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    2024-2025学年辽宁省高二上学期期中考试数学检测试题(附解析)

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    2024-2025学年辽宁省高二上学期期中考试数学检测试题(附解析)

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    这是一份2024-2025学年辽宁省高二上学期期中考试数学检测试题(附解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.若直线的倾斜角为,则( )
    A.B.1C.D.
    2.已知直线与圆相切,则( )
    A.1B.2C.3D.4
    3.已知点是抛物线上一点,若到抛物线焦点的距离为5,且到轴的距离为4,则( )
    A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8
    4.已知向量,若,则( )
    A.B.
    C.D.
    5.已知椭圆的一个焦点为,点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    6.火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面,可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分(如图1),它的优点是对流快、散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例(长度比)为(图纸上的尺寸单位:),图纸中单叶双曲面的方程为(如图2),则该冷却塔的占地面积为( )
    A.B.C.D.
    7.已知椭圆,从上任意一点向轴作垂线段为垂足,则线段的中点的轨迹方程为( )
    A.B.
    C.D.
    8.如图,在直三棱柱中,,,,,点是棱的中点,点在棱上运动,则点到直线的距离的最小值为( )
    A.B.C.D.
    二、多选题(本大题共3小题)
    9.关于曲线,则( )
    A.曲线不可能表示直线
    B.若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则
    C.若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则其焦距为
    D.若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则其长轴长为
    10.如图所示,在长方体中,分别在棱和上,,则下列说法正确的是( )

    A.
    B.直线与所成角的余弦值为
    C.直线和平面所成角的正弦值为
    D.若为线段的中点,则直线平面
    11.已知直线与椭圆交于两点,椭圆的左、右顶点分别为,直线与直线及轴分别交于点,则( )
    A.的周长为10
    B.直线的斜率之积为定值
    C.当时,线段的中点到直线的距离为
    D.若,则的取值范围是
    三、填空题(本大题共3小题)
    12.在平面直角坐标系中,是坐标原点,则过点且与直线垂直的直线的方程为 .
    13.已知是双曲线的两个焦点,点在上,且,若,则双曲线的方程为 .
    14.已知,抛物线的焦点为F,准线为l,点A是直线l与x轴的交点,过抛物线上一点P作直线l的垂线,垂足为Q,直线PF与MQ相交于点N,若,则△AMN的面积为 .
    四、解答题(本大题共5小题)
    15.已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为.
    (1)求直线的方程;
    (2)求的面积.
    16.如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面为的中点.
    (1)证明:;
    (2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
    17.已知椭圆的左、右焦点分别为,过点作两条直线,直线与交于两点.
    (1)若的面积为,求的方程;
    (2)若与交于两点,且的斜率是斜率的倍,求的最大值.
    18.已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上,圆的所有过点的弦中最短弦长为.
    (1)求圆的方程;
    (2)过点的直线交圆于两点,直线与轴的交点分别为,证明:线段的中点为定点,并求出该定点的坐标.
    19.在平面直角坐标系中,,分别为双曲线的左、右焦点,已知,为双曲线上的两动点,若点的横坐标为3,则的长为.
    (1)求的方程;
    (2)设,,记的面积为,的面积为,若,求的取值范围;
    (3)已知点在轴上方,直线过双曲线的右焦点且与轴交于点,若的延长线与交于点,问是否存在轴上方的点,使得成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
    答案
    1.【正确答案】D
    【详解】依题意,.
    故选:D
    2.【正确答案】B
    【详解】由题意,得圆心坐标为,因为直线与圆相切,
    所以圆心到直线的距离等于半径,
    所以,解得.
    故选:B
    3.【正确答案】C
    【分析】由题意得到,,结合得到方程,求出的值.
    【详解】由题意得,,
    其中,故,解得或8,
    故选C.
    4.【正确答案】C
    【详解】因为,所以,所以.
    故选:C
    5.【正确答案】D
    【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接,则四边形为平行四边形,
    设,由椭圆的对称性得,
    其中,即,
    所以,
    令,
    所以当时,,当或3时,,
    即的取值范围是.
    故选:D

    6.【正确答案】B
    【详解】令,可得出,这是一个半径为的圆,
    根据比例尺得出实际圆的半径长为,所以占地面积为.
    故选:B.
    7.【正确答案】C
    【详解】设点,根据中点的坐标公式可得,代入椭圆方程得,其中.
    故选:C
    8.【正确答案】A
    【详解】因为平面,,
    以为原点,、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    连接,则、,设,其中,
    所以,,
    则点到直线的距离

    设,因为,所以,则.
    所以,点到直线的距离的最小值为,
    故选:A.
    9.【正确答案】BC
    【详解】对于A,当,时,方程为,即或,此时方程表示直线,故A错误;
    对于B,因为曲线表示焦点在轴上的椭圆,则,
    将椭圆方程化为标准形式,所以,则,故B正确;
    对于C,因为曲线表示焦点在轴上的双曲线,则,
    将方程化为,依题意,焦距,故C正确;
    对于D,因为曲线表示焦点在轴上的椭圆,则,
    将方程化为,依题意,椭圆长轴长为,故D错误.
    故选:BC.
    10.【正确答案】ABD
    【详解】因为又所以
    又,所以又,
    所以综上可知:分别为所在棱的三等分点,由于直线不平行于平面,
    所以两点到平面的距离不相等,所以两个三棱锥的体积不相等,故A正确;
    对于B,以为原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

