第05讲 正弦定理-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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知识点 1 正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤ ④，，（可实现边到角的转化）
⑥ ⑤，，（可实现角到边的转化）
知识点2 解决几何问题的常见公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
考点一：已知两角及任意一边解三角形
例1．（2024高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】根据正弦定理，得，解得．
故选：A.
【变式1-1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）在中，已知，，，则角的值为（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理得到值，再根据得到，即可求解．
【详解】，，，
又，且，
，则角的值为．
故选：B.
【变式1-2】（23-24高一下·山东临沂·期末）记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得.
【详解】在中，由正弦定理，得.
故选：C.
【变式1-3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中内角所对的边分别为，且，，，则 ．
【答案】或
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】根据已知条件和正弦定理可得角，从而得到的值．
【详解】在中由正弦定理可知，所以，
解得，因为为的内角，
所以或，
所以或，
故答案为：或．
考点二：三角形解的个数
例2.（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
【答案】C
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断.
【详解】由正弦定理得，
则,
故不存在，即满足条件的三角形不存在．
故选：C
【变式2-1】（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（ ）
A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定
【答案】C
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】由正弦定理可得，进而可求，可得结论.
【详解】由正弦定理，得，解得 ，
因为，所以 ，
又因为B?0,?，所以或，
故此三角形有两解.
故选：C.
【变式2-2】（多选）（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.
【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；
对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；
对于C，由正弦定理，可得，，因，则,
因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；
对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.
故选：ABD.
【变式2-3】（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据三角形有两解，结合图形列出限制条件可得答案.
【详解】依题意得，因为，，所以．
故答案为：
考点三：已知两边和其中一边的对角解三角形
例3.（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求.
【详解】在中，由正弦定理可得，即，
解得，且不等于0，
当为锐角时，，
当为钝角时，.
综上所述：.
故选：B.
【变式3-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知中，，，，则角的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】因为，，，
由正弦定理，即，解得，
又，则，所以，所以或.
故选：D
【变式3-2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得.
【详解】在中，利用正弦定理，得，
由，得，所以.
故答案为：
【变式3-3】（23-24高一下·天津河北·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】由求，再利用正弦定理可求解.
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理可得，又，，，
所以，解得.
故答案为：.
考点四：判断三角形的形状
例4.（23-24高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】sin2x的降幂公式及应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解.
【详解】因为，
所以，即，即，
由正弦定理可得，
所以，得，
在中，所以，
又，所以，即三角形为直角三角形.
故选：B.
【变式4-1】（23-24高一下·重庆·期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、辅助角公式
【分析】利用正弦定理及辅助角公式结合三角形中角的范围计算即可.
【详解】根据正弦定理知
，
所以，
在三角形中，
所以，
则，即A为直角.
故选：B
【变式4-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又，所以，所以，则，
又，所以，
又，由余弦定理，
又，所以，
所以，则为等边三角形.
故选：D
【变式4-3】（24-25高一下·全国·随堂练习）在中，若，则此三角形是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）．
【答案】直角
【知识点】对数的运算性质的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】利用对数的运算性质得到，进而得到，再对其进行变形，然后利用正弦定理即可.
【详解】因为，
所以，
因为在定义域内单调递增，
所以
即,
所以，
即，
所以为直角三角形.
故答案为：直角.
考点五：利用正（余）弦定理求范围或最值
例5.（2024高三上·河南·专题练习）在中，，，，若为的中点，且，则的最大值为 ．
【答案】12
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律
【分析】依题意可得，再根据数量积的运算律得到，最后由基本不等式计算可得.
【详解】由题意得，
则，故，
故，
即，当且仅当时取等号，故的最大值为．
故答案为：．
【变式5-1】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解，
（2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理得：．
，可得：,
，且是锐角三角形，
，可得：．
（2）,，．
，,．
．
.
【变式5-2】（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求B的大小；
(2)若是的中线，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出；
（2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，
故，
即，
又，故，
故，，
又，故；
（2）因为，为的中线，
所以，
又，
在中，由正弦定理得，即，
故，
故当时，取得最小值，最小值为.
【变式5-3】（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．
(1)若，求的面积；
(2)若为钝角三角形，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到和，利用三角形面积公式求出答案；
（2）由三角形三边关系求出，利用计算出，从而得到答案.
