初中数学人教版（2024）七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程习题

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分层作业
题型目录
考查题型一 几何体的识别
考查题型二 组合几何体的构成
考查题型三 立体图形的分类
考查题型四 几何体中的点、棱、面
考查题型五 从不同方向看几何体
考查题型六 几何体展开图的认识
考查题型七 由展开图计算几何体的表面积
考查题型八 由展开图计算几何体的体积
考查题型九 正方体几种展开图的识别
考查题型十 正方体相对两面上的字
考查题型十一 含图案的正方体的展开图
考查题型十二 求展开图上两点折叠后的距离
考查题型十三 补一个面使图形围成正方体
考查题型十四 平面图形形状的识别
考查题型十五 用七巧板拼图形
考查题型一 几何体的识别
1．（23·24上·西安·阶段练习）下列几何体中棱柱有（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
2．（22·23上·汉中·阶段练习）如图，下图中是棱柱体的有 ．（只填图的标号）

3．（22·23上·吉林·期末）如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．
考查题型二 组合几何体的构成
1．（22·23下·承德·阶段练习）若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（22·23上·沈阳·期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择 ．（填序号即可）
3．（22·23上·佛山·阶段练习）下图是从上面看到的一个由相同小立方块搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，画出从正面和左面看该几何体的形状图．
考查题型三 立体图形的分类
1．（23·24上·昆明·开学考试）有一块边长为1米的正方体木块，分割成边长为1厘米的小正方体木块，将这些小正方体木块按如图方式一个一个地连接起来，可以排成（ ）

A．1米B．100米C．1000米D．10000米
2．（23·24上·渭南·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的有 ．（填序号）

3（23·24上·佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．

柱体：___________________________
锥体：___________________________
球体：___________________________（填序号）
考查题型四 几何体中的点、棱、面
1．（23·24上·辽阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
①正方体是棱柱；②长方体不是棱柱；③若一个棱柱有10个顶点，则这个棱柱有4个侧面和5条侧棱；④不存在只有两条侧棱的棱柱．
A．①③B．②④C．①④D．②③
2．（23·24上·枣庄·阶段练习）五棱柱有 条棱，有 个侧面， 个顶点．
3．（23·24上·枣庄·阶段练习）瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ___．
考查题型五 从不同方向看几何体
1．（21·22下·省直辖县级单位·模拟预测）如图所示是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它从正面看、从左面看、从上面看到的平面图形，下列说法正确的是（ ）

A．从正面看的图形面积最小B．从上面看的图形面积最小
C．从左面看的图形面积最小D．从三个方向看的图形面积一样大
2．（23·24上·佛山·阶段练习）用小立方块搭一个几何体，如图分别是从它的正面和上面看到的形状图，则它最少需要 个立方块．

3．（23·24上·深圳·阶段练习）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)这个几何体共由 个小立方体组成；
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
考查题型六 几何体展开图的认识
1．（20·21上·滨海新·期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23·24上·南通·阶段练习）如图，A、B、C三个平面展开图对应的几何体的序号分别是 ．

3．（20·21上·潍坊·阶段练习）如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，将其沿某些棱剪开展成平面图形，请借助给出的甲、乙网格纸，其中标有字母“M”的面已确定，用两种方案涂黑另外的四个面，画出展成的平面图形．
考查题型七 由展开图计算几何体的表面积
1．（22·23上·全国·单元测试）把一个半径和高都是分米的圆柱体沿底面半径平均分成若干等份，切开拼成一个近似的长方体，表面积增加了（ ）平方分米
A．B．C．D．
2．（23·24上·珠海·开学考试）婷婷有一个圆柱形水杯，底面直径6cm，高20cm，为它做一个布套（无盖），至少要用 布料．（结果保留）
3．（22·23上·九江·阶段练习）有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．
(1)图2给出的四种纸样A、B、C、D，正确的有 ．
(2)求包装盒的表面积（侧面积与两个底面积的和）．
考查题型八 由展开图计算几何体的体积
1．（23·24上·全国·课时练习）如图，这是一个长方体形状包装盒的表面展开图，折叠制作完成后得到的长方体的容积是（包装材料厚度不计）（ ）

A．B．C．D．
2．（22·23上·太原·阶段练习）如图是一张长，宽的长方形铁皮，将其剪去两个完全相同的边长为的正方形和两个完全相同的长方形，剩余部分(阴影部分)可制成有盖的长方体铁盒，这个铁盒的体积是 ．

3．（23·24上·榆林·阶段练习）赵新在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图：

(1)在图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；
(2)已知赵新制作的长方体盒子的长是6cm，宽是4cm，高是3cm，求这个长方体盒子的体积．
考查题型九 正方体几种展开图的识别
1．（23·24上·沈阳·阶段练习）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中的①②③④⑤某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）

A．④⑤B．③④C．①⑤D．①④
2．（23·24上·太原·阶段练习）如图所示，图为一个棱长为的正方体，图为图的表面展开图，在图中，点为所在棱的中点，在图中找到点的位置，此时图中三角形的面积为 ．

3．（22·23上·西安·期中）图1，图2均为的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求2种方法得到的展开图不完全重合．
考查题型十 正方体相对两面上的字
1．（23·24上·枣庄·阶段练习）如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后向对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次为（ ）

A．1，，0B．2，，0C．，2，0D．，1，0
2．（22·23上·沈阳·阶段练习）将如图所示的平面展开图折叠成正方体，若相对面上的数互为相反数，则 ．
3．（23·24上·西安·阶段练习）如图，这是一个长方体纸盒的平面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），已知纸盒中相对的两个面上的数互为相反数，求的值．

