2024-2025学年江西省上饶市婺源县高一上学期11月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江西省上饶市婺源县高一上学期11月月考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．下列命题中：①任意一个正方形都是中心对称图形；②所有三角形都有外接圆；③存在，使得；④任意一个菱形都是平行四边形．
其中全称量词命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
4．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论：
①若，则；
②若，则；
③若，且，则；
④若，则.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．下列根式与分数指数幂的互化错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，且，下列三个式子，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A．B．C．D．
8．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，，下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值是
C．的最小值是8D．的最小值是
10．已知函数的定义域为，集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在，当时有B．存在是增函数
C．存在是奇函数D．存在，使恒大于0
11．对于定义在上的函数如果同时满足以下三个条件：①；②对任意成立；③当时，总有成立，则称为“天一函数”.若为“天一函数”，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为增函数D．对任意，都有成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若关于的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为 ．
13．函数的图象如图所示，则的值域为 ．
14．若函数，在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知全集，集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取値范围．
16．（15分）已知二次函数（）满足，且．
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式；
(3)集合，，若，求实数的取值范围．
17．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若存在，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18．（15分）设函数（x∈R，且）.
(1)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围；
(2)若，且在上的最小值为，求实数的值.
19．（17分）已知定义域是的函数是奇函数.
(1)求的值
(2)先判断函数单调性并证明；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围.
数学答案
1．D
【分析】根据题意求集合，集合交集运算求解.
【详解】由题意可得：，
，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】根据特称命题及全称命题定义判断即可.
【详解】常见的“任意”“所有”“一切”等均为全称量词，所以命题①②④为全称量词命题,③为特称量词命题．
故选：C.
3．D
【分析】由不等式的基本性质，结合特殊值法，逐一判断即可得解.
【详解】A.当时，则，故A错误；
B.若，，，，则，故B错误；
C.若，，则，所以，故C错误；
D.若，，则，，
所以，所以，故D正确.
故选：D.
4．D
【分析】根据题意，得到在定义域上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数
因为函数任意且，都有，
所以函数在定义域上为单调递减函数，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
5．D
【分析】根据函数为偶函数，可得关于直线对称，即可求出a，可得的表达式，结合基本不等式可判断①②；利用二次函数的对称性可判断③；结合二次函数表达式化简可判断④.
【详解】由于函数，且为偶函数，
故可得关于直线对称，即的对称轴为，
则，即，
对于①，若，则，
当且仅当，即时取等号，故，①正确；
对于②，若，，
当且仅当，即时取等号，故，②正确；
对于③，若，且，即时，，
则，③正确；
对于④，若，则，
即得，④正确，
故正确结论的个数是4，
故选：D
6．B
【分析】利用分数指数幂的运算法则求解.
【详解】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：B．
7．B
【分析】利用指数幂的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②.
【详解】因为，，
对于①，，①错；
对于②，因为，且，
当为奇数时，；当为偶数时，.②对；
对于③，，③错.
所以，正确的个数为.
故选：B.
8．A
【分析】由奇偶函数的定义判断函数为偶函数，由函数单调性的判定得到函数的单调区间，由对称函数的函数大致图像得出自变量的不等关系，从而解出取值范围.
【详解】的定义域为，
∵，
∴为偶函数，
当时，，
∵，
∴在上单调递增，
∴在上单调递减，
∴当时，，
∴.
故选：A.
9．ACD
【分析】由条件等式，有，可求的范围判断选项A；利用基本不等式求和的最小值判断BCD.
【详解】，由，解得，A正确；
，
当且仅当时，等号成立，而此时不存在，B错误；
由，得，所以，
当且仅当，即时，等号成立，C正确.
由，得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】构造函数可判断AD；根据增函数定义即集合的含义可判断B；构造函数可判断C.
【详解】对A，构造函数，图象如图所示：
此时，显然存在时，，A正确；
对D，由A中函数可知，存在，使恒大于0，D正确；
对B，若是增函数，则对任意，都有时，
则，所以B错误；
对C，构造函数，图象如下图：
易知，是奇函数，且，故C正确.
故选：ACD
关键点睛：本题关键在于理解集合的含义，根据选项构造相应函数.
11．ABD
【分析】对于A，令，结合题中条件即可求解；对于B，令，结合题中条件即可求解；对于C，令，结合性质②③可得，因此有在上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D，应用反证法：若存在，使成立，讨论，，结合递归思想判断的存在性.