【详解】（1）由及正弦定理，则．
当时，，，由余弦定理，，
从而，此时的面积．
（2）由于，，由三角形三边关系可得，即，
解得．
由于C为的最大内角，故，
即，解得．
由于，则．
考点六：综合运算正（余）弦定理解三角形
例6.（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、．已知．
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，若，，求的大小．
【答案】(1)
(2)2
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出，进而可得角的大小；
（2）用余弦定理结合题目所给条件可求出及，再用向量即可求解.
【详解】（1）,
,
,
,
，
.
（2）在中, 由余弦定理得,
,
又因为，
所以，
联立解得，
因为为边的中点，所以,
所以，
即，
所以.
【变式6-1】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中内角所对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得：，
即：，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
【变式6-2】（2024高二下·安徽·学业考试）的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到.
【详解】由，解得，
由余弦定理得，所以.
故选：C.
【变式6-3】（24-25高三上·天津·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)设，
（i）求的值；
（ii）求的值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角的范围可求得答案；
（2）（i）运用余弦定理求得；（ii）再运用正弦理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为在中，，
所以，
则有，
因为，所以，，
故；
（2）（i）由（1）知：，在中，因为，，
由余弦定理可得：，
则.
（ii）在中，由正弦定理可得：，
即，所以，
因为，所以，则为锐角，所以，
则，
，
所以
【变式6-4】（24-25高三上·甘肃白银·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解；
（2）根据余弦定理结合已知求出之间的关系，再利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
（2），由余弦定理可得，，
又，，，
，即，
.
考点七：求三角形面积
例7.（2024·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出的值，进而可求角；
（2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可求出.
【详解】（1）因为，
即，解得或.
因为在中，，
所以.
（2）在中，由余弦定理，
得，
整理得，
由，解得，
所以的面积为.
【变式7-1】（24-25高二上·江苏南京·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；
（2）利用余弦定理和面积公式求解.
【详解】（1）因为，边化角可得，
，
即，
又因为，
且，
所以，因为，所以.
（2）由余弦定理，，
所以，即，所以，
所以的面积为.
【变式7-2】（24-25高三上·贵州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的面积.
【答案】(1)7；
(2)；
(3).
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由题设可得，应用余弦定理求边长；
（2）由正弦定理有，，即可求结果；
（3）应用三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）由，得，因为，所以，
根据余弦定理得.
（2）根据正弦定理，得，则，，
故.
（3）的面积.
【变式7-3】（2024·陕西宝鸡·二模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识求得.
（2）利用三角形的面积公式、余弦定理列方程，求得，进而求得三角形的面积.
【详解】（1）由，即，
因为，所以，
所以，得．
（2）由为的平分线，得，
因为，
所以，
即，①
由余弦定理得，
即，②
由①②，得，
所以．
考点八：根据三角形面积求参数
例8.（24-25高三上·湖北·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，.
(1)若，求面积的最大值；
(2)若，在边AC的外侧取一点D（点D在外部），使得，，且四边形的面积为，求的大小.
【答案】(1)
(2).
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，进而求得面积的最大值；
（2）设，利用余弦定理和为正三角形，求得，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由
因为，可得，
又由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为.
（2）设，则，
在中，由余弦定理得，
由（1）知，且，所以为正三角形，
所以，
可得，
故，因为，所以，可得.
【变式8-1】（24-25高二上·北京平谷·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4.
(1)求角C的大小；
(2)若，求边长c.
【答案】(1)
(2)
【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据已知由正弦定理得到，根据的范围可得答案；
（2）利用和已知得到的值，然后结合余弦定理得到c的长度．
【详解】（1）根据已知由正弦定理得，
得到，
因为，所以，所以，即．
（2）由于，得，
由余弦定理，得，
所以.
【变式8-2】（24-25高三上·四川成都·期中）已知在中，，
(1)求；
(2)若，则三角形的面积为，求
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解，
（2）根据三角形面积公式可得，进而根据余弦定理即可求解.
【详解】（1）根据可得，
即，故,
由于，故
（2）由得，
又因为由余弦定理知，
故，结合
解得
【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求．
(2)若的面积为，，求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由已知条件及正弦定理，二倍角公式，辅助角公式再结合特殊角的正弦值化简即可；
（2）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得．
又，，
则，
，则．
又，，
则，解得．
（2）由的面积为，得，
，则．
由余弦定理，得，
．
又，，解得．，．
设边上的高为，则，
．
【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求
(2)若，的面积为，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理即可得答案;
（2）结合（1）及得，进而得，，再根据恒等变换得，进而根据三角形面积得，最后由正弦定理即可得答案.
