专题06 圆锥曲线选填题秒杀技巧-【寒假提升课】2025年高二数学寒假提升试题（人教A版2019）

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知识点01：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
证明：设
．
双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
知识点02：中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
知识点03： 双曲线焦点到渐近线的距离为
知识点04：设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则．
知识点05：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如图1.若,则

图1 图2
如图2.若，则
知识点06：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
①.
②.
③,.
知识点07：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
知识点08：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
考点剖析
【题型一：焦点三角形的面积公式】
一、单选题
1．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（ ）
A．B．2C．D．4
【题型二：中点弦问题(点差法)秒杀公式】
一、单选题
1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型三：双曲线焦点到渐近线的距离为b】
一、单选题
1．（24-25高二上·湖南·期中）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为 .
【题型四：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式】
一、填空题
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则= ．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ．
3．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为 .
【题型五：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式】
一、单选题
1．（22-23高二上·天津·期末）设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若 ，则双曲线的离心率 .
【题型六：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式】
一、单选题
1．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（ ）
A．
B．
C．以为直径的圆与轴仅有1个交点
D．或
【题型七：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式】
一、填空题
1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 .
二、单选题
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（ ）
A．4B．C．D．
3．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（ ）
A．B．C．D．
【题型八：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则下列直线与以为直径的圆相切的是（ ）
A．轴B．C．D．不存在
二、多选题
2．（2024·广西柳州·一模）过抛物线：y2=2pxp>0的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．以为直径的圆与轴相切D．
三、填空题
3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知抛物线方程为，其焦点为．①过作直线交抛物线于两点，以为直径的圆与直线相切；②过作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，，以为直径的圆与轴相切.在以上两个条件中任选一个，则 ．
过关检测
一、单选题
1．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（ ）
A．B．
C．D．为直角三角形
6．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（ ）
A．
B．
C．以为直径的圆与轴仅有1个交点
D．或
二、多选题
7．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线：y2=2pxp>0的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
8．（23-24高二下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（ ）
A．的最小值为2B．以线段为直径的圆与轴相切
C．D．
9．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（ ）
A．B．直线l的斜率为
C．，，成等差数列D．的内切圆半径
三、填空题
10．（2025高三·全国·专题练习）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为 ．
11．（2024·四川成都·模拟预测）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则三角形的面积为 .
12．（24-25高二上·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 .
13．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为 .
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破