浙教版（2024）九年级上册3.1 圆一课一练

这是一份浙教版（2024）九年级上册3.1 圆一课一练，文件包含浙教版数学九年级上册同步考点练习专题31圆的基本认识九大题型原卷版doc、浙教版数学九年级上册同步考点练习专题31圆的基本认识九大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12204" 【题型1 圆的有关概念辨析】 PAGEREF _Tc12204 \h 1
\l "_Tc21238" 【题型2 求圆中弦的条数】 PAGEREF _Tc21238 \h 3
\l "_Tc16550" 【题型3 求圆内最长一点的弦】 PAGEREF _Tc16550 \h 5
\l "_Tc6489" 【题型4 圆的周长与面积问题】 PAGEREF _Tc6489 \h 6
\l "_Tc28843" 【题型5 确定圆的条件】 PAGEREF _Tc28843 \h 10
\l "_Tc12900" 【题型6 点与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc12900 \h 12
\l "_Tc4694" 【题型7 圆中角度的计算】 PAGEREF _Tc4694 \h 14
\l "_Tc20126" 【题型8 圆中线段长度的计算】 PAGEREF _Tc20126 \h 17
\l "_Tc25378" 【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】 PAGEREF _Tc25378 \h 21
【知识点1 圆的有关概念】
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
弦:连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，
弧:圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【题型1 圆的有关概念辨析】
【例1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．以为直径的圆 B．的延长线 C．的垂直平分线 D．平行的直线
【答案】A
【分析】根据圆的有关概念即可分析判断．
【详解】解：∵线段的中点为，
∴，
∵，
∴，
∴点P在以点M为圆心，为直径的圆上，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【答案】C
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；
D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
【答案】（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，在长方形内画一个最大的圆，其直径等于 ．
【答案】2厘米
【分析】根据在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的长，即可得到答案．
【详解】解：长方形的长是4厘米，宽是2厘米
在长方形内画一个最大的圆，其直径等于2厘米，
故答案为：2厘米．
【点睛】本题主要考查了圆的直径，明确在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的长，是解题的关键．
【题型2 求圆中弦的条数】
【例2】（2023春·河南濮阳·九年级统考期末）如图，中，点，，以及点，，分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．条B．条C．条D．条
【答案】B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条．
故选B．
【点睛】理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式2-1】（2023春·北京昌平·九年级校考期末）过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【答案】 无数 一
【分析】根据弦和直径的定义求解．
【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
【变式2-2】（2023春·湖北恩施·九年级校考期中）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2013秋·北京海淀·九年级统考期中）如图，的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为( )

A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】分别求出过点的最长的弦长和最短的弦长，进行判断即可．
【详解】解：①当过点的弦，过圆心时，弦为圆的直径，此时弦长最长，
∵的半径为5，
∴的直径为10，即此时的弦长为，
②当垂直于过点的弦时，此时弦长最短，由垂径定理，可得：弦长；
设过点的弦长为，则，
∴长度为整数值的弦的条数为5条；
故选C．
【点睛】本题考查圆中的弦长的取值范围．解题的关键是掌握直径是圆中最长的弦，以及利用垂径定理求值．
【题型3 求圆内最长一点的弦】
【例3】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．
【详解】∵圆的半径为2，
∴圆的直径为4，
∵是半径为2的圆的一条弦，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键．
【变式3-1】（2023·浙江·九年级专题练习）已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 cm
【答案】8cm．
【详解】试题分析：⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
试题解析：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
考点：圆的认识．
【变式3-2】（2023春·福建福州·九年级统考期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2B．5C．9D．11
【答案】D
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】解：因为圆中最长的弦为直径，
所以弦长≤10．
∴的长度不可能是11；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10．
【变式3-3】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2．
【答案】9
【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角形面积公式得到S△OPC＝OC•PH＝3PH，则当PH最大时，S△OPC有最大值，然后利用PH≤OP得到PH最大值为3，从而得到S△OPC有最大值9．
【详解】解：作PH⊥AB于H，如图，
∴OC=OB＋BC=AB+BC=6
∵S△OPC＝OC•PH＝×6×PH＝3PH，
∴当PH最大时，S△OPC有最大值，
∵PH≤OP，
∴当PH＝OP＝3时，PH最大，S△OPC有最大值9，
即△OPC的面积的最大值是9cm2．
故答案为9．
【点睛】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问题是解决此题的关键.
【题型4 圆的周长与面积问题】
【例4】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）如果大圆周长比小圆周长大，那么小圆面积比大圆面积小（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设小圆的周长为，则大圆周长为，表示出小圆面积和大圆面积，求出小圆面积比大圆面积小多少即可解得．
【详解】解：设小圆的周长为，则大圆周长为，
∴小圆半径为，大圆半径为，
∴小圆面积为，大圆的面积为，
∴小圆面积比大圆面积小，
∴，
∴小圆面积比大圆面积小，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的周长和面积，解题的关键是掌握圆的周长和面积的计算方法．
【变式4-1】（2023春·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积．
【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为
【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可．
【详解】解：
；
.
