湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期月考（四）数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A. 66B. 72C. 132D. 198
5. 如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. 10D.
8. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A 点第一次到达最高点需要20秒
B 当水轮转动155秒时，点距离水面1米
C. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（ ）
A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C. 若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D. 若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
11. 已知抛物线准线，直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则以为直径的圆与相交
B. 若，则为坐标原点
C. 过点分别作抛物线的切线，，若，交于点A，则
D. 若，则点到直线的距离大于等于
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙两人击中无人机的概率分别为、，且甲、乙射击互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为__________.
13. 已知，为椭圆的左右焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则椭圆的离心率为__________.
14. 欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
（1）若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
（2）若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，
学习竹编次数
0
1
2
3
4
5
6
合计
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合计
6
9
12
14
15
14
10
80
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
16. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
（1）若N是棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
（2）若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
17. 已知在钝角中，角所对的边长分别为，，且为正整数.
（1）求边长；
（2）已知，求.
18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为4，左顶点为，过右焦点的动直线交双曲线于两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线的左支交于点，右支交于点，求的取值范围.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：在区间内有唯一的零点，且.