中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）6.5 三角计算的应用精品教学设计

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）6.5 三角计算的应用精品教学设计，共4页。
6.5 三角计算的应用
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
2 课时
授课类型
新授课
教学
提示
本课通过几个典型例题，将三角计算知识应用于面积问题、交流电测量问题
以及测量与计算问题，将实际问题数学化，实现数学建模．
教学目标
能够运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题；通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学问题，实现数学建模．通过学
习逐步提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养．
教学
重点
运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题．
教学
难点
数学建模的数学方法．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面， 能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用.
提出问题引发思考
思考分析
体会
引出课题
为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块

半径为 10 m，圆心角为 的扇形空地上修建一个矩形花
3
坛．根据设计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求
出这个最大面积.
提出
观察
引出
问题
思考
面积
情境
问题
导入
引发
讨论
思考
交流
在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决.
解 设扇形圆心为 O，矩形为 ABCD，如图所示.
连接 OD，记∠COD=θ，则在 RtΔCOD 中，CD=10sinθ，
OC=10csθ.
ΑΒ
在 RtΔAOB 中，tan=. 由 AB=CD 可知
3OB
OB= 3 AB= 3 CD= 3 10 sin  = 10 3 sin  .
3333
提问
思考
问题
引导
分析
1 应
用和
角公
式和
正弦
型函
数的
典型例题
讲解
强调
解决
交流
性质解决
的实
际问
题，
关键
指导
主动
是将
学习
求解
实际
问题
数学
10 3
于是，BC=OC-OB=10csθ-sin  .
3
因此，因此，矩形花坛 ABCD 的面积
10 3
S=BC·CD= 10 sin  sin   10 sin 
3
=100sinθcsθ- 100 3 sin2 
3
=50sin2θ- 100 3  1  cs 2 
32

=50sin2θ+ 50 3 cs 2 1 3
100 3  3150 3
=sin 2 +cs 2  
3 223
= 100 3 sin 2 cs  + cs 2 sin    50 3
366 3

= 100 3 sin  2 + cs    50 3 .
36 3

显然，当sin  2 + cs   =1 时，Smax= 50 3 .
6 3


此时， 2 + cs=+2k ，得 θ= k+(k∈Z).
626
又 θ∈  0,   ，所以 θ=  .
3 6


综上所述，按照∠COD=设计，可使得花坛的面积
6
最大，最大面积为 50 3 m².
3
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
化，建立含有以角为自变量的三角函数，然后利用三角函数的性质来解决问题
情境导入
在日常生活中,我们的家庭用电都是交流电(如图).
若交流电的电压 U(单位：V)与时间 t(单位：s)之间的函数关系可用
U=220 3 sin 100t    来表示, 求：
6 

开始时的电压；
电压值重复出现一次的时间间隔；
电压的最大值和第一次达到最大值的时刻.
提出问题
引发思考
观察思考
讨论交流
引出电压计算问题
典型例题
生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时，可以先建立三角函数模型，然后利用三角函数的性质解决这些问题.
提问引导
思考分析
解 (1) 取 t=0，得开始时的电压
U  220 3 sin 100t     220 3  1  110 （3 V）,
6 2

即该交流电开始时的电压为 110 3 V.
由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期，故电压值重复出现一次的时间间隔为
即电压值经过 0.02s 重复出现.
当 sin 100t     1 时， 得电压的最大值
6 

U max =220 3V ，此时

100t  2k (k 为非负整数).
62
1
100t ，解得t  （s）.
62300
1
因此，电压第一次达到最大值的时刻为s .
300
1
即，电压的最大值是220 3V ，s 时第一次达到最
300
大值.
讲解强调
指导学习
提问引导
讲解强调
解决交流
主动求解
思考分析
解决交流
问题
2 是正弦型函数的性质在物理学或电工学中的应 用，可以在讲解之前先复习一下相关知识
情境导入
如图所示，在河的岸边选定两点 A、B，对岸选定点 C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m.试根据测量结果，求河的宽度.
提出问题
引发思考
观察思考
讨论交流
引出测量距离问题
典型例题
解 因为∠CAB=45°，∠CBA=75°，所以
∠CAB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-45°-75°=60°.
ABBC
根据正弦定理，可得,
sin ACBsin CAB
AB sin CAB120 sin 45120 2
因此，BC===40 6 .
sin ACBsin 603
在△ABC 中，作 CD⊥AB，交 AB 于点 D，则 CD 的长度即为河宽.
CD
在 Rt△CDB 中，sin∠CBD=，
BC
所以 CD=BC sin∠CBD= BC sin75°.
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
解决这类问题是先将已知条件归结到三角形 中，
然后
6 + 2
又 sin75°=.
4
因此，CD=BCsin75°
= 40 6  6 + 2 =20  3+3  94.6（4 m）.
4
答：河宽约为 94.64m.
对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案. 例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等知识，通过测量和计算求得结果. 学习了三角计算后，我们也可以利用正、余弦定理解决这些
问题.
指导学习
主动求解
根据已知条件解决所求问题
情境导入
隧道是为了缩短行驶路程而在地下、水下或者山体中铺设铁路或修筑公路的建筑物．现为修建某山体隧道，需获得隧道两端 D、E 两点之间的距离．为此在山的一侧选取点 C，如图所示，并测得 CA=500m，CB=800 m，
∠ACB=60°. 又测得 AB 两点到隊道口的距离 AD=180m， BE=240m(A、D、E、B 在一条直线上)，试计算隊道 DE 的长.
提出问题
引发思考
观察思考
讨论交流
引出测量问题
典型例题
解 在△ABC 中，CA=500，CB=800， ∠ACB=60°.
根据余弦定理可得，
AB²=AC²+BC²-2·AC·BC cs∠ACB
= 500²+800²-2×500×800×cs60°
= 490000.
因此，AB=700(m).
于是，DE=AB-AD-EB=700-180-240=280(m).
隧道 DE 的长为 280m.
提问引导
讲解强调
指导
思考分析
解决交流
求解
将已知条件归结到三角形中再求
解
巩固练习
练习 6.5
1. 如图所示， 有一长为 10m、倾斜角为 75°的斜坡 AB. 在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的倾斜角变为 30°.问坡底延长了多少米？
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
2.如图所示，要把截面半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的方木.矩形的 长和宽各为多少时，其面积最大？最大面积是多少？(提示：连接 AC，并设∠CAB=θ.)
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习