答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键
【变式4-2】（2023春·九年级统考期末）如图所示，两个圆的圆心相同，圆环的面积是8，则阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，然后根据圆环面积得到，则．
【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
由题意得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的面积计算，正确理解题意是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）（1）①倍圆问题；如图1，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的两倍的圆；
②均分问题：如图2，已知，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）
（2）若的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， ．
【答案】（1）①见解析；②见解析（2），
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可．
【详解】解：（1）①作直径，过O作AB的垂线交圆与D，连接，以O为圆心，为半径画圆，如图
②如图，以为半径作圆（或以为斜边作等腰直角三角形）．
（2） 的半径为5，
原来圆的面积为，
倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为，
，得，
所作倍圆的圆周长为，
均分问题中，所作圆面积为原来圆的倍，设所作圆半径为，
，得，
所作均分圆的圆周长为．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【知识点2 确定圆的条件】
不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【题型5 确定圆的条件】
【例5】（2023·浙江·九年级假期作业）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
【变式5-1】（2023春·浙江·九年级统考期末）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（ ）
A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点
【答案】D
【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键．
【变式5-2】（2023·江西·统考中考真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆
【答案】C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．
【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
【知识点3 点与圆的位置关系】
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外d＞r；
点P在圆上d=r；
点P在圆内d＜r.
【题型6 点与圆的位置关系】
【例6】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：在中，，，，
则，，
点A恰在外，点B在内，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．
【变式6-1】（2023春·云南昭通·九年级统考期末）若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在 ．
【答案】外
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，求出点P到圆心O的距离d的值，比较点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得
【详解】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
∵，，
∴d>r，
∴点p在⊙O外．
故答案为：外．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系.
【变式6-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知的半径是8，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（ ）
A．的内部B．的外部
C．上或的内部D．上或的外部
【答案】A
【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案．
【详解】解：解方程可得，
，，
∵点到圆心的距离为方程的一个根，
∴，
∴点在的内部，
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半径关系判断点与圆的关系．
【变式6-3】（2023春·河南南阳·九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为 ．
【答案】3或2
【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2．
【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3，
当P在圆外，直径长度为，半径为2，
∴的半径为3或2．
故答案为：3或2．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论．
【题型7 圆中角度的计算】
【例7】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）如图，为半圆O的直径，，平分，交半圆于点D，交于点E，则的度数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接OD，由题意可知，，由角平分线性质得到，再根据圆的半径相等得到，由三角形外角性质及等边对等角解得，最后由直角三角形两个锐角互余解答．
【详解】解：连接OD
平分，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的基本性质，涉及等边对等角、三角形的外角性质、直角三角形两个锐角互余等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【变式7-1】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的性质，等腰三角形的性质计算即可．
【详解】∵为的弦，，
∴，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·江苏淮安·九年级校考期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ．
【答案】
【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明，即可解决问题．
【详解】解：连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
【变式7-3】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，点A，B，C在上，，，则等于 ．
【答案】136°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠OBA＋∠OAB＝2×32°＝64°，
同理可得：∠COD＝∠OCA＋∠OAC＝2×36°＝72°，
故∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝136°．
故答案为：136°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
【题型8 圆中线段长度的计算】
【例8】（2023春·广东广州·九年级统考期末）如图，的半径为2，将的直径绕点B顺时针旋转得到线段，与交于点F，过点C作于点D，连接．
当时，的长度为 ；
当时，的长度为 ．
【答案】 2
【分析】连接，根据旋转的性质可得到，从而得到是等边三角形，进而得到可求出；过点F作于点G，根据，可得，再由，可得，再由勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，从而得到的长，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵的直径绕点B顺时针旋转得到线段，的半径为2，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
如图，过点F作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2；
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）如图，▱ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，若AB＝2，则▱ABCO的周长是 ．
【答案】8
【分析】证明四边形ABCO是菱形，即可得到周长．
【详解】解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴▱ABCO的周长是，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了菱形的判定及性质定理，圆的半径相等的性质，熟记菱形的判定定理是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AB的中点，，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，是的弦，，点B是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【详解】解：点，分别是，的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候的值最大，难度不大．
【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】
【例9】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A．13B．14C．12D．28
【答案】D
【分析】由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点 、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
【变式9-1】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接．则的长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，根据题意可得，，，根据分析图中为最大值，为最小值．
【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，
∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
∵将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点、、三点共线，
由图可知，可能在线段上，
此时，取得最小值：，
也可能在延长线上，
此时，取得最大值：，
∴的长度的取值范围是．
故答案：．
【点睛】本题考查勾股定理、旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质．分析出当时，点有两种情况并找出的最大值与最小值是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·广东茂名·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股定理可得问题的答案．
【详解】解：∵点A关于DE的对称点P，
∴DA=DP=6，
∴P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′，
∴BP′为最小值，
∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°，
∴BD=，
∵半径为6，即DP′=6，
∴BP′=2-6．
故答案为：2-6．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键．
【变式9-3】（2023春·广东汕尾·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的动点，且，点为的中点，点为上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，可知点的轨迹为：交以为圆心，以为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，即问题得解．
【详解】解：，点为的中点，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分），
作关于的对称点，连接，交于，当点刚好在直线上时，此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
在 利用勾股定理有，
，
的最小值为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．