九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份九年级上学期期中数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．解题的关键是理解中心对称图形与轴对称图形的概念，据此解答即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 方程的解为（ ）
A. ，B. ，C. D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键是把一元二次方程进行因式分解，得到即可求解．
【详解】解：移项得：，
即：，
或，
解得：，
故选：D．
3. 如图，将线段绕着点A按逆时针方向旋转，得到线段，则点B的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形，即可解答 ．
【详解】解：如图可知：，
故选：B
4. 下列四边形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A. 矩形、正方形B. 平行四边形、矩形C. 菱形、正方形D. 矩形、平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查四点共圆的知识，解题的关键是掌握四边形的对角互补是四点共圆的关键，依次解答即可．
【详解】解：A、矩形和正方形的四个角都是直角，对角互补，则四个顶点共圆，故A符合题意；
B、平行四边形的对角相等，不一定互补，故B不符合题意，
C、菱形的对角相等，不一定互补，故C不符合题意；
D、平行四边形的对角相等，不一定互补，故D不符合题意，
故选：A．
5. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形的锐角互余，先利用直径所对的圆周角是直角得到，进而求得，再由求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 已知，，三点都在抛物线上，点A在点B的左侧，下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质；
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断C为抛物线的最低点，根据，，且点A在点B的左侧，可知，即可解答．
【详解】解： ∵抛物线，
∴该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
∵，，且点A在点B的左侧，
∴，且a、b分别位于对称轴的两旁，
∵在抛物线上，
∴，且C为抛物线的最低点，
；
故选：C．
7. 如图，，分别是的直径和弦，于点D，连接，，且，，则的面积为（ ）
A. 24B. 6C. 12D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理，解题的关键是先利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出，即可解答．
【详解】解：是的直径，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
故选：B．
8. 如图，将菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，当平分时，则与之间的数量关系是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质及菱形的性质，根据菱形代入性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，根据平分，可得，即可得到答案，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题的关键．
【详解】解：∵是菱形，
∴，
∴，
∵菱形绕点A按逆时针方向旋转得到菱形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
根据三角形内角和定理可得：，
即，
故选：D．
9. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b-1）x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
10. 定义：为二次函数的特征数．下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是y轴；②当时，函数图象过原点；③当且时，y随x的增大而减小；④当时，若，，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础．
根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为，①写出对称轴方程后把代入即可判断；②把代入，求出此时的x、y即可判断；③根据对称轴，开口方向，增减性即可判断；④根据对称轴，开口方向，对称性即可判断．
【详解】解：由特征数的定义可得：特征数为的二次函数的表达式为：，
此抛物线的对称轴为直线，
当时，函数图象的对称轴是，即y轴．故①正确；
②当时，此二次函数表达式为：，
当时，，所以函数图象不过原点，故②错误；
③当时， 函数图象对称轴，且抛物线图象是开口向上，
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，故③正确；
④当时，二次函数表达式为：，此时函数的对称轴为y轴，图象开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，
，，
，故④正确；
则正确的结论的个数为3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键． 根据原点是抛物线的最低点，则抛物线必须开口向上，可得，即可解答．
【详解】解：解：点是是抛物线的最低点，
．
故答案为：．
12. 已知关于x的方程的解与的解相同，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及一元二次方程的解，利用因式分解法求出方程的解，然后把代入方程可得即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得，，，
把代入方程得，，
故答案为：1．
13. 如图，是的直径，弦，交于点E，，的半径为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理得到，然后求出，，然后利用垂径定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
14. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，且，，与y轴交于点．
（1）若，则抛物线的解析式为______．
（2）若抛物线顶点的纵坐标为w，则的最小值为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）先求得点A、B坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先利用点A、B坐标求得抛物线的解析式，进而用m表示顶点纵坐标w，然后利用二次函数的性质求解．
【详解】解：（1）当时，，，
故设抛物线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴抛物线的表达式为，
故答案为：；
（2）根据题意，设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点的纵坐标
，
∴
∵，
∴当时，有最小值，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算出，然后代入一元二次方程的求根公式进行求解．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题解一元二次方程—公式法：一元二次方程（为常数，）的求根公式为．
16. 已知菱形两条对角线和是10，当边长为多少时，菱形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】当边长为时，菱形的面积最大，最大面积为．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是表示出：菱形的面积=两对角线的积的一半，列出函数解析式，再把解析式化成二次函数的顶点式，根据二次函数的求最值的方法便可解决问题．
【详解】解：设菱形的面积为y，一条对角线的长为x，则另一条对角线为，
，，
即，
当时，，
，
则两条对角线相等的菱形为正方形，
设菱形的边长为a，由勾股定理可得：，
解得：，
答：当边长为时，菱形的面积最大，最大面积为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，以点为原点建立平面直角坐标系，方格纸中的每个小方形的边长均为1，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）画出绕点O按逆时针方向旋转后所得的．
（2）画出关于点O中心对称的图形，并写出点，，的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析；，，
【解析】
【分析】本题考查了画旋转图形和中心对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握旋转的性质及关于原点对称的点的坐标规律是解本题关键．
（1）根据网格的特点，分别找出点，，绕点O按逆时针方向旋转后所对应的点，，，依次连接即可得到；
（2）根据网格的特点，分别找出点，，绕点O旋转后所对应的点，，，依次连接即可得到，再根据与原点对称的点的坐标特点：纵坐标，横坐标都互为相反数，即可得出，，的坐标．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
由题意得，，，
，，与，，分别关于原点对称，
，，．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
（2）若方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根判别式及根与系数的关系，
（1）由判别式，然后进行整理，再与比较大小，即可得证；
（2）根据根与系数的关系知，，将变形为，即可得到关于的方程，求解即可；
解题的关键是掌握：一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知四边形是的内接四边形，连接，，且平分．求证：

