1.2-1.3空间向量的基本定理及坐标运算-重点强化提升讲义-2025年届高三数学一轮复习

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1. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。
2. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。
注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若，，则，
，，
，
，
。
②若，，则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，
④，三角形重心P坐标为
⑤ΔABC的五心：
内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）
外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）
重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若，，
则，
（5）夹角公式：。
ΔABC中①A为锐角②A为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式：若，，
则，
或
3. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。
（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。
（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。
（4）空间向量数量积的性质：
①。②。③。
（5）空间向量数量积运算律：
①。②（交换律）。
③（分配律）。
④不满足乘法结合率：
考点讲解
题型一：空间向量的基本定理
1．（2024·山东·模拟预测）已知平行六面体的各棱长均为，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
3．（多选）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 .
题型二：空间向量的坐标表示
1．（2024·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数 （ ）
A．1B．2C．3D．4
2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点，，，D可以构成正四面体，则点D的坐标是 ．
4．（2024·安徽芜湖·三模）在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，则四面体的外接球的体积为 ．
题型三：空间向量坐标的运算
1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2024·江苏苏州·二模）图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（ ）

A．当时，四面体的体积为定值
B．当时，存在，使得平面
C．对于任意，，总有
D．当时，在侧面内总存在一点P，使得
4．（2024·河南郑州·一模）如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ．
题型四：空间向量模长的坐标表示
1．（2024·西藏日喀则·一模）已知向量，若与垂直，则（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为 ．
题型五：空间向量平行的坐标表示
1．（2024·天津河西·模拟预测）已知O为坐标原点，向量，点.若点E在直线上，且，则点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ．
3．（2023·河北·模拟预测）在空间直角坐标系中，，若三点共线，则 .
4．（2024·上海黄浦·一模）已知向量，，若，则mn的值为 .
题型六：空间向量垂直的坐标表示
1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，且，则（ ）
A．B．0C．3D．
2．（2025·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
3．（2025·广东·模拟预测）设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ．
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是 ．

题型七：空间向量夹角余弦的坐标表示
1．（2024·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A．B．C．D．
2．（多选）（2024·福建漳州·二模）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．动点的轨迹长为D．与所成角的余弦值为
3．（多选）（2024·湖北·二模）正方体中，，P在正方形内（包括边界），下列结论正确的有（ ）
A．若，则P点轨迹的长度为
B．三棱锥外接球体积的最小值是
C．若Q为正方形的中心，则周长的最小值为
D．
4．（2024·上海金山·二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 .
巩固提升
1．若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知点是点在平面上的射影，则等于（ ）.
A．B．C．D．
3．已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（ ）
A．，3B．，3C．1，3D．，2
4．如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
7．，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
8．在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）下列各组中的两个向量，互相平行的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选）已知空间单位向量两两互相垂直，设，则下列说法正确的有（ ）
A．与的夹角为
B．
C．夹角的余弦值为
D．不可以作为基底来表示空间中的任意一个向量
11．（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，点，点，且P，O不重合，P，A不重合，则（ ）
A．若，则x，y，z满足：
B．若，则x，y，z满足：
C．若，则x，y，z满足：
D．若，则x，y，z满足：
12．如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 .
13．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ．
14．已知空间中三点，则点到直线的距离为 ．
15．如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点.
(1)求的模：
(2)求的值；
(3)求证：.
16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接.
(1)证明：；
(2)若，直线与平面相交于点，求的值．
走进高考
1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2024·重庆·模拟预测）棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线AK与平面PQR的交点为M，则
C．四面体ABCD外接球的表面积是
D．四面体KPQR的体积是
4．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为一组单位正交基底
B．
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为
5．（多选）（2024·广西南宁·一模）在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小值为
B．当时，异面直线与所成角的余弦值为
C．当，且时，则的轨迹长度为
D．当时，与平面所成角的正弦值的最大值为
6．（2017·上海·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
7．（2024·四川攀枝花·一模）已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则
8．（2024·北京大兴·三模）在棱长为6的正方体中，E为棱上一动点，且不与端点重合，F，G分别为，的中点，给出下列四个结论：
①平面平面；
②平面可能经过的三等分点；
③在线段上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得平面；
④若E为棱的中点，则平面与正方体所形成的截面为五边形，且周长为.
其中所有正确结论的序号是 .