【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题07+等比数列及其前n项和6种常见考法归类-练习.zip

这是一份【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题07+等比数列及其前n项和6种常见考法归类-练习.zip，文件包含寒假作业苏教版2019高中数学高二寒假巩固提升训练专题07等比数列及其前n项和6种常见考法归类原卷版docx、寒假作业苏教版2019高中数学高二寒假巩固提升训练专题07等比数列及其前n项和6种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

思维导图
核心考点聚焦
考点一、等比数列及其前n项和基本量的运算
考点二、等比数列的性质及其应用
(一)等比中项的应用
(二)利用等比数列的性质计算
(三)等比数列的单调性和最值
考点三、等比数列前n项和性质的应用
(一)等比数列的片段和性质的应用
(二)等比数列奇偶项和的性质
(三)等比数列前n项和其他性质
考点四、等比数列的证明
考点五、等比数列中an与Sn的关系
考点六、等比数列的简单应用
知识点1 等比数列有关概念
1. 等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：.
注：(1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．
注：（1）等比数列通项公式的推导
设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．
方法一 an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；
（3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．
注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ．
④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,01时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0知识点3 等比数列的判定与证明
证明等比数列的方法
1．定义法：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；
2．等比中项法：aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；
3．通项公式法：an＝a1qn－1.
注：用定义法证明时，eq \f(an,an－1)和eq \f(an＋1,an)中的n的范围不同
知识点4 等比数列的性质
在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
（2）在等比数列中，对任意，，；
（3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；
(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；
（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（7）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
知识点6 等比数列的前n项和公式
注：（1）等比数列前n项和公式的推导
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：eq \f(a2,a1)＝eq \f(a3,a2)＝…＝eq \f(an,an－1)＝q，
根据等比数列的性质，有eq \f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq \f(Sn－a1,Sn－an)＝q，
eq \f(Sn－a1,Sn－an)＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．
（2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个
（3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
（5）等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝eq \f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
（Sn＝eq \f(a1－a1qn,1－q)＝－eq \f(a1,1－q)qn＋eq \f(a1,1－q)，设A＝－eq \f(a1,1－q)，则Sn＝Aqn－A.）
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
知识点7 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq \f(a11－q3n,1－q).
S2n－Sn＝eq \f(a11－q2n,1－q)－eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1qn1－qn,1－q)，
S3n－S2n＝eq \f(a11－q3n,1－q)－eq \f(a11－q2n,1－q)＝eq \f(a1q2n1－qn,1－q)，
而(S2n－Sn)2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq \f(a11－qn,1－q)×eq \f(a1q2n1－qn,1－q)，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
（1）在其前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
（2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
注：若等比数列{an}的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq \f(S偶,S奇)＝q.
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
知识点8 等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
1、等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解；
（2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
(3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一个整体．
(4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)，当q>1时，用公式Sn＝eq \f(a1,q－1)(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝eq \f(a1,1－q)(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误．
（5）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
2、等比中项要注意的问题
两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±eq \r(ab))，而不是一个(eq \r(ab))，这是容易忽视的地方.
3、等比数列的证明方法
4、等比数列项的性质应用
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
5、判断等比数列的单调性的方法
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列．
6、处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
7、处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法
等比数列{an}共有2n项，要抓住eq \f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
考点剖析
考点一、等比数列及其前n项和基本量的运算
1.在等比数列中，若，，则___________.
2.在等比数列中，，，则______.
3.在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
4.已知为等比数列，公比，则（ ）
A．81B．27C．32D．16
5.已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．1B．C．D．
6.已知等比数列的前项和为，，则（ ）
A．16B．8C．6D．2
7.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比是（ ）
A．2或B．2或C．或D．或
考点二、等比数列的性质及其应用
等比中项的应用
8.若，，均为实数，试从①；②；③中选出“，，成等比数列”的必要条件的序号______.
9.已知是正项等比数列中的连续三项，则公比__________.
10.已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于__________.
11.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．4D．
12.已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差 ．
利用等比数列的性质计算
13.已知等比数列中，，，则的值是 ．
14.已知数列为各项均为正数的等比数列，若，则（ ）
A．5B．C．D．无法确定
15.已知等比数列满足：，，则的值为___________.
