2024-2025学年重庆市高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市高二上册12月月考数学检测试题（含解析），共25页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 已知，若，则， 直线关于点对称的直线方程为， 已过点C， 已知圆等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在
2. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
3. 已知，若，则（）
A．B．3C．5D．6
4. 直线关于点对称的直线方程为（）
A4x＋3y－4＝0B. 4x＋3y－12＝0
C. 4x－3y－4＝0D. 4x－3y－12＝0
5. 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，交于点，且，则（）
B.
C. D.
6. 已过点C（0，-1）的直线与双曲线的右支交于AB两点，则直线AB的斜率的取值范围为（ ）
B. C. D.
7. 二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（）
A. B. C. D.
二､多选题：
9. 已知圆：的半径为2，则（ ）
A．
B．点在圆的外部
C．圆与圆外切
D．当直线平分圆的周长时，
10. 已知椭圆C的两个焦点分别为，，离心率为，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（）
A. 椭圆C的方程为B. 的最大值为
C. 当时，D. 椭圆形状比椭圆C的形状更接近于圆
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 线段上存在点，使平面平面
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为____．
13.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为．
14. 已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．
四､解答题：共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知两点，及圆：，为经过点的一条动直线.
（1）若直线与圆相切，求切线方程；
（2）若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，求的面积.
条件①:直线平分圆；条件②：直线的斜率为-3.
16. 已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
17. 如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
（1）证明：平面；
（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知抛物线C:的焦点为，P是抛物线C上一点，O为原点，当时，,过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）求抛物线C的标准方程
（2）证明：直线过定点；
（3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
19.若椭圆：上的两个点，满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，点互为共轭点. 显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点，. 已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为，.
（1）当点坐标为时，求；
（2）当直线，斜率存在时，记其斜率分别为，，其中，求的最小值；
（3）证明：的面积为定值.
2024-2025学年重庆市高二上学期12月月考数学检测试题
一､单选题：
1. 直线的倾斜角为（C）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 不存在
2. 若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（D）
A. B. C. D.
3. 已知，若，则（ C ）
A．B．3C．5D．6
4. 直线关于点对称的直线方程为（B）
A4x＋3y－4＝0B. 4x＋3y－12＝0
C. 4x－3y－4＝0D. 4x－3y－12＝0
5. 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，交于点，且，则（A）
B.
C. D.
6. 已过点C（0，-1）的直线与双曲线的右支交于AB两点，则直线AB的斜率的取值范围为（ A ）
B. C. D.
7. 二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为（B）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（D）
A. B. C. D.
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以，
故选：D.
二､多选题：
9. 已知圆：的半径为2，则（ ABC ）
A．
B．点在圆的外部
C．圆与圆外切
D．当直线平分圆的周长时，
10. 已知椭圆C的两个焦点分别为，，离心率为，且点P是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（AC）
A. 椭圆C的方程为B. 的最大值为
C. 当时，D. 椭圆形状比椭圆C的形状更接近于圆
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ABD）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 线段上存在点，使平面平面
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．
对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，,，，，
所以，，，
设（），则
所以，
平面即
解之得
当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确
对于C，设平面的法向量
则，取
得
设平面的法向量,
则
取, 得,
平面平面
设, 即,
解得，，不合题意
线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．
对于D，平面的法向量为
则
因为
所以
所以的最大值为．故D正确．
故选：ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.若椭圆（）与双曲线的焦点相同，则的值为__5___．
13.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为．
14. 已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．
【分析】设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
由题意可设：，
由得：，即；
由得：，即；
，，即，
，即，，解得：，
即双曲线的离心率为.
故答案为：.
四､解答题：共70分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知两点，及圆：，为经过点的一条动直线.
（1）若直线与圆相切，求切线方程；
（2）若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，求的面积.
条件①:直线平分圆；条件②：直线的斜率为-3.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线为，利用圆心到直线的距离等于半径求即可；
（2）选择条件①利用两点式可得直线的方程，再利用点到直线的距离得到的高，即可得到面积；选择条件②利用点斜式可得直线的方程，再利用点到直线的距离得到的高，即可得到面积.
【小问1详解】
当直线斜率不存在时，即，圆心到直线的距离，此时直线与圆相交；
当直线斜率存在时，设直线为，即，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得或，
所以切线方程为或.
【小问2详解】
选择条件①：
直线平分圆则直线过圆心，所以直线为，即，
因为，点到直线的距离，
所以.
选择条件②：
由直线的斜率为-3且过可得直线为，即，
直线过圆心，所以，
点到直线的距离，
所以.
16. 已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果.
试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.
（2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得．
根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.
17. 如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
（1）证明：平面；
（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明；
（2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出.
【小问1详解】
证明：正方形中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，且，又，
，又，，
，又，，
又平面，
平面；
【小问2详解】
解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设点，，，
，
，
设平面的法向量为，
，
令，
显然，平面的法向量为，
，
即，即
即，解得或（舍），
所以存在一点，且.
18. 已知抛物线C:的焦点为，P是抛物线C上一点，O为原点，当时，,过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)求抛物线C的标准方程
（2）证明：直线过定点；
（3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【分析】
（2）设出直线与直线的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线后即可得定点坐标；
（3）设出直线与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为，再结合面积公式及基本不等式即可得.我们也可以利用面积得到，再结合基本不等式可求最小值.
【小问1详解】
（1）
【小问2详解】
【方法一】：由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
【方法二】：设，，不妨设．
设，则．由，得，
故，，，．
所以．
同理可得．
若，则直线，MN过点．
若，则直线，MN过点．
综上，直线MN过定点．
【小问3详解】
法1：由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
法2：设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．
由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故．
设T为直线GN与AD交点，同理可得．
所以．
由（1）中的法2可得，同理可得．
所以，
当且仅当时等号成立．
因此的面积的最小值为8．
19.若椭圆：上的两个点，满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，点互为共轭点. 显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点，. 已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为，.
（1）当点坐标为时，求；
（2）当直线，斜率存在时，记其斜率分别为，，其中，求的最小值；
（3）证明：的面积为定值.