九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份九年级上学期期末数学试题（解析版），共21页。
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A B.
C. D.
2. 一个口袋中装有大小和形状都相同的一个红球和一个黄球，那么“从中任意摸出一个球，得到黄球”这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 无法确定
3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
6. 一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
7. 若正六边形边长为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 中心角是B. 半径为C. 边心距为D. 面积为
8. 如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为8，若，则的长为（ ）

A. 2B. C. D. 4
二．填空题．（每题3分，共24分）
9. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）．
10. 已知一扇形的圆心角为，半径为，则由该扇形所围成的圆锥的侧面积为______．
11. 抛物线顶点坐标为______．
12. 以下说法中：①直径是圆中最长弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是______（填序号）．
13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为______________________________．
14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
15. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．

16. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为_________．
三．解答题．（本大题8个小题，共60分）
17. 解方程：
18. 如图，四边形内接于，为的直径，，求的度数．

19. 如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．

（1）直接写出圆心的坐标： ；
（2）求的半径．
20. 箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶过期的，现从这4瓶牛奶中不放回的任意抽取2瓶，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到有1瓶牛奶过期的概率．
21. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点E、D，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22. 某商店销售一款工艺品，每件成本为元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每月的销售量是件，而销售单价每降价元，每月可多销售件．设这种工艺品每件降价元．
（1）每件工艺品的实际利润为 元（用含有的式子表示）；
（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为元，且要求降价不超过元，那么每件工艺品应降价多少元？
23. 如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点．其中，．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点在第四象限的此二次函数图象上，且，求点的坐标．
24. 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，的长为 ．
第一学期期末义教阶段学业水平测试
九年级数学
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题2分，共16分）
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形）的概念，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称和中心对称图形的性质，从而完成求解．
2. 一个口袋中装有大小和形状都相同的一个红球和一个黄球，那么“从中任意摸出一个球，得到黄球”这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案．
【详解】解：∵一个口袋中装有大小和形状都相同的一个红球和一个黄球，
∴“从中任意摸出一个球，得到黄球”是随机事件，
故选B．
3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像的平移变换，“左加右减，上加下减”即可求解，本题考查了图像的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，可得：，
故答案为：．
4. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5，
∴0≤d＜5，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系有3种：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
5. 四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，从中随机抽取一张卡片，﹣10的个数是1，再根据概率公式直接求解即可求得概率．
【详解】解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
6. 一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，
∴△=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．
7. 若正六边形的边长为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 中心角是B. 半径为C. 边心距为D. 面积为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是解题的关键．根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系分别计算出，，以及正六边形的面积即可．
【详解】解：连接、，过点作，垂足为，
中心角，因此选项A不符合题意；
，，
是正三角形，
，，
因此半径，选项B符合题意；
在中，，，
，即边心距为，因此选项C不符合题意；
，
因此选项D不符合题意；
故选：B．
8. 如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为8，若，则的长为（ ）

A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
先根据圆周角定理得到，则可判断为等边三角形，再根据三角形的中位线定理即可得出结论．
详解】解：如图，连接，

