2024-2025学年辽宁省高二上学期期中考试数学检测试题(附解析)
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这是一份2024-2025学年辽宁省高二上学期期中考试数学检测试题(附解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.若直线的倾斜角为,则( )
A.B.1C.D.
2.已知直线与圆相切,则( )
A.1B.2C.3D.4
3.已知点是抛物线上一点,若到抛物线焦点的距离为5,且到轴的距离为4,则( )
A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8
4.已知向量,若,则( )
A.B.
C.D.
5.已知椭圆的一个焦点为,点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为( )
A.B.C.D.
6.火电厂的冷却塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面,可以看成是由双曲线绕其虚轴旋转所成的曲面的一部分(如图1),它的优点是对流快、散热效果好.某火电厂的冷却塔设计图纸比例(长度比)为(图纸上的尺寸单位:),图纸中单叶双曲面的方程为(如图2),则该冷却塔的占地面积为( )
A.B.C.D.
7.已知椭圆,从上任意一点向轴作垂线段为垂足,则线段的中点的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
8.如图,在直三棱柱中,,,,,点是棱的中点,点在棱上运动,则点到直线的距离的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.关于曲线,则( )
A.曲线不可能表示直线
B.若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则
C.若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则其焦距为
D.若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则其长轴长为
10.如图所示,在长方体中,分别在棱和上,,则下列说法正确的是( )
A.
B.直线与所成角的余弦值为
C.直线和平面所成角的正弦值为
D.若为线段的中点,则直线平面
11.已知直线与椭圆交于两点,椭圆的左、右顶点分别为,直线与直线及轴分别交于点,则( )
A.的周长为10
B.直线的斜率之积为定值
C.当时,线段的中点到直线的距离为
D.若,则的取值范围是
三、填空题(本大题共3小题)
12.在平面直角坐标系中,是坐标原点,则过点且与直线垂直的直线的方程为 .
13.已知是双曲线的两个焦点,点在上,且,若,则双曲线的方程为 .
14.已知,抛物线的焦点为F,准线为l,点A是直线l与x轴的交点,过抛物线上一点P作直线l的垂线,垂足为Q,直线PF与MQ相交于点N,若,则△AMN的面积为 .
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为.
(1)求直线的方程;
(2)求的面积.
16.如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面为的中点.
(1)证明:;
(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
17.已知椭圆的左、右焦点分别为,过点作两条直线,直线与交于两点.
(1)若的面积为,求的方程;
(2)若与交于两点,且的斜率是斜率的倍,求的最大值.
18.已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上,圆的所有过点的弦中最短弦长为.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线交圆于两点,直线与轴的交点分别为,证明:线段的中点为定点,并求出该定点的坐标.
19.在平面直角坐标系中,,分别为双曲线的左、右焦点,已知,为双曲线上的两动点,若点的横坐标为3,则的长为.
(1)求的方程;
(2)设,,记的面积为,的面积为,若,求的取值范围;
(3)已知点在轴上方,直线过双曲线的右焦点且与轴交于点,若的延长线与交于点,问是否存在轴上方的点,使得成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
1.【正确答案】D
【详解】依题意,.
故选:D
2.【正确答案】B
【详解】由题意,得圆心坐标为,因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,
所以,解得.
故选:B
3.【正确答案】C
【分析】由题意得到,,结合得到方程,求出的值.
【详解】由题意得,,
其中,故,解得或8,
故选C.
4.【正确答案】C
【详解】因为,所以,所以.
故选:C
5.【正确答案】D
【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接,则四边形为平行四边形,
设,由椭圆的对称性得,
其中,即,
所以,
令,
所以当时,,当或3时,,
即的取值范围是.
故选:D
6.【正确答案】B
【详解】令,可得出,这是一个半径为的圆,
根据比例尺得出实际圆的半径长为,所以占地面积为.
故选:B.
7.【正确答案】C
【详解】设点,根据中点的坐标公式可得,代入椭圆方程得,其中.
故选:C
8.【正确答案】A
【详解】因为平面,,
以为原点,、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,
连接,则、,设,其中,
所以,,
则点到直线的距离
,
设,因为,所以,则.
所以,点到直线的距离的最小值为,
故选:A.
9.【正确答案】BC
【详解】对于A,当,时,方程为,即或,此时方程表示直线,故A错误;
对于B,因为曲线表示焦点在轴上的椭圆,则,
将椭圆方程化为标准形式,所以,则,故B正确;
对于C,因为曲线表示焦点在轴上的双曲线,则,
将方程化为,依题意,焦距,故C正确;
对于D,因为曲线表示焦点在轴上的椭圆,则,
将方程化为,依题意,椭圆长轴长为,故D错误.