【详解】（1）由条件及余弦定理得，，
可得， 所以．
（2）由得，，
又，所以，
则，．
可得，
由的面积为得，
所以．
由正弦定理得，，
所以，故.
考点九：求三角形周长
例9.（24-25高二上·广西南宁·期中）在中，
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）由正弦定理转化条件可得结果.
（2）由面积公式可求，由余弦定理可求，即可得到三角形的周长.
【详解】（1）由题意结合正弦定理可得
，
即，
∵，∴，
∴，故．
（2）由，解得．
由余弦定理可得，
∴，
∴的周长为．
【变式9-1】（24-25高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式
【分析】（1）应用二倍角正弦公式及三角形内角性质求角的大小；
（2）应用面积公式可得，进而有，余弦定理求得，即可得三角形周长.
【详解】（1）由题设，又，则，
所以，则.
（2）由题意，可得，又，则，
由余弦定理，有，则，
综上，的周长为.
【变式9-2】（24-25高三上·浙江·期中）如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用
【分析】（1）运用正弦定理，结合三角恒等变换计算.
（2）运用余弦定理和面积公式计算.
【详解】（1）由正弦定理得
，
又∵∴，
得.
（2）∵即,
根据余弦定理可得即,
则，所以，得的周长为.
【变式9-3】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设三角形的内角的对边分别为且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求三角形的周长.
【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）利用三角形内角和的关系以及二倍角的余弦公式，并由辅助角计算可得结果；还可以根据二倍角的正弦公式求出正切值计算；
（2）由三角形面积公式代入计算可得，求出周长.
【详解】（1）因为为三角形的内角，所以，
因为，所以可化为，
即，即，又易知，
解得，即.
（2）由三角形面积公式得，
代入得：，所以，
故为正三角形，，周长等于
考点10：求三角形周长、面积最值范围
例10.（24-25高二上·贵州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，．
(1)求角；
(2)若是线段的中点，且，求；
(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）先应用正弦定理再应用两角和的正弦公式计算化简得出角；
（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；
（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的值域求解.
【详解】（1）由题及正弦定理可知：，
，
又，，
，，
，.
（2）由（1）及余弦定理得：，即，①
又因为，则，
所以，②
由得：，
所以．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
所以．
因为为锐角三角形，所以，，
即，，则，即，
则，故的周长的取值范围为．
【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）已知在中，．
(1)求；
(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）由三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦展开式求解即可；
（2）先利用正弦定理表示，再利用内角和及三角函数性质求的取值范围，最后求周长的取值范围即可；
【详解】（1）由，得，
故，
结合已知得
故，
即，
又，所以，
所以，故．
（2）记内角的对边分别为，
由正弦定理得，
所以，．
结合，
得
，
因为是锐角三角形，
所以解得，
所以，故，
即．
又，
所以周长的取值范围是．
【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角可化简已知边角关系式得到，由此可得；
（2）利用正弦定理边化角，将所求面积表示为，根据的范围可求得结果.
【详解】（1），
，即，
由正弦定理得：，
，
，，，又，.
（2）由正弦定理得：，，
，
，为锐角三角形，，，
，，
即面积的取值范围为.
【变式10-3】（23-24高一下·辽宁·期中）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为
(2)
【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间.
（2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围.
【详解】（1）函数，
所以函数的最小正周期为，
由，可得，
即有函数的单调递增区间为.
（2）若为锐角的内角，且，
可得，由，可得，
则，即.
由正弦定理得，，
所以，
所以面积
又因为为锐角三角形，则，即，解得，
所以，所以，所以.
故面积的取值范围是.
一、单选题
1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【知识点】正弦定理求外接圆半径
【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径.
【详解】解：由正弦定理可知：，
为外接圆的半径，所以.
故选：A
2．（24-25高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得.
【详解】，
由正弦定理可得，
又在中，
，
，
，
在中，，
，且为的内角，
，
故选：C．
3．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】正弦定理求外接圆半径、逆用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】只需由正弦定理以及三角恒等变换得的外接圆的半径即可.
【详解】设的外接圆的半径为,
则，
解得，所以的外接圆的面积为.
故选：D.