    则,所以,
    则直线与所成角的余弦值为,故B正确;
    对于C,,则,
    设平面的一个法向量为,则,取,
    设直线与平面所成的角为,则,
    所以直线和平面所成角的正弦值为,故C错误;
    对于D,连接,交于点,连接,则,
    又平面平面,从而平面,故D正确.
    故选:ABD
    11.【正确答案】BD
    【详解】如图,椭圆,长轴长,短轴长,焦距,
    对于A,直线过椭圆的左焦点为右焦点,
    则的周长为,故A错误;
    对于B,设Mx1,y1,则,
    所以,同理,
    所以直线的斜率之积为,故B正确;
    对于C,将直线与联立得,
    设Nx2,y2,则,,
    线段的中点到直线的距离为,
    当时,,故C错误;
    设,由共线得,即,
    同理由共线得,所以,
    而,则,
    所以,又,则,故D正确.
    故选:BD.
    12.【正确答案】
    【详解】直线的斜率为,所以与垂直的直线斜率为,
    又直线过点,可得所求直线的方程为,即.
    故答案为.
    13.【正确答案】
    【详解】
    设双曲线的标准方程为,,
    由已知可得,即,
    因为,
    所以,
    所以,故双曲线的方程为.
    故答案为.
    14.【正确答案】/
    【详解】如图,由,得,又因为F1,0为,的中点,
    所以,即N为PF的三等分点,且,
    又因为,
    所以,且,
    所以.
    不妨设Px0,y0,且在第一象限,,,解得,
    因为点Px0,y0在抛物线上,
    所以,
    所以△AMN的面积.
    故答案为.
    15.【正确答案】(1)
    (2)5
    【详解】(1)由点在上,设点的坐标是,
    则的中点在直线上,于是,解得,即点,
    设点的坐标是,则的中点在直线上,于是,解得,即,
    所以直线的方程为,即.
    (2)由(1)可得,
    又点到直线的距离.
    所以的面积.
    16.【正确答案】(1)证明见解析
    (2)
    【详解】(1)证明:如图,取的中点,连接,
    因为为等边三角形,所以.
    又因为平面平面,平面平面平面,
    所以平面.
    因为平面,所以.
    又平面,所以平面.
    因为平面,所以.
    (2)解:因为,又为中点,所以,所以四边形是平行四边形,所以,
    又平面,所以平面,
    所以两两垂直.
    以为坐标原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,所以,
    设平面的法向量为,
    则,即,取,则,
    所以平面的一个法向量为,
    又平面的一个法向量为,
    所以,
    所以平面与平面夹角的余弦值为.
    17.【正确答案】(1)或
    (2)
    【详解】(1)解:由题意知,易知的斜率不为,
    设,
    联立,得,
    所以.
    所以,
    由,
    解得,
    所以的方程为或.
    (2)由(1)可知,
    因为的斜率是斜率的倍,所以,
    得.
    所以,

    当且仅当时,等号成立,
    所以的最大值为.
    18.【正确答案】(1)
    (2)证明见解析,
    【详解】(1)设线段的垂直平分线斜率为,则,所以.
    又线段的中点坐标为,所以线段的垂直平分线方程为,即,
    则圆心的坐标在上,所以.
    因为,圆的所有过点的弦中最短弦长为,
    易知最短弦垂直于,所以,所以,
    则圆的方程为.
    (2)证明:显然直线的斜率存在,设其方程为,
    与圆的方程联立并消去得,
    设,则,
    直线的方程为,令,得,所以.
    同理得,
    所以线段的中点纵坐标为

    所以线段的中点坐标为,是一个定点.
    19.【正确答案】(1)
    (2)
    (3)不存在,理由见解析
    【详解】(1)设,由点为双曲线上的一点,得①
    因为,所以,得②,
    又③,由①②③得,,
    所以双曲线的方程为;
    (2)设,因为,,
    所以,.
    由,得,
    即,又,则,解得,
    所以,
    即的取值范围是;
    (3)不存在轴上方的点使得成立.
    理由如下:
    设Ax1,y1,Bx2,y2,,,
    ①当直线的斜率大于零时,由图象对称性,可知,关于轴对称,
    则,其中,,又,,
    所以,,,
    则,
    同理,
    由,得,
    因此,所以,
    设直线,由消去,
    得,且,
    所以,故,
    又,所以,,
    由,得,所以此时这样的点不存在.
    ②当直线的斜率小于零时,由图象对称性,可知,关于轴对称,
    则,又,
    所以此时这样的点不存在.
    综上,不存在满足条件的点.

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