2025高考数学一轮复习-第10章-计数原理-第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第10章-计数原理-第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课件】，共31页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，m＋n，m×n，重点串讲能力提升，分类加法计数原理，分步乘法计数原理等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义．　2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_______种不同的方法.
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)
2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是(　　)A．12　　　　　　　B．8C．6 D．4解析：分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6.
3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)A．24 B．18C．12 D．6解析：分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12个奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6个奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18个奇数．
4．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有________种．解析：因为每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，所以要发5个电子邮件，发送的方法有3×3×3×3×3＝35＝243(种).
例1　(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有(　　)A．4种　　　　　　　　B．10种C．18种 D．20种(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________．
[解析]　(1)赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10(种).(2)若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).
使用分类加法计数原理的两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．
1.(2024·山西太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有(　　)A．3种 B．6种C．7种 D．8种
解析：由题意得，三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆．一共可以组成的币值有3＋3＋1＝7(种).
2．设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集．若A∩B＝{1，2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．
解析：对子集A分类讨论：当A是二元集{1，2}时，B可以为{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4种情况；当A是三元集{1，2，3}时，B可以为{1，2，4}，{1，2}，共2种情况；当A是三元集{1，2，4}时，B可以为{1，2，3}，{1，2}，共2种情况；当A是四元集{1，2，3，4}时，B取{1，2}，有1种情况．根据分类加法计数原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9种结果，即符合此条件的“理想配集”有9个．
例2　(1)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有(　　)A．12种 B．24种C．72种 D．216种
(2)(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　)A．共有43种不同的安排方法B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
[解析]　(1)先填第一行，有3×2×1＝6种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12种不同的填法．(2)对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43种选法，故A正确；对于B，三人到4个工厂，有43＝64种情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确；
对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16种安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24种安排方法，故D正确．
利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．
1.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层不同的走法有(　　)A．10种 B．25种C．52种 D．24种解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理可知，共有24种不同的走法．
2．(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是(　　)A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有43种
解析：对于A，B，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，D，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有4种选择，第3个社团有4种选择，根据分步乘法计数原理知共有43种结果，D正确，C错误．
两个计数原理的综合应用
例3　(1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是(　　)A．14 B．23C．48 D．120
(2)(2024·南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________．
[解析]　(1)分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8种不同的取法；第2步，取旋转体，有4＋2＝6种不同的取法．所以不同的取法种数是8×6＝48.(2)5日至9日，日期尾数分别为5，6，7，8，9，有3天是奇数日，2天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2×2＝4种用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12种用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8种用车方案，共计12＋8＝20种用车方案．根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为4×20＝80.
利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．
有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的半裙，另有2套不同样式的连衣裙．某同学需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式种数为(　　)A．24 B．14C．10 D．9解析：第一类：一件衬衣，一件半裙搭配一套服装有4×3＝12种选择方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理可知，共有12＋2＝14种选择方式．