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    2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1直线与圆

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    2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1直线与圆

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    这是一份2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1直线与圆,共17页。
    2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离d= eq \f(|Ax0+By0+C|,\r(A2+B2)) .
    3.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为零)间的距离d= eq \f(|C1-C2|,\r(A2+B2)) .
    (1)若直线l:(a+1)x-y+3=0与直线m:x-(a+1)y-3=0互相平行,则a=( D )

    A.-1 B.-2
    C.-2或0 D.0
    【解析】 易得(a+1)×[-(a+1)]+1=0,即(a+1)2=1,解得a=-2或a=0,又-3(a+1)-3≠0,所以a≠-2.故a=0符合题意.故选D.
    (2)已知三条直线l1:4x+y=1,l2:x-y=0,l3:2x-my=3,若l1关于l2对称的直线与l3垂直,则实数m的值是( D )
    A.-8 B.- eq \f(1,2)
    C.8 D. eq \f(1,2)
    【解析】 易知直线l1:4x+y=1关于直线l2:x-y=0对称的直线方程为x+4y=1,又直线l3的方程为2x-my=3,
    由题意得1×2+4·(-m)=0,解得m= eq \f(1,2) .故选D.
    (1)两条直线平行与垂直的判定
    若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2均存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.
    (2)解决对称问题的方法
    点关于直线的对称点,点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况,斜率不存在或斜率为0时较简单).
    特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于直线y=x的对称问题采用代入法,如(1,3)关于直线y=x+1的对称点为(3-1,1+1),即(2,2).
    1.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则直线l的方程为_________.
    解析:由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-2y+3=0,,2x+3y-8=0,)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=1,,y=2,))
    所以直线l1与l2的交点为(1,2).若直线l的斜率不存在,则此时直线l:x=1,显然此时不满足点P(0,4)到直线l的距离为2,即直线l的斜率存在.
    设直线l的方程为y-2=k(x-1),
    即kx-y+2-k=0,因为点P(0,4)到直线l的距离为2,
    所以 eq \f(|-4+2-k|,\r(1+k2)) =2,解得k=0或k= eq \f(4,3) ,
    所以直线l的方程为y=2或4x-3y+2=0.
    答案:y=2或4x-3y+2=0
    2.已知△ABC的顶点A(4,3),AC边上的中线所在直线的方程为4x+13y-10=0,∠ABC的平分线所在直线的方程为x+2y-5=0,则AC边所在直线的方程为____________.
    解析:由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+2y-5=0,,4x+13y-10=0,)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=9,,y=-2,))
    所以点B的坐标为(9,-2).
    设点A(4,3)关于直线x+2y-5=0的对称点为A′(x0,y0),
    则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3-y0,4-x0)×(-\f(1,2))=-1,,\f(4+x0,2)+2×\f(3+y0,2)-5=0,))
    解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0=2,,y0=-1,)) 所以点A′的坐标为(2,-1).
    因为点A′(2,-1)在直线BC上,
    所以直线BC的方程为y-(-1)= eq \f(-2-(-1),9-2) (x-2),
    即x+7y+5=0.
    设点C的坐标为(x1,y1),
    则AC的中点坐标为( eq \f(x1+4,2) , eq \f(y1+3,2) ),
    所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1+7y1+5=0,,2(x1+4)+\f(13,2)(y1+3)-10=0,))
    解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1=-12,,y1=1,)) 所以点C的坐标为(-12,1),
    所以kAC= eq \f(3-1,4-(-12)) = eq \f(1,8) ,所以AC边所在直线的方程为y-3= eq \f(1,8) (x-4),即x-8y+20=0.
    答案:x-8y+20=0
    小题考法2 圆的方程
    [核心提炼]
    1.圆的标准方程
    当圆心为(a,b),半径为r时,圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.
    2.圆的一般方程
    圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,它表示以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))) 为圆心, eq \f(\r(D2+E2-4F),2) 为半径的圆.
    (1)(多选)(2024·丹东模拟)已知曲线E:x2+y2-2|x|-2|y|=0 ,则( ABD )
    A.曲线E围成图形的面积为8+4π
    B.曲线E的长度为4 eq \r(2) π
    C.曲线E上的点到原点的最小距离为2
    D.曲线E上任意两点间的最大距离为4 eq \r(2)
    【解析】 当x>0,y>0时,曲线E:(x-1)2+(y-1)2=2;
    当x>0,y0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δr1+r2⇔两圆外离.
    (2)d=r1+r2⇔两圆外切.
    (3)|r1-r2|

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