（1）是等腰三角形．
（2）若，的半径为，求点O到的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判断，圆周角定理，勾股定理，等积法，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理．
（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的关系得出，再根据平分可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可得出结论；
（2）连接，由圆周角定理可得，再利用勾股定理求得，然后根据等积法即可解答．
【小问1详解】
解：四边形是的内接四边形，
，
又，
，
平分，
，
，
，
即，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：

，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
设点O到的距离为h，
，
即，
解得：，
点O到的距离为．
20. 如图，点F为正方形内一点，连接，，，将绕着点A按顺时针方向旋转至，延长交于点H．

（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）四边形为正方形；
（2）7
【解析】
【分析】本题是四边型的综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的判断方法；
（1）由旋转的性质得，，即可解答；
（2）设，则，再根据勾股定理可求出x，再由（2）中得出的结论四边形为正方形可知，，即可解答．
【小问1详解】
解：将绕着点A按顺时针方向旋转至，
，，
，
在四边形中，
，
四边形为正方形；
【小问2详解】
解：设，
，
四边形为正方形，
，
在中，由勾股定理得：
，即，
解得：或，
由图可知：，即
，
，，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数）．
（1）若该函数的图像经过和两点，求该函数的表达式，并写出该函数图像的顶点坐标．
（2）写出一组，的值，使函数的图像与轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）若，点，为函数图像上的两点，且．求的最小值．
【答案】（1），
（2），；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法确定抛物线的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，熟练掌握待定系数法和配方法是解题的关键．
（1）将点、分别代入，得到关于、的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式，再利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）写出、的值后，说明即可；
（3）将代入抛物线的解析式，根据函数图像上点的坐标特征得出，的值，再求出的值，然后利用配方法根据二次函数的性质即可得答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图像经过和两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴该函数图像的顶点坐标是；
【小问2详解】
例如，，此时，
∵，
∴函数的图像与轴有两个不同的交点；
【小问3详解】
∵，
∴，
∵点，为函数图像上的两点，且，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为．
七、（本题满分12分）
22. 为贯彻落实国家关于全面推进城镇老旧小区改造提升和城市更新工作，以人民为中心，努力提高保障和改善民生水平，切实解决老旧小区的配套设施，提升居民的幸福指数。合肥某小区计划在的中央广场种植景观树和花卉．
市场调查发现：花卉的种植费用y（元/）与花卉的种植面积x（）之间的函数关系如图所示，景观树的种植费用为15元/．
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）花卉的种植面积不少于，且景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，当x为何值时，种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【答案】（1）
（2）当时，种植的总费用最少，最少为2700元；
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出x范围；分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案；
【小问1详解】
解：当时，；
当时，
设函数关系式为，
∵线段过点，，
，
解得：，
，
当时，，
即：；
【小问2详解】
解：花卉的种植面积不少于，
，
又景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，
解得：，
，
当时，
由（1）知，，
景观树的种植费用为15元/．
，
当时，；
当时，
由（1）知， ，
，
∴当时， ，
，
当时，种植的总费用最少，最少为2700元；
八、（本题满分14分）
23. 已知等边三角形，点为直线上一动点（不与点重合），直线，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，当时，连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，若点在点的左侧，点在直线上方，且的面积等于，，画图并求出线段的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）互相垂直，理由见解析
（3）作图见解析，或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，利用即可得证；
（2）互相垂直．延长交于点，连接，证明点在的垂直平分线上、点在的垂直平分线上，则在的垂直平分线上，即可得出结论；
（3）如图，连接并延长交直线于点，连接，过点作直线于点，设，证明，可得，，继而得到，根据直角三角形的性质可得，，可得，又，，继而得到，，根据的面积等于，可得，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：．
理由：延长交于点，连接，
由（1）知：，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∴在的垂直平分线上，
∴；
【小问3详解】
如图，连接并延长交直线于点，连接，过点作直线于点，设，
由（1）知：，且直线，
∴，，，
∵是等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵的面积等于，
∴，
即，
解得：或，
∴或．