【详解】对于A，令，则，即，又对任意成立，因此可得，故A正确；
对于B，令，则，又，则，故B正确；
对于C，令，则，
所以，
又对任意成立，
则，即，
所以，
即对任意，都有，
所以在上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C错误；
对于D，由对任意，都有，又，，故，
反证法：若存在，使成立，
对于，，而，此时不存在使成立；
对于，若存在使成立，则，
而，则，即，
由，依次类推，必有，且趋向于无穷大，
此时，而必然会出现大于的情况，与矛盾，
所以在上也不存在使成立，
综上，对任意，都有成立，故D正确；
故选：ABD.
关键点点睛：对于D，应用反证及递归思想推出，情况下与假设矛盾的结论.
12．
【分析】根据题意，把方程化简为且，令，转化为，由对勾函数的性质，得到是方程的一个根，求得，求得，方程化为，求得方程的解，进而得到是方程的两个实数根，结合一元二次方程的根与系数的关系，即可求解.
【详解】由方程，可得且，
因为关于的方程恰有三个不同的实数解，且，
令，可得或，
则方程可转化为，即，
由，
根据对勾函数的性质，可知是方程的一个根，
此时，可得，解得，满足，
所以方程可化为，即，解得或，
所以是方程的两个实数根，即，所以，
所以.
故答案为.
13．
【分析】根据函数图象即可得出函数的值域.
【详解】由图象可知，函数fx的值域为．
故答案为.
14．
【分析】由指数函数、二次函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，函数单调递增；
当时，函数单调递增；
所以 ，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为.
15．(1)，
(2)
【分析】(1)求出时集合，根据定义域可求出集合，再根据并集，补集和交集运算即可求解；
(2)首先根据题意得到，再分类讨论的范围，即可得到答案.
【详解】（1）当时,可知集合，
由可知，
所以集合，则，
所以，则，
所以，.
（2）因为，所以可得，
当时，则，解之可得，
当时，，解之可得，
综上可知实数的取値范围为
16．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据条件得到，从而有，再利用，即可求解；
（2）根据条件得到，利用一元二次不等式的解法，对进行分类讨论，即可求解；
（3）根据条件得到，构造函数，结合条件得到，即可求解.
【详解】（1）由题有，
则，解得，所以，
又，所以，得到，
所以.
（2）由（1）知，由，得到，
即，变形得到，
令，得到或，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为.
（3）由，得到，即，
令，因为，且，
所以，得到，解得，
所以实数的取值范围为.
17．(1)，
(2)证明过程见解析
(3)或或.
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到f−x=−fx，得到方程，求出，根据得到方程，求出；
（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形，判号，下结论；
（3）只需在上的最小值，小于等于在上的最小值，求出，并分，，三种情况，得到，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1）因为为奇函数，故f−x=−fx，
即，故，解得，
又，解得，
故，；
（2）由（1）知，，
任取，且，
故，
因为且，所以，，
又，
故，故，
函数在上单调递增；
（3）存在，对任意的恒成立，
故只需在上的最小值，小于等于在上的最小值，
由（2）知，在上单调递增，故，
若，此时满足要求，
若，此时在上单调递减，
故，
令，解得或，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得或，
故或，
故的取值范围为或或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据函数奇偶性的定义可得函数是上的奇函数，进而结合可得，进而得到
函数的单调性，进而转化问题为不等式恒成立，进而结合求解即可；
（2）令，则根据其单调性可得，，对称轴为，
分别讨论和时，的最小值即可求解．
【详解】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以函数是上的奇函数，
又，且，
所以，
则函数和在上单调递减，
所以函数在上单调递减.
不等式等价于，
所以，即不等式恒成立，
所以，解得：，
所以实数的取值范围为.
（2）由，即，
解得或（舍去），
所以，
令，而在单调递增，
所以，
则，，对称轴为，
当时，，
解得或（舍去），
当时，，
解得不符合题意.
综上所述，.
方法点睛：对于指数复合型函数求值域或最值，往往需要换元，转化为关于新元的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，注意新元的取值范围．
19．(1)1；
(2)在R上单调递增，证明见详解；
(3).
【分析】（1）由题意可知，进而求解；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）由题意及（2）可将原不等式变形为在上恒成立，分离常数求解即可.
【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以
解得，
经检验：符合题意.
（2）在上单调递增，证明如下：
由可知，
任取实数，且，
则，
因为，所以，且，
所以，
即时，，
所以在上单调递增.
（3）因为是奇函数，所以等价于，
由（2）知在上单调递增，
所以在上恒成立；
等价于在上恒成立，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增；
因为时，；时，；
所以.