则
，
，
是等边三角形，
的半径为8，
，
∵点D、G分别是的中点，
.
故选：D．
二．填空题．（每题3分，共24分）
9. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为．
【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为，
故答案为：．
10. 已知一扇形的圆心角为，半径为，则由该扇形所围成的圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，根据题意，则扇形围成圆锥，则圆锥的侧面积即为扇形的面积，根据扇形的面积公式为：，即可．
【详解】∵圆心角，半径的扇形围成圆锥，
∴圆锥的侧面积即为扇形的面积，
∴．
故答案为：．
11. 抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数顶点式 的图象，根据二次函数 的顶点坐标是 ， 即可求出．
【详解】解：，
顶点坐标为，
故答案为：．
12. 以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是______（填序号）．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关概念，正确理解圆、半圆、弧和弦的定义是解题的关键．根据弦、弧、半圆和等圆的定义分别进行判断即可．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，故正确；
②半圆不是圆中最长的弧，故不正确；
③面积相等的两个圆半径相等，而半径相等的圆是等圆，故正确；
综上分析可知，正确的有①③．
故答案：①③．
13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为______________________________．
【答案】3 cm
【解析】
【分析】由垂径定理知CD=2CE，欲求CD，需求出CE的长；在Rt△COE中，已知OC的长，缺少的是∠COB的度数；已知了同弧所对的∠CDB的度数，由圆周角定理即可求出∠COB的度数，由此得解．
【详解】因为∠CDB=30∘,所以∠COB=60∘,
Rt△CEO中,OE= cm,
CE= cm,
所以CD=3cm.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理, 垂径定理, 解直角三角形的应用，关键在于求出∠COB的度数.
14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
15. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.
【详解】解：设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，
根据题意图中阴影部分的面积为3，
则P（击中阴影区域）．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.
16. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一判断AD为BC的垂直平分线，再根据外接圆圆心为三角形边的垂直平分线交点确定O为外接圆圆心，最后根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线
∴，，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点为外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴外接圆的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的三线合一、三角形外接圆圆心即三角形外心以及圆面积公式．三角形的外心实质上是三角形三边垂直平分线的交点．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于外接圆半径．
三．解答题．（本大题8个小题，共60分）
17. 解方程：
【答案】，．
【解析】
【分析】先移项，将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【详解】，
，
，
，
故，
解得：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 如图，四边形内接于，为的直径，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．

（1）直接写出圆心的坐标： ；
（2）求的半径．
【答案】（1）
（2）的半径为
【解析】
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的运用．
（1）连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心；
（2）根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
连接，，作直线，的垂直平分线，其交点即为圆心
∴圆心的坐标为：，
【小问2详解】
连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴的半径为．
20. 箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶过期的，现从这4瓶牛奶中不放回的任意抽取2瓶，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到有1瓶牛奶过期的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图或列表是解题关键．根据题意作出树状图，利用树状图求解即可．
【详解】解：设4瓶牛奶分别用表示，其中表示过期牛奶，画树状图如下图，
由图可知，共有12种等可能情况，其中有1瓶牛奶过期的情况有6种，
∴恰好抽到有1瓶牛奶过期的概率为．
21. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点E、D，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据相等的圆心角所对的弧相等证明即可；
（2）先由等腰三角形三线合一的性质得出长度，再由勾股定理得出长度，再利用求解即可．
【小问1详解】
∵为直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，即，
∴．
22. 某商店销售一款工艺品，每件成本为元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每月的销售量是件，而销售单价每降价元，每月可多销售件．设这种工艺品每件降价元．
（1）每件工艺品的实际利润为 元（用含有的式子表示）；
（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为元，且要求降价不超过元，那么每件工艺品应降价多少元？
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）用销售单价减去成本即可得答案．
（2）设每件工艺品应降价元，根据每月的销售利润每件的利润每月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【小问1详解】
每件工艺品的实际利润为：元，
故答案为：．
【小问2详解】
设每件工艺品应降价x元，依题意得：
，
解得：，（不符题意，舍去）．
答：每件工艺品应降价元．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点．其中，．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点在第四象限的此二次函数图象上，且，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：（1）把，代入中得：，
，
二次函数解析式为；
【小问2详解】
当时，则，解得或，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
点在第四象限，
当时，解得或（舍去），
综上所述，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
24. 如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，的长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，再利用圆周角定理可得，即可求解；
（2）利用切线的性质可得，再利用圆内接四边形的对角互补及平角的定义可得，再由（1）的结论可得，从而可证，再根据平行线的性质可得，即可求解；
（3）根据圆周角定理可得，再利用勾股定理求得的长，从而可证，再根据相似三角形的性质求得的长，最后利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：∵与相切于点C，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、圆内接四边形的性质及勾股定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及圆周角定理是解题的关键．试验次数
100
500
1000
2000
4000
频率
试验次数
100
500
1000
2000
4000
频率