米，米．米，米，米，米．在中，，米，，米．又，即，米．故选：D．【点睛】本题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．13．米【分析】根据题意，作构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计算出CD的长度．【详解】作于点E，如图所示，则四边形是矩形，由已知可得：，，米，，米，，米，米米解得米米故答案为：米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际问题，涉及到仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是理清题目条件，构造适当辅助线，灵活运用相关知识．14．【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，先由菱形的性质得到，然后证明，解得到，解得到，解得到，则，设，由勾股定理得，则，即可得到．【详解】解：如图所示，设交于O，∵四边形是菱形，对角线，，∴，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴在中，，在中，，∴，∴，设，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故答案为：．15．1【分析】利用网格特点，构建Rt△ACB，然后利用正切的定义求解．【详解】解：如图，在中，．故答案为：1．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．16．【分析】过点F作于H，于K，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，，证明四边形是矩形，可求出，，然后解直角三角形可求出，最后由线段的和差即可求解．【详解】解：过点F作于H，于K，  ，∵正方形中，，点为的中点，∴，，，∵是等边三角形，，∴，，，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，，，又，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、解直角三角形等知识；本题综合性较强，难度适中，添加合适辅助线，解直角三角形是解题的关键．17． 【分析】（1）当F在AC边上时，由直角三角形的性质可得AF的长度．（2）连接BF之后，根据题意与手拉手模型作出图形讨论出BF在什么时候最短，什么时候最长即可得出BF的范围，详见解析．【详解】解：（1）如图所示： 当F在AC边上时，,EFD是等边三角形， 在RtADF中， （2）如图所示：在AB上方作等边ADG，作射线GF．与均为等边三角形AD=GD，ED=FD， 即点F在射线GF上运动．当E与A重合时，F与G重合时，此时BF最长．连接BG，作GHAO于H，则 又 当BFGF时，BF最短，如图所示： 又 而 综上所述：BF的范围是【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形，重点考查了手拉手模型这一知识点，是历年来中考常考的一种几何压轴题型之一．18．【分析】直接利用负整数指数幂和零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂与零次幂的含义，特殊角的三角函数值，正确化简各数是解本题的关键．19．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）利用直角三角形和三角函数关系的出答案；（2）利用三角形的面积求法结合网格得出答案；（3）利用勾股定理解题即可．【详解】（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；  （3）解：，【点睛】本题考查应用设计与作图，正确应用网格得出符合题意的图形是解题的关键．20．(1)(2)【分析】本题考查解直角三角形的应用，（1）过点C作于点G，由题意得，，，根据矩形的判定和性质可得，，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解；（2）由（1）可得，，，过点C作于点M，则四边形是矩形，可得，，，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解．【详解】（1）解：过点C作于点G，由题意得，，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，，在中，，∴，∴，答：小星一步大约；（2）解：由（1）可得，，，过点C作于点M，则四边形是矩形，∴，，，∴，在中，，∴，∴．21．(1)(2)能，见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，  在中，．．，．．，，小杜下蹲的最小距离．（2）解：能，理由如下：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，  在中，．，，．，．小若垫起脚尖后头顶的高度为．小若头顶超出点N的高度．小若垫起脚尖后能被识别．22．(1)(2)滕王阁的高度约为【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）由题意可知，过点作，根据斜坡坡比为，解直角三角形即可；（2）由题意可知，，，则，由（1）可知，，四边形为矩形，设，则，，在中，，解之即可求解．【详解】（1）解：由题意可知，过点作，∵斜坡坡比为，则设，，∴，解得：，∴，，即：平台与地面的高度为；（2）由题意可知，，，则，由（1）可知，，四边形为矩形，则，，设，则，，在中，，可得：，故滕王阁的高度约为．23．(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．（1）先得出，再得出，最后根据相似三角形的判定得出结论；（2）连接，根据勾股定理得出和的值，最后根据三角形的面积公式得出结果．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，，即，，是直角三角形，在中，点是斜边的中点，，，，，，，；（2）如图，连接，四边形是矩形，，，和是直角三角形，在中，，，，，，由结论可知，，，，，，，，是直角三角形，，在中，，点是斜边的中点，，在中，，，，，的值为．24．(1)见解析(2)【分析】本题考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，三角形中位线定理等知识，灵活掌握相关知识是解题关键．（1）由折叠的性质可知，，，再由平行线分线段成比例定理，即可证明结论；（2）根据折叠的性质和锐角三角函数，求得，再结合三角形中位线的性质，得出，即，再求出，即可得出四边形的面积．【详解】（1）证明：如图，连接交于点G．∵将沿对折，得到，∴于点G，，，，∴；（2）解：由（1）得，，，，，，，，∴．由（1）得，是的中位线，∴，∴，∵，∴，∴．题号12345678910答案DCBBABDCAB题号1112        答案CD