专题09 线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）学案

专题九《平面向量》讲义

9.1 线性运算、基本定理和坐标运算

知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算

一．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量

二．向量的线性运算

（一）加法：求两个向量和的运算

1.三角形法则：首尾连，连首尾

2.平行四边形法则：起点相同连对角

3.运算律

交换律：＋＝＋

结合律：(＋)＋＝＋(＋)

（二）减法：共起点，连终点，指向被减

（三）数乘：求实数λ与向量的积的运算

1.数乘意义：|λ|＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；

当λ<0时，λ与的方向相反；

当λ＝0时，λ＝0

2.运算律

（1）λ(μ)＝(λμ)

（2）(λ＋μ)＝λ＋μ

（3）λ(＋)＝λ＋λ

3．向量共线定理

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.

4．平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

三．平面向量的坐标运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　

 (2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

题型一.线性运算

1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）

A． B． C． D．

2．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，3，则（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（　　）

A． B． C． D．

4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足，则（　　）

A． B． 

C． D．

题型二.共线向量基本定理

1．设，是不共线的两个平面向量，已知，，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）

A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6

2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若λ，其中λ∈R，则点P一定在（　　）

A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 

C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部

3．在△ABC中，，．若点D满足，则（　　）

A． B． C． D．

4．△ABC内一点O满足，直线AO交BC于点D，则（　　）

A． B． C． D．

题型三.三点共线定理

1．（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝（　　）

A． B． C． D．

2．（2010•大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，，||＝1，||＝2，则（　　）

A． B． C． D．

3．（2008•广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则（　　）

A． B． C． D．

4．（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若xy，其中x，y∈R，则x+y的最大值是　　．

5．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（　　）

A．3 B．2 C． D．2

6．（2006•湖南）如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是　　；当时，y的取值范围是　　．

题型四.坐标运算

1．已知向量（3，﹣2），（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则的最小值是（　　）

A．24 B．8 C． D．

2．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在第二象限内，，且，设，则λ的值为（　　）

A．1 B． C． D．

3．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若xy（xy≠0），则以下说法正确的是：　　（请将所有正确的命题序号填上）

①若点E和A重合，点P和B重合，则x＝﹣1，y＝1；

②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧的中点；

③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y＝3；

④若点E与B重合，点P为上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．

课后作业.线性运算、基本定理和坐标运算

1．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则（　　）

A． B． C． D．

2．设x∈R，向量（x，1），（1，﹣2），且∥，则||＝（　　）

A． B． C． D．5

3．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足，若|AB|＝2，，则△ABC的外接圆的面积为　　．

4．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC与不同的两点M，N，若，则的最小值为（　　）

A．2 B．4 C． D．9

5．如图，正方形ABCD中，E为线段CD的中点，若λμ，则λ+μ＝　　．

6．已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD＝2AD，AE＝2EC，点P是线段DE上的任意一点，若xy，则xy的最大值为（　　）

A． B． C． D．