湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（四）数学试题（Word版附解析）

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本试卷共8页.时量120分钟.满分150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列是等差数列，若，“”，“”，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（ ）
A 1B. C. 2D. 4
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A 4B. C. 3D.
6. 在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 记表示中的最大数，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
10. 已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（ ）
A. B. 与实部之和为
C. 为纯虚数D.
11. 已知函数的定义域为，且是奇函数，函数，且在上单调递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. 在上单调递减
C. 若，则D. 若，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.则______.
13. 第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼-20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机歼-35A”模型的概率为______.
14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是_________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在数列中，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列前项和为，若恒成立，求的取值范围.
16. 如图，在四棱锥中，， ，
，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）点Q在棱上，与平面所成角正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积的最大值为，过点做斜率之和为3的两条直线和与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，线段的中点分别为.
（1）求的标准方程；
（2）直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.
18. 已知函数.
（1）求的导函数的极值；
（2）不等式对任意恒成立，求k的取值范围；
（3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围.
19. 集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合.
（1）已知集合，求的值；
（2）已知集合，若，求的值；
（3）已知，记集合或.
（ⅰ）当时，证明：的充要条件是；
（ⅱ）若，求的所有可能取值.