4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】由题意利用三角形内角和定理可求的值，进而利用正弦定理即可求解的值．
【详解】因为，，，所以，
由正弦定理，可得，解得．
故选：B．
5．（2024高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】法一：由题意，根据正弦定理可得，结合余弦定理计算即可求解；
法二：由题意，根据射影定理可得，结合余弦定理计算即可求解；
【详解】方法一：
，由正弦定理可得，
，，．
又，．
．
，则．
方法二：
因为，由射影定理可得，
又，．
．
，则．
故选：A
6．（2024高三·全国·专题练习）在中，已知，，，则（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】C
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】运用正弦定理计算即可.
【详解】因为在中，，，，
由正弦定理，得，
解得或，
又因为可得，所以不符合题意，舍去．
可得，故A，B，D错误．
故选：C.
7．（2024高三·全国·专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．或B．C．D．3
【答案】A
【知识点】正弦定理解三角形
【点睛】用正弦定理先求出，根据三角形内角关系得到，再用正弦定理求.
【详解】由题意及正弦定理，得，解得.
又，故，于是或，均符合题意.
当时，，由正弦定理，得，解得；
当时，，此时是等腰三角形，.
故选：A
8．（24-25高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形
【分析】根据正弦定理，正弦的二倍角公式以及三角形的内角和即可求得.
【详解】由正弦定理可知，可化为，
又，则，即，
再根据正弦定理可知，，
又，即，则，
又，所以.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BC
【知识点】正弦定理判定三角形解的个数
【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.
【详解】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误；
B中，因为，为锐角，有，
所以该三角形有一解，故B正确；
C中，因为，为锐角，有，
所以该三角形有一解，故C正确；
D中，因为，为锐角，有，
所以该三角形有两解，故D错误.
故选：BC.
10．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数
【分析】对于A，利用函数单调性判断；对于B，由正弦定理判断；对于C，求出判断即可；对于D，由正弦定理得，再利用余弦定理判断.
【详解】对于A，若，因为函数在0,?上为单调函数，所以，
所以为等腰三角形，所以A正确；
对于B，若，可得，由正弦定理，
可得，可得，所以B正确；
对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，
则，因为，所以，
所以是钝角三角形，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（24-25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形
【分析】在中，由正弦定理求出；再在中，利用余弦定理，即可求出结果.
【详解】在中，，
由正弦定理可得，，即，所以，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
所以.
故答案为：
12．（24-25高三上·上海·阶段练习）中，，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理边角互化的应用
【分析】利用正弦定理角化边，再结合勾股定理即可求得答案.
【详解】因为，所以，
设,则,
又，所以该三角形为直角三角形，
所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题
13．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2)6.
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）应用余弦边角关系及已知可得，即可求，进而确定其大小；
（2）由三角形面积公式得，再由及已知求得，即可求周长.
【详解】（1）由题设，整理可得，
所以，，故.
（2）由题意，又，
所以，故的周长为.
14．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)
(2)6
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）由三角恒等变换得到，得到；
（2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，进而，得到三角形周长.
【详解】（1）由得，
，
即，
故，
因为，
所以，
即，
因为B?0,?，所以，故，
因为，所以；
（2），由正弦定理得，
因为，所以，
由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周长为.
15．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若D是BC边上一点，且，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；
（2）首先可得，记，设，，利用锐角三角函数及正弦定理得到，，再由余弦定理得到，即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理，
所以，又，所以；
（2）因为，记，则，
因为，设，，
在中，，即，
在中，，所以，所以，
所以，即，
在中由余弦定理有，整理得，即，
所以，即.
16．（24-25高三上·山东济宁·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的值；
(2)若为的中点，且，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律
【分析】（1）由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到；
（2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积.
【详解】（1）由正弦定理得，，
则由，得，
，
，

，
；
（2）为的中点，
，
又，
，①
由余弦定理得，，②
联立①②，解得，
，
的面积为.
17．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)或12
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角恒等变换计算；（2）运用余弦定理，结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由及正弦定理可得，
又，，，
又，，，.
（2）由余弦定理，
可得，解得或.
当时，的面积为；
当时，的面积为.
综上可知，的面积为或12.
18．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得.
（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.
【详解】（1）由正弦定理及倍角公式得
，得，
即，故.
（2）由余弦定理可得，
解得，
当且仅当时取等号，
的面积．
故面积的最大值为．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理
2．在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用