16.在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（ ）
A．8B．9C．16D．18
17.等比数列满足：，则的最小值为 ．
18.在9与1之间插入5个数，使这7个数成等比数列，则插入的5个数的乘积为______________.
等比数列的单调性和最值
19.已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
20.数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
21.在等比数列中， ，，且，则 .
22.设等比数列满足，，则的最大值为（ ）
A．32B．16C．128D．64
23.试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________.
24.已知等比数列的前项积为，，则的取值范围为
考点三、等比数列前n项和性质的应用
等比数列的片段和性质的应用
25.已知等比数列中，前项和为，且，．求．
26.已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则______.
27.已知为等比数列的前项和，且，，则___________.
28.设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.
29.设等比数列的前项和是.已知,，则 .
30.设是等比数列的前n项和，若，则 .
31.记为等比数列的前n项和，已知，，则 ．
等比数列奇偶项和的性质
32.已知等比数列的公比，且，则___________.
33.已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
34.已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
35.已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
36.已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A．B．
C．D．
等比数列前n项和其他性质
37.已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则数列单调递增
B．若，则数列单调递增
C．若数列单调递增，则
D．若数列单调递增，则
38.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
39.设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
40.若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
考点四、等比数列的证明
41.已知数列满足，设.
(1)判断数列是否为等比数列，并说明理由;
(2)求的通项公式.
42.在数列和中，，且是和的等差中项.
(1)设，求证：数列为等比数列；
(2)若的前n项和为，求证：.
43.数列中，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
44.已的数列的首项，，．
(1)求证：数列等比数列；
(2)记，若，求的最大值．
45.已知数列满足，
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求和：
考点五、等比数列中an与Sn的关系
46.已知数列的前项和，求的通项公式__________.
47.若等比数列的前n项和，则__________．
48.设数列的前项和为，若，，则______.
49.设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.
考点六、等比数列的简单应用
50.《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（ ）
A．B．C．D．
51.朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为，前六个音的频率总和为，则（ ）
A．B．C．D．
52.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1B．2C．3D．4
53.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（ ）
A．3937万元B．3837万元
C．3737万元D．3637万元
54.2018年，某地区甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增，而乙林场木材存量每年比上一年递减.
(1)经过几年两林场木材的总存量相等?
(2)两林场木材的总量到2022年能否翻一番？并说明理由.
过关检测
一、单选题
1．（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·校联考一模）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3B．9C．D．
3．（2023上·甘肃陇南·高二校考期末）两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）设数列是公比为的等比数列，则“”是“存在满足”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）等比数列的各项均为正数，且，.设，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前4天共走了（ ）
A．189里B．288里C．336里D．360里
9．（2023上·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知正项等比数列满足:，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．不存在
10．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
11．（2023下·山东东营·高二统考期末）已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等比数列
C．
D．数列的前n项的和
12．（2023上·广东深圳·高三深圳市宝安中学（集团）校考阶段练习）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．是数列中的最小值
13．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知等比数列公比为q，前n项和为，且满足，则（ ）
A．B．
C．，，成等比数列D．
14．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）设数列的前项和为，下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则仍为等差数列
B．若为等比数列，则仍为等比数列
C．若为等差数列，则为等差数列
D．若为等比数列，则为等差数列
15．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，，，若，（是常数），则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．D．
三、填空题
16．（2023下·湖北十堰·高二统考期末）设等比数列的前项和为，若，则 .
17．（2023下·山东淄博·高二统考期末）记为等比数列的前项和．若，，则 ．
18．（2023下·北京房山·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列中，若，则 ．
19．（2023上·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）正项等比数列中，，则的值是 ．
20．（2023上·黑龙江佳木斯·高二校考期末）在正项等比数列中，是方程的两根，则
21．（2019上·河南开封·高二校联考期中）在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为 ．
四、解答题
22．（2023下·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知数列满足，设.
(1)判断数列是否为等比数列，并说明理由;
(2)求的通项公式.
23．（2023上·四川德阳·高二统考期末）已知：等比数列的首项，公比，前项和为．
(1)求的通项公式及前项和；
(2)若，求的前项和．
24．（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
25．（2023·四川成都·统考二模）已知数列的首项为3，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
26．（2023·河北·校联考模拟预测）已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)
公式
A＝eq \f(a＋b,2)
G＝±eq \r(ab)
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列