辽宁省鞍山市2024-2025学年高三上册12月联考数学教学质量检测试卷（附解析）

这是一份辽宁省鞍山市2024-2025学年高三上册12月联考数学教学质量检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】，
故．
故选：D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【详解】因为，且，
所以.
故选：A
3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数
A．1012B．1348C．1350D．1352
【正确答案】C
【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，
又，故该数列前2024项有个奇数.
故选：C
4．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【正确答案】B
【详解】在中，为的中点，为的中点，
则，所以，.
故选：B
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】由已知得，
比较和的大小，其中，
因为，所以，
又因为在0,+∞单调递增，所以，即；
比较和的大小，其中，即，
因为在0,+∞上单调递增，所以，即；
比较，的大小，
因为，，
所以，即，
故选.
6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，
连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.
(1)4次均不下雨，概率为：；
(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；
(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：
①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；
概率为：；
(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为：；
(5)4次均下雨，概率为：；
两天都不淋雨的概率为：，
所以至少有一天淋雨的概率为.
故选：D.
7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【详解】由可知圆心为，半径，
由题意，
所以当时，取最小值，
由点到直线的距离公式可得，
此时，
过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，
由于与关于直线对称，，与关于直线对称，
因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，
所以的最小值为.
故选：C

8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．0,1
【正确答案】B
【详解】因为
得，即
所以点在的角平分线上，设的中点为

因为，所以点在线段上，
不妨设，
所以
易知
所以
因为
所以
因为
所以
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
【正确答案】AB
【详解】解：对于A，因为，所以，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；
对于B，因为，所以，
即与是相同的，所以，即B正确；
对于C，因为，所以，
所以，即C错误；
对于D，由于
，
而，
故，即D错误．
故选：AB．
10．在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．异面直线，所成的角为
D．与平面所成角的余弦值为
【正确答案】AC
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.
对于A，因为，平面的一个法向量为，
所以，所以平面，故A正确.
对于B，因为，，
所以，
所以DP，EC不垂直，故B错误.
对于C，因为，，
所以，
所以异面直线，所成的角为，故C正确.
对于D，设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得.
设与平面所成的角为，因为，
所以，
，故D错误.
故选：AC.
11．随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】CD
【详解】由已知，，
因为，所以，
所以，
所以，故错误；
因为，故错误；
，故正确；
，
又，，，
所以，故正确.
故选.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是.
【正确答案】
【详解】因为数列是递增数列，当时，，可得，
当时，，即，解得，
又，所以，解得或.
综上，实数的取值范围是.
故答案为.
13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为.
【正确答案】
【详解】，故，
因为在区间0,1上的值域为，
且，故必有
，
如图所示，则故
故
14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是．
【正确答案】
【详解】，，
所以，
由题意可得，
所以，
又因为，所以，
则
.
故；.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知数列的前项和，，且．
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)设数列的前项和，且满足，求证：．
【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）在，中，，
令，可得
，
∴．
（2），①
当时，，②
可得
，
∴，
∴是公差为的等差数列，
∴，
∴．
（3）证明：由（2）可得，
∴，
∴
．
16.（本小题15分）
在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
【正确答案】(1)
(2)，最小值为
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
17.（本小题15分）
如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3).
【详解】（1）取的中点，连结，
由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，
则，故,
故平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，即，
取，则，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
所以，因为
，
故平面与平面所成角的正弦值为.
（3）点是内一动点且，则点在以为直径的圆上，
当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时，
，
设直线与直线所成角为，
所以，
所以直线与直线所成角得余弦值为.
18.（本小题17分）
已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【正确答案】(1)
(2)（i）或；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意可知，，因为，所以.
因为，，得，
又因为在双曲线上，则，
所以.
所以双曲线C的方程为.
（2）（i）由题意知直线l的方程为，，.
联立，
化简得，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：4m2−1≠032m2−1924m2−1>0y1y2=484m2−1>0，
所以或.
（ii），，则，
直线的方程为，直线的方程为.
联立直线与的方程，得，
所以，
所以，
所以，
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上
19.（本小题17分）
已知函数.
(1)求函数y=f(x)的单调区间；
(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；
(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明.
【正确答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）设切线分别与和交于，
的导数为，的导数为，
所以处切线方程为，处切线方程为，
由公切线可知，，
所以，化简可得，
因为公切线有两条，所以有两个根；
设，所以，
因为均在上单调递增，所以在上单调递增，
且，所以存在唯一使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以且，
所以，
由对勾函数性质可知在时单调递增，
所以，所以，
且时，，时，，
所以若有两个根，则，故整数的最小值为.
（3）的定义域为，
由题意可知，是方程的三个根；
当时，令，所以，
令，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，且；
当时，令，所以，由解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，，
作出的简图如下图所示，
由图象可知，，
要证，只需证，即证，
因为，所以，
又因为在上单调递增，
所以只需证，且，
所以只需证，即证（*）；
设，
所以，
所以，
因为，对称轴且开口向下，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以，所以对恒成立，
所以（*）成立，即成立.