故选:BC.
10.【正确答案】ABD
【详解】因为又所以
又,所以又,
所以综上可知:分别为所在棱的三等分点,由于直线不平行于平面,
所以两点到平面的距离不相等,所以两个三棱锥的体积不相等,故A正确;
对于B,以为原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以,
则直线与所成角的余弦值为,故B正确;
对于C,,则,
设平面的一个法向量为,则,取,
设直线与平面所成的角为,则,
所以直线和平面所成角的正弦值为,故C错误;
对于D,连接,交于点,连接,则,
又平面平面,从而平面,故D正确.
故选:ABD
11.【正确答案】BD
【详解】如图,椭圆,长轴长,短轴长,焦距,
对于A,直线过椭圆的左焦点为右焦点,
则的周长为,故A错误;
对于B,设Mx1,y1,则,
所以,同理,
所以直线的斜率之积为,故B正确;
对于C,将直线与联立得,
设Nx2,y2,则,,
线段的中点到直线的距离为,
当时,,故C错误;
设,由共线得,即,
同理由共线得,所以,
而,则,
所以,又,则,故D正确.
故选:BD.
12.【正确答案】
【详解】直线的斜率为,所以与垂直的直线斜率为,
又直线过点,可得所求直线的方程为,即.
故答案为.
13.【正确答案】
【详解】
设双曲线的标准方程为,,
由已知可得,即,
因为,
所以,
所以,故双曲线的方程为.
故答案为.
14.【正确答案】/
【详解】如图,由,得,又因为F1,0为,的中点,
所以,即N为PF的三等分点,且,
又因为,
所以,且,
所以.
不妨设Px0,y0,且在第一象限,,,解得,
因为点Px0,y0在抛物线上,
所以,
所以△AMN的面积.
故答案为.
15.【正确答案】(1)
(2)5
【详解】(1)由点在上,设点的坐标是,
则的中点在直线上,于是,解得,即点,
设点的坐标是,则的中点在直线上,于是,解得,即,
所以直线的方程为,即.
(2)由(1)可得,
又点到直线的距离.
所以的面积.
16.【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)证明:如图,取的中点,连接,
因为为等边三角形,所以.
又因为平面平面,平面平面平面,
所以平面.
因为平面,所以.
又平面,所以平面.
因为平面,所以.
(2)解:因为,又为中点,所以,所以四边形是平行四边形,所以,
又平面,所以平面,
所以两两垂直.
以为坐标原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,所以,
设平面的法向量为,
则,即,取,则,
所以平面的一个法向量为,
又平面的一个法向量为,
所以,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.【正确答案】(1)或
(2)
【详解】(1)解:由题意知,易知的斜率不为,
设,
联立,得,
所以.
所以,
由,
解得,
所以的方程为或.
(2)由(1)可知,
因为的斜率是斜率的倍,所以,
得.
所以,
,
当且仅当时,等号成立,
所以的最大值为.
18.【正确答案】(1)
(2)证明见解析,
【详解】(1)设线段的垂直平分线斜率为,则,所以.
又线段的中点坐标为,所以线段的垂直平分线方程为,即,
则圆心的坐标在上,所以.
因为,圆的所有过点的弦中最短弦长为,
易知最短弦垂直于,所以,所以,
则圆的方程为.
(2)证明:显然直线的斜率存在,设其方程为,
与圆的方程联立并消去得,
设,则,
直线的方程为,令,得,所以.
同理得,
所以线段的中点纵坐标为
,
所以线段的中点坐标为,是一个定点.
19.【正确答案】(1)
(2)
(3)不存在,理由见解析
【详解】(1)设,由点为双曲线上的一点,得①
因为,所以,得②,
又③,由①②③得,,
所以双曲线的方程为;
(2)设,因为,,
所以,.
由,得,
即,又,则,解得,
所以,
即的取值范围是;
(3)不存在轴上方的点使得成立.
理由如下:
设Ax1,y1,Bx2,y2,,,
①当直线的斜率大于零时,由图象对称性,可知,关于轴对称,
则,其中,,又,,
所以,,,
则,
同理,
由,得,
因此,所以,
设直线,由消去,
得,且,
所以,故,
又,所以,,
由,得,所以此时这样的点不存在.
②当直线的斜率小于零时,由图象对称性,可知,关于轴对称,
则,又,
所以此时这样的点不存在.
综上,不存在满足条件的点.
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