专题10 数列前n项和公式的求法-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

这是一份专题10 数列前n项和公式的求法-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019），文件包含专题10数列前n项和公式的求法思维导图+知识串讲+七大题型+过关检测原卷版docx、专题10数列前n项和公式的求法思维导图+知识串讲+七大题型+过关检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
考点要求
（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
知识点01：公式法
（1）等差数列的前n项和
（2）等比数列的前n项和
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
知识点02：几种数列求和的常用方法
（1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
策略方法 分组转化法求和的常见类型
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（1）基本步骤
（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
策略方法 错位相减法求数列的前n项和
（1）适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
（5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
策略方法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
知识点03：裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
考点剖析
【题型一：分组求和】
一、解答题
1．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列满足．
(1)证明：数列是等比数列：
(2)求数列的前n项和．
2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差，.
(1)证明是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
5．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,．
(1)求；
(2)若，求的前项和．
【题型二：并项求和】
一、解答题
1．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求
2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2n项和．
3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列的前n项和为Sn，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和…
【题型三：裂项相消】
一、解答题
1．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，.
(1)若，求证：为等差数列.
(2)求数列的前项和.
2．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知在数列中，且，记.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记求数列的前n项和.
3．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前100项和.
4．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足.
(1)求数列的通项；
(2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.
5．（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．
(1)求公差和；
(2)记，证明：．
【题型四：错位相减】
一、解答题
1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知公差为的等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和.
2．（2022·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
3．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求和：.
4．（24-25高三上·四川遂宁·期中）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，．
(1)求，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【题型五：倒序相加】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
2．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ）
A．2022B．4036C．2023D．4038
二、解答题
4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，
(1)计算的值；
(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.
5．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【题型六：等差数列含绝对值求和】
一、单选题
1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（）
A．281B．651C．701D．791
2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）
A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在
二、解答题
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求数列 的前 项和 .
【题型七：放缩后裂项相消】
一、解答题
1．（21-22高二·湖南郴州·阶段练习）已知数列中，，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
3．（22-23高三上·山东滨州·期中）设正项数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和.
4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知等差数列为单调递增数列，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足.
（i）求数列的通项公式；
（ii）设为非零常数，若数列是等差数列，证明：.
过关检测
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项和.
3．（24-25高三上·江西·期中）已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中 .
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和为，求证: .
4．（广东省江门市普通高中2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试卷）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和．
6．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和.
7．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值．
(3)已知，求数列的前项和．
8．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
9．（24-25高三上·广东·阶段练习）设数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足，，求数列的前项的和．
10．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
11．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求并证明：.
12．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求数列的前99项的和的值．
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破