高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时当堂达标检测题

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地 位：
本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
学习目标：
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，培养数学抽象的核心素养；
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养数学运算的核心素养；
3.借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
学习重难点：
1.重点：掌握余弦定理及其推论。
2.难点：掌握余弦定理的综合应用。
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
勾股定理：
三角形的形状：
预习——
余弦定理：
推论：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝eq \r(3) km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.
【问题1】 我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？
【问题2】 你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？
2.探索交流，解决问题
【探究1】已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？
【探究2】在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量eq \(AB,\s\up6(→))如何用已知边所对应的向量表示？如何求出|eq \(AB,\s\up6(→))|？
（二）余弦定理
1.余弦定理：
文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边 减去这两边与它们 的余弦的积的两倍.
符号语言：a2＝ ，b2＝ ，c2＝
【探究3】在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？
【提示】可将余弦定理中的三个公式变形为cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)。
推论：cs A＝ ，cs B＝ ，cs C＝ .
2.解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
【做一做】1.在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A.c2＝a2＋b2－2abcs C B.c2＝a2－b2－2bccs A
C.b2＝a2－c2－2bccs A D.cs C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab)
2.在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则c＝________.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，则B＝________.

（五）典型例题
1.已知两边及一角解三角形
【例1】 在△ABC中，a＝3eq \r(3)，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
【类题通法】已知两边及一角解三角形的方法
利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.
【巩固练习1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cs C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.
2.已知三边解三角形
【例2】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角.
【类题通法】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.
【巩固练习2】(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝eq \r(19)，则最大角与最小角的和为( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于( )
A．90° B．60° C．120° D．150°
3.判断三角形形状
【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2eq \r(3)，试判断△ABC的形状.
【类题通法】判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
在余弦定理中注意整体思想的运用，如b2＋c2－a2＝2bccs A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等。
【巩固练习3】若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
（四）操作演练 素养提升
1.(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)，则b＝( )
A.2 B.3 C.4 D.2eq \r(2)
2.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq \f(3,5)，则三角形的另一边长是________.
3.在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角的大小为________.
4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________.
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？


学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第44页 练习 第1，2，3题
第52 页 习题6.4 第6,15题