2024-2025学年安徽省马鞍山市高二上册12月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省马鞍山市高二上册12月联考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，两圆与的公共弦长为，下列命题正确的是，已知圆，直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列的公比为正数，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．两圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则与，共面
B．若，则共面
C．若，则共面
D．若，则共面
10．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为
C．D．直线与双曲线有两个公共点
12．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，且，则 ．
14．已知双曲线（a，）的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 .
15．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ．
16．已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足的点P的轨迹方程．
18．设数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）．
(1)若，求直线l的方程；
(2)求面积的最小值．
20．如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点．
(1)证明：直线平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．
21．已知数列的前n项和满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求使成立的正整数n的最小值．
22．已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.
1．C
【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；
【详解】解：因为抛物线方程为，即，所以，即，所以抛物线的准线为
故选：C
2．B
【分析】由，且，通过计算得到数列是以3为周期的周期数列，即可求出结果.
【详解】因为数列满足，且，
所以，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以，
故选：B.
3．D
【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程.
【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
故选：D.
4．C
【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，，因为，所以，而，所以，
故选：C
5．B
【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长．
【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，
圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
，即，
圆的圆心到公共弦的距离：
，圆的半径，
公共弦长．
故选：B．
6．C
【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案.
【详解】，
当，时，，，且随着的变大，变大，
当，时，，，且随着的变大，变大，
故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.
故选：C
7．C
【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】如图，
以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.
设平面的法向量为，则，即，得，
令，则，所以点E到平面的距离为．
故选：C
8．D
【分析】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案．
【详解】由于M在以为直径的圆上，故，
设，则，，
根据双曲线的定义，
所以，
所以，，
所以， 故在单调递增，
当时，，
当时，，
所以，所以，
故选：D．

9．ABD
【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断.
【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；
选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，
所以共面；
选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，
则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，
此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；
选项D，由可得，
则，即，
则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；
故选：ABD．
10．ACD
【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．
【详解】由，
则，得，即恒过定点，
由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；
令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；
点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，
所以，可得，故直线为，故D正确．
故选：ACD．
11．AD
【分析】A.易得焦点三角形为直角三角形，利用勾股定理求解判断；B.利用离心率为求解判断；解：C. 利用离心率为，结合求解判断；D.由直线方程与双曲线方程联立，利用判别式判断.
【详解】解：如图所示：
因为，，所以，
又，则，，
由勾股定理得，解得，故A正确；
则，所以渐近线方程为，故B错误；
因为，所以，则，而，所以，所以，故C错误；
由，消去x得，则，
所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确，
故选：AD
12．AB
【分析】根据数列的递推公式即可判断AC；利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断BD.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，，
，，故A正确；
对于B，设数列的前项和为，
，
，
故，故B正确；
对于C，由A可知，
，C错误；
对于D，
，
，
故，故D错误.
故选：AB.
关键点点睛：本题考查斐波那契数列的递推公式，以及其偶数项和奇数项的和的求解，处理问题的关键是通过递推公式，找到相邻项的和与差的关系.
13．2
【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.
【详解】由于，所以，解得，
故2
14．
【分析】由题意可得，，焦点到渐近线的距离为，再结合，即可求出，得到该双曲线的方程．
【详解】由题意可得，则，设其一焦点为，渐近线方程为，
那么，而，解得，
那么所求的双曲线方程为．
故．
本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用以及双曲线方程的求法，属于基础题．
15．##0.75
【分析】给出的两个数列为等差数列，把转化为两数列的前7项和的比得答案．
【详解】数列，均为等差数列，且其前项和分别为，，
．
故．
16．
【分析】先分析和的几何意义；再利用数形结合思想和直线与圆的位置关系列出关系式求解即可.
【详解】.
的几何意义为表示以点为圆心，为半径的圆.
的几何意义为过点和点的直线斜率，点为以点为圆心，为半径的圆周上任一点.
结合图形可知：当直线与圆相切时斜率可以取到最大值和最小值.
设直线的斜率为，
则直线方程为：，即.
令，
解得：或，
即的取值范围为，
所以的取值范围为.
故
17．(1)圆心坐标为，圆C的半径为1．
(2)
【分析】（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径，
（2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解.
【详解】（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1．
（2）设，则，．
由于，则，
整理得点P的轨迹方程为：．
经检验，上的点都符合条件．
18．(1)
(2)．
【分析】（1）根据时，，作差即可求解，
（2）利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）因为，①
故当时，．②
①②得，所以．
又当时，符合，从而的通项公式为．
（2）记的前n项和为，
由（1）知，
则．
19．(1)
(2)2．
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据向量的共线关系可得，即可结合韦达定理求解，或者利用抛物线的焦半径关系，结合图形关系，利用锐角三角函数即可求解，
（2）根据面积公式以及韦达定理得表达式，即可根据二次函数的性质求解最值.
【详解】（1）法一：抛物线的焦点为，设直线l的方程是．
设，，，由
得，显然，
，，
由可得：，则，
由于，，所以，．
l的方程为：即
法二：作出抛物线的准线，设A，B在l上的射影分别是C，D，连接AC，BD，
过B作于E．，设，，
由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，．
因此，中，，
，则l的方程为：
（2）
当时即l的方程为：，此时的面积最小值为2．
20．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得，进而根据线面平行的判定定理即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，空间向量表示直线BM与底面ABCD所成角，进而利用二面角的向量方法求解即可.
【详解】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，如图．
是PD的中点，，．
由得，又，
，，四边形BCEF是平行四边形，
，
又平面PAB，平面PAB，
平面PAB．
（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则，，，，，
设，则，．
因为BM与底面ABCD所成的角为，是底面ABCD的法向量，
，
即．①
又M在棱PC上，设，则
，，．②
由①②解得（舍去）或
所以，从而．
设是平面ABM的法向量，则
即
所以可取．
于是．
因此二面角的余弦值为．
21．(1)；
(2)5．
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合求出的通项公式.
（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和并求解不等式即得.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得：，而，解得，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）可得，
则，
于是得，
两式相减得，
因此，即，解得，
所以正整数n的最小值为5.
22．(1)；
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）由离心率、焦点三角形最大面积及椭圆参数关系列方程组求椭圆参数，即可得方程；
（2）①设为，与椭圆方程联立，根据已知条件，应用韦达定理、两点斜率公式化简求得，即可证结论；②由面积公式与韦达定理化简后转化为函数求最值.
【详解】（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）①依题意，设，
若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为是椭圆上一点，即，
所以，则，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：，
所以
，
而，当时的最大值为．