考查题型十一 含图案的正方体的展开图
1．（21·22下·株洲·自主招生）骰子是一种特殊的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（ ）

A． B． C． D．
2．（21·22上·六安·开学考试）如图是正方体纸盒的展开图，当还原成纸盒时，与点7重合的点是( )和( )．

3．（19·20上·镇江·阶段练习）如图所示，图（1）为一个长方体，AD=AB=10,AE=6,图2为图1的表面展开图字在外表面上，请根据要求回答问题：

（1）面“句 ”的对面是面______；
（2）如果面“居”是右面,面“宜”在后面,哪一面会在上面？
（3）图（1）中，M、N为所在棱的中点，试在图（2）中画出点M、N的位置；并求出图（2）中三角形ABM的面积.
考查题型十二 求展开图上两点折叠后的距离
1．（20·21上·青岛·期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）
A．8cmB．10cmC．12cmD．15cm
2．（20·21上·西安·期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ．
3．（23·24上·沈阳·阶段练习）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为10cm，底面各边长都为4cm．
(1)这个直棱柱是________棱柱，它有________个面，________个顶点．
(2)这个棱柱的所有棱长和为________．
(3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
考查题型十三 补一个面使图形围成正方体
1．（23·24上·枣庄·阶段练习）如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（ ）种添法．

A．3B．4C．5D．6
2．（22·23上·济宁·期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）．
3．（21·22上·三明·阶段练习）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用4个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）

考查题型十四 平面图形形状的识别
1．（23·24上·肇庆·开学考试）一个平行四边形框架，拉动一组对角变成了一个长方形（如图）．这两个图形相比较（ ）

A．面积相等，周长不等B．面积不等，周长不等
C．面积相等，周长相等D．面积不等，周长相等
2（23·24上·全国·课时练习）一个正方形去掉一个角后所得到的图形最少有 条边．
3．（21·22上·哈尔滨·阶段练习）如图所示是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，三角形和长方形的顶点都在小正方形的顶点上，请在图1、图2中完成画图，使其满足以下要求：
（1）在图1中，按2：1画出放大后的图形，图形的顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出放大后的图形面积：_______；
（2）在图2中，按1：4画出缩小后的图形，图形的顶点都在小正方形的顶点上，并直接写出缩小后的图形周长：______．
考查题型十五 用七巧板拼图形
1．（22·23下·郑州·期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．（22·23下·运城·期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．

3．（19·20上·广州·期末）美国著名的数学科普作家马丁•加德纳，他的妙趣横生的科普作品《哈哈!灵机一动》让无数读者为数学着谜，下面的问题改编自马丁•加德纳的文集.
最早的器具型趣题无疑是古代中国的七巧板（由如图1的七块板组成的，完整图案为一正方形）游戏，它可以引出一些不平凡的数学问题，例如用一副七巧板可拼出多少种凸多边形（图形均在各边所在的直线的同侧）？1942年，中国浙江大学的两位数学家王福春和熊全治，证明了用一副七巧板只能拼出13种凸多边形.
图2中给出了其中的一种凸六边形，请你参考图1，在图2中画出七巧板中的七块.
一、单选题
1．（22·23上·河源·期中）关于长方体，下列说法中正确的有（ ）
①任一条棱都与两个面垂直；
②任一个面都与两条棱垂直；
③如果一条棱与一个面只有一个公共点，那么这条棱与这个平面垂直；
④相交于同一顶点的三条棱两两垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（23·24上·枣庄·阶段练习）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）

A． B． C． D．
3．（22·23·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（22·23·青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
5．（22·23下·南宁·一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（ ）
A．B．C．D．
6．（23·24上·济宁·阶段练习）一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“要”字相对的字是 ．

7．（23·24上·济宁·阶段练习）正方体六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，三个同学从不同的角度观察的结果如图所示，若记2的对面的数字为m，6的对面的数字为n，那么的值为 ．
8．（23·24上·济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．

9．（22·23下·青岛·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．

10．（23·24上·全国·专题练习）如图所示，把底面周长厘米，高10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米．
11．（23·24上·太原·阶段练习）如图是由个相同的小正方体搭成的几何体．

(1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
(2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），涂上颜色部分的总面积为______．
12．（23·24上·长春·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值．
13．（23·24上·西安·阶段练习）小李师傅根据需要打算利用棱长为的正方体模具加工零件．

(1)方案一：如图①，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，设打孔后零件的表面积为，则__________．
(2)方案二：如图②，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个直径为的圆形通孔，设打孔后零件的表面积为，比较与的大小关系．
(3)若小李师傅计划在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，又在其正面正中心位置处，从前到后打一个直径为的圆形通孔（如图③所示）．根据要求，需将加工完成后的零件表面涂上防锈漆，若每平方分米费用为0.5元，求所需的费用（结果保留）．
14．（23·24上·榆林·阶段练习）一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，其从不同方向看到的情形如图所示，根据图示回答下列问题．
(1)A的对面是______，B的对面是______，C的对面是______．
(2)若A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为，D表示的数为0，且正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
15．（23·24上·佛山·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整．
16．（23·24上·佛山·阶段练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．
(1)共有________个小正方体；
(2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积；
(3)如果现在你还有一些棱长都为
的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加________个小正方体．
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
①
长方体
8
6
12
正八面体
②
8
12
正十二面体
20
③
30
名称
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
n棱柱
图形





顶点数a
6
_____
10
_______
______
棱数b
9
12
_______
_______
3n
面数c
5
______
______
8
______