2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：5.2 平面向量基本定理及坐标表示，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记3个知识点
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个①____________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝②____________.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组③____________.
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴④____________的两个单位⑤____________i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝⑥____________，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作⑦____________，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其⑧________相同，⑨________相同的向量是相等向量．
3．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(○,\s\up1(10))________________，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝⑪ ____________________.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝⑫____________，a－b＝⑬______________，λa＝⑭________________，a∥b(b≠0)的充要条件是⑮________________.
(3)非零向量a＝(x，y)的单位向量为⑯________________或⑰________________.
(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔⑱__________.
二、必明3个易误点
1．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．
2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))可以作为基底．( )
(2)在△ABC中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后，其坐标不变．( )
(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，且μ1＝μ2.( )
(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
二、教材改编
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为( )
A．(1,5) B．(2,5)
C．(3,4) D．(5,1)
3.
如图，在△ABC中，AD＝eq \f(1,3)AB，点E是CD的中点．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq \(CD,\s\up6(→))＝________，eq \(AE,\s\up6(→))＝________.
三、易错易混
4．[2021·合肥模拟]若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
5．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )
A．a＝(1,2)，b＝(0,0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)
C．a＝(3,2)，b＝(9,6)
D．a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,2)))，b＝(3，－2)
四、走进高考
6．[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
考点一 平面向量基本定理及其应用
[互动讲练型]
[例1] (1)已知等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，若记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AG,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,8) a＋eq \f(3,4)b B.eq \f(3,8)a＋eq \f(1,2)b
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(3,4)b D.eq \f(1,4)a＋eq \f(3,8)b
(2)[2021·江苏南通调研]在△ABC中，点P是AB上一点，且eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，则实数t的值为________．
悟·技法
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AO,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,3)b
C.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b
2．[2021·山东济南模拟]在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
考点二 平面向量的坐标运算[自主练透型]
1．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标为( )
A．(－2，，3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，\f(8,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
3．已知平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up6(→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))

悟·技法
求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.
考点三 共线向量的坐标表示及其应用
[互动讲练型]
考向一：利用向量共线求向量或点的坐标
[例2] 已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则D点坐标为________．
悟·技法
利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.
考向二：利用向量共线求参数
[例3] (1)[2021·河南、河北重点高中段考]已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
(2)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
悟·技法
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．[2021·河南安阳模拟]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共线，则λ＝( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－1 D．－2
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
【知识重温】
不共线 ②＋ ③基底 ④同向 ⑤向量 ⑥xi＋yj ⑦a＝(x，y) ⑧坐标 ⑨坐标 ⑩(－，－) ⑪ ⑫(＋，＋) ⑬(－，－) ⑭(λ，λ) ⑮－＝0 ⑯±eq \f(a,|a|) ⑰± (x，y) ⑱＝且＝
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
(5)×
2．解析：设顶点D的坐标为(x，y)，
eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,1)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(5－x,6－y)，
∵平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得x＝1，y＝5.
所以顶点D的坐标为(1,5)．
答案：A
3．解析：eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a－b.
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,2)b.
答案：eq \f(1,3)a－b eq \f(1,6)a＋eq \f(1,2)b
4．解析：因为向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B.
答案：B
5．解析：根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底. 故选B.
答案：B
6．解析：作出示意图如图所示
eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
例1 解析：(1)因为等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AB,\s\up6(→))，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(3,8)a.故选B项．
(2)因为eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，所以3eq \(CP,\s\up6(→))＝2eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，即2eq \(CP,\s\up6(→))－2eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CP,\s\up6(→))，所以2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，
又因为A，M，Q三点共线，所以可设eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AQ,\s\up6(→)).
所以eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AQ,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ－2,2)eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))＝t(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(t,3)eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)＝\f(t,3)，,\f(λ－2,2)＝－t，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝\f(3,4)，,λ＝\f(1,2).))
答案：(1)B (2)eq \f(3,4)
变式练
1．解析：∵在三角形ABC中，BE是AC边上的中线．
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
∵O是BE边的中点，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b.
答案：D
2．解析：如图，连接AC，由eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，得eq \(AB,\s\up6(→))＝λ·eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋μ·eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))，则(eq \f(μ,2)－1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \f(λ,2)＋eq \f(μ,2))eq \(AC,\s\up6(→))＝0，得(eq \f(μ,2)－1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \f(λ,2)＋eq \f(μ,2))(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，得(eq \f(1,4)λ＋eq \f(3,4)μ－1)eq \(AB,\s\up6(→))＋(λ＋eq \f(μ,2))eq \(AD,\s\up6(→))＝0.又eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))不共线，所以由平面向量基本定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1＝0，,λ＋\f(μ,2)＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(4,5)，,μ＝\f(8,5).))所以λ＋μ＝eq \f(4,5).
答案：C
考点二
1．解析：设D(x，y)，则eq \(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，2eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，根据eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))故选D.
答案：D
2．解析：设c＝(x，y)．因为a－2b＋3c＝0，所以(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(0,0)，即(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(0,0)所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(13＋3x＝0，,4＋3y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(13,3)，,y＝－\f(4,3).))所以c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).
答案：D
3．解析：因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))，所以eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).故选D项．
答案：D
考点三
例2 解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
AB∥CD，∴eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
设点D的坐标为(x，y)，
则eq \(DC,\s\up6(→))＝(4－x,2－y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
故点D的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
例3 解析：(1)因为2m＋n＝(3λ＋4,4)，m－2n＝(－λ－3，－3)，且(2m＋n)∥(m－2n)，所以(－3)·(3λ＋4)－4·(－λ－3)＝0，解得λ＝0.故选B.
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－eq \f(2,3).
答案：(1)B (2)A
变式练
3．解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
答案：A
4．解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又λa－b和2a＋b共线，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴λ＝－2.故选D项．
答案：D