2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1立体几何初步

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(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).
(3)S圆台侧＝π(r＋r′)l，S圆台表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长).
(4)S球表＝4πR2(R为球的半径).
2．空间几何体的体积公式
(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为柱体的高).
(2)V锥体＝ eq \f(1,3) Sh(S为底面面积，h为锥体的高).
(3)V台体＝ eq \f(1,3) (S′＋ eq \r(S′S) ＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高).
(4)V球＝ eq \f(4,3) πR3(R为球的半径).
命题角度❶ 空间几何体的表面积
(1)(2024·菏泽三模)已知圆台O1O2的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面的周长为16，则该圆台的表面积为( C )
A．24π B．25π
C．26π D．27π
【解析】 如图，作出圆台的轴截面ABDC，设上底面圆O1的半径为r，则下底面圆O2的半径是3r，故轴截面的周长为
16＝4＋4＋2r＋6r，解得r＝1，所以上、下底面圆的面积分别为π，9π，圆台的侧面积S侧＝π(1＋3)×4＝16π，
所以圆台的表面积为π＋9π＋16π＝26π.
(2)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
【解析】 设正方体的棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1-AB1C为正四面体，其每个面都是边长为 eq \r(2) 的正三角形，其表面积为4× eq \f(1,2) × eq \r(2) × eq \f(\r(6),2) ＝2 eq \r(3) ，所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶ eq \r(3) .
【答案】 1∶ eq \r(3)
破解空间几何体的表面积问题的关键
(1)会转化：将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化．
(2)会分类：能识别所给的几何体是规则的几何体，还是不规则的几何体，还是简单的组合体．
(3)用公式：对于规则的几何体或简单的组合体，只需利用公式即可求解，需注意所求的是表面积还是侧面积；对于不规则的几何体，将所给几何体割补成柱体、锥体、台体，先求出这些柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．
1．已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为( C )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(3),3) D． eq \r(3)
解析：设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的母线长l＝2r，圆柱的母线长等于圆锥的高h＝ eq \r(3) r，记圆锥和圆柱的侧面积分别为S1，S2，则 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(πrl,2πrh) ＝ eq \f(\r(3),3) .
2．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位：dm)分别为2，6，4，正三棱柱各侧棱长度均相等，则该结构的表面积(单位：dm2)为( A )
A．34 eq \r(3) ＋8 B．34 eq \r(3) ＋44
C．34 eq \r(3) ＋48 D．34 eq \r(5) ＋8
解析：由题可得正三棱柱的底面积为 eq \f(1,2) ×2×2×sin 60°＝ eq \r(3) (dm2)，则正三棱柱的外露表面积为2× eq \r(3) ＋2×2×2＝8＋2 eq \r(3) (dm2).正四棱台侧面梯形的高为 eq \r(42－（\f(6－2,2)）2) ＝2 eq \r(3) (dm)，则正四棱台的外露表面积为4× eq \f(1,2) ×(2＋6)×2 eq \r(3) ＝32 eq \r(3) (dm2)，
故该结构的表面积为32 eq \r(3) ＋8＋2 eq \r(3) ＝34 eq \r(3) ＋8(dm2).
命题角度❷ 空间几何体的体积
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 eq \r(3) ，则圆锥的体积为( B )
A．2 eq \r(3) π B．3 eq \r(3) π
C．6 eq \r(3) π D．9 eq \r(3) π
【解析】 设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为 eq \r(3) ，且侧面积相等，所以2πr× eq \r(3) ＝πr· eq \r(（\r(3)）2＋r2) ，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝ eq \f(1,3) πr2× eq \r(3) ＝3 eq \r(3) π.
(2)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．
【解析】 两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线、半径与高的关系可得甲与乙的体积之比为 eq \f(\r(4（r2－r1）2－（r2－r1）2),\r(9（r2－r1）2－（r2－r1）2)) ＝ eq \f(\r(3),\r(8)) ＝ eq \f(\r(6),4) .
【答案】 eq \f(\r(6),4)
破解空间几何体的体积问题的常用方法
(1)公式法：对于规则几何体，可以直接利用公式求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割(补)成规则的图形，便于计算其体积．
(3)等体积法：当一个几何体的底面积和高较难求解时，可以用等体积法求解．等体积法通过选择合适的底面来求几何体的体积，多用来求锥体的体积．
1.(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为( C )
A． eq \f(\r(3),6) B． eq \f(3\r(3),4) ＋ eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(3\r(3),4) － eq \f(1,2)
解析：因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为 eq \f(\r(3),2) ，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝ eq \f(1,2) ×1× eq \f(\r(3),2) ×1＋ eq \f(1,3) × eq \f(3,2) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),2) .
2．某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为27 cm3的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为________ cm3.
解析： 设圆锥的底面半径为R，高为H，圆柱的